定义8.1.1（拉普拉斯变换）
设 $f(t)$ 在 $[0, +\infty)$ 上分段连续，且 $|f(t)| \leq Me^{ct}$。其拉普拉斯变换定义为： $$F(s) = \mathcal{L}[f](s) = \int_0^{+\infty} f(t)e^{-st}dt, \quad \text{Re}(s) > c$$
逆拉普拉斯变换： $$f(t) = \mathcal{L}^{-1}[F](t) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma-i\infty}^{\gamma+i\infty} F(s)e^{st}ds$$
其中 $\gamma > c$。
定理8.2.1（基本性质）
设 $F = \mathcal{L}[f]$，$G = \mathcal{L}[g]$：
| 性质 | 时域 | 复频域 | ||||
| —— | —— | ——– | ||||
| 线性 | $af + bg$ | $aF + bG$ | ||||
| 时移 | $f(t-a)H(t-a)$ | $e | {-as}F(s)$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 频移 | $e | {at}f(t)$ | $F(s-a)$ | |||
| 尺度 | $f(at)$ | $\frac{1}{a}F(\frac{s}{a})$ | ||||
| 微分 | $f'(t)$ | $sF(s) - f(0)$ | ||||
| 高阶导 | $f | {(n)}(t)$ | $s | nF - s | {n-1}f(0) - \cdots - f | {(n-1)}(0)$ |
| 积分 | $\int_0 | t f(\tau)d\tau$ | $\frac{F(s)}{s}$ | |||
| 卷积 | $(f * g)(t) = \int_0 | t f(\tau)g(t-\tau)d\tau$ | $F(s)G(s)$ |
乘以t：$\mathcal{L}[tf(t)] = -F'(s)$
除以t：$\mathcal{L}\left[\frac{f(t)}{t}\right] = \int_s^{+\infty} F(\sigma)d\sigma$
| $f(t)$ | $F(s)$ | 收敛域 | ||||
| ——– | ——– | ——– | ||||
| $1$ | $\frac{1}{s}$ | $\text{Re}(s) > 0$ | ||||
| $t | n$ | $\frac{n!}{s | {n+1}}$ | $\text{Re}(s) > 0$ | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| $e | {at}$ | $\frac{1}{s-a}$ | $\text{Re}(s) > \text{Re}(a)$ | |||
| $\sin(at)$ | $\frac{a}{s | 2+a | 2}$ | $\text{Re}(s) > 0$ | ||
| $\cos(at)$ | $\frac{s}{s | 2+a | 2}$ | $\text{Re}(s) > 0$ | ||
| $\sinh(at)$ | $\frac{a}{s | 2-a | 2}$ | $\text{Re}(s) > | a | $ |
| $\cosh(at)$ | $\frac{s}{s | 2-a | 2}$ | $\text{Re}(s) > | a | $ |
| $\delta(t-a)$ | $e | {-as}$ | 全平面 | |||
| $H(t-a)$ | $\frac{e | {-as}}{s}$ | $\text{Re}(s) > 0$ | |||
| $\frac{1}{\sqrt{\pi t}}$ | $\frac{1}{\sqrt{s}}$ | $\text{Re}(s) > 0$ | ||||
| $e | {at}t | n$ | $\frac{n!}{(s-a) | {n+1}}$ | $\text{Re}(s) > \text{Re}(a)$ |
问题：$u_t = a^2 u_{xx}$，$x > 0$，$t > 0$
初始条件：$u(x,0) = 0$
边界条件：$u(0,t) = f(t)$，$u(\infty,t) = 0$
求解：对 $t$ 作Laplace变换：$\tilde{u}(x,s) = \int_0^\infty u(x,t)e^{-st}dt$
方程变为：$s\tilde{u} = a^2\tilde{u}_{xx}$
解（有界）：$\tilde{u}(x,s) = A(s)e^{-\frac{\sqrt{s}}{a}x}$
由边界条件 $\tilde{u}(0,s) = F(s)$，得 $A(s) = F(s)$
$$\tilde{u}(x,s) = F(s)e^{-\frac{\sqrt{s}}{a}x}$$
逆变换：利用卷积定理和 $\mathcal{L}^{-1}[e^{-\sqrt{s}x/a}] = \frac{x}{2a\sqrt{\pi}t^{3/2}}e^{-\frac{x^2}{4a^2t}}$
$$u(x,t) = \int_0^t f(\tau)\frac{x}{2a\sqrt{\pi}(t-\tau)^{3/2}}\exp\left(-\frac{x^2}{4a^2(t-\tau)}\right)d\tau$$
问题：$u_{tt} = a^2 u_{xx}$，$x > 0$，$t > 0$
初始条件：$u(x,0) = u_t(x,0) = 0$
边界条件：$u(0,t) = f(t)$
Laplace变换后：$s^2\tilde{u} = a^2\tilde{u}_{xx}$
通解：$\tilde{u} = A(s)e^{-\frac{s}{a}x} + B(s)e^{\frac{s}{a}x}$
有界性要求 $B = 0$，由边界条件：$\tilde{u}(x,s) = F(s)e^{-\frac{s}{a}x}$
逆变换：利用时移性质 $\mathcal{L}^{-1}[e^{-cs}F(s)] = f(t-c)H(t-c)$
$$u(x,t) = f\left(t-\frac{x}{a}\right)H\left(t-\frac{x}{a}\right)$$
物理意义：扰动以速度 $a$ 向右传播，$x$ 处在 $t = x/a$ 时才感受到扰动。
定义8.6.1（分数阶积分）
$$I^\alpha f(t) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t (t-\tau)^{\alpha-1}f(\tau)d\tau, \quad \alpha > 0$$
Laplace变换：$\mathcal{L}[I^\alpha f] = \frac{F(s)}{s^\alpha}$
分数阶导数：$D^\alpha f = I^{n-\alpha}f^{(n)}$，$n = [\alpha]+1$
应用：反常扩散方程 $\frac{\partial^\alpha u}{\partial t^\alpha} = a^2 u_{xx}$（$0 < \alpha < 1$）
习题8.1：计算 $\mathcal{L}[t\sin(at)]$ 和 $\mathcal{L}[e^{-at}\cos(bt)]$。
习题8.2：用Laplace变换求解 $y'' + 4y = \sin(2t)$，$y(0) = y'(0) = 0$。
习题8.3：用Laplace变换求解热方程半无限问题：$u_t = u_{xx}$，$u(x,0) = 0$，$u(0,t) = 1$。
习题8.4：设 $F(s) = \frac{s}{(s^2+1)^2}$，求 $f(t)$。
习题8.5：用Laplace变换求解波动方程 $u_{tt} = u_{xx}$，$u(x,0) = \sin x$，$u_t(x,0) = 0$，$u(0,t) = 0$。
习题8.6：证明Duhamel原理：若 $v(x,t;\tau)$ 满足齐次热方程 $v_t = a^2v_{xx}$（$t > \tau$），$v(x,\tau;\tau) = f(x,\tau)$，则 $u = \int_0^t v(x,t;\tau)d\tau$ 满足非齐次问题 $u_t = a^2u_{xx} + f$。