第十五章 非线性偏微分方程

拟线性：最高阶导数线性出现，系数依赖于低阶导数

例：$-\Delta u = f(u, \nabla u)$

完全非线性：最高阶导数非线性出现

例：$\det(D^2u) = f$（Monge-Ampère方程）

形式：$-\Delta u = f(u)$，$x \in \Omega$，$u|_{\partial\Omega} = 0$

例15.1：$-\Delta u = u^p$，$p > 1$

1. 次临界（$p < \frac{n+2}{n-2}$）：存在正解
2. 临界（$p = \frac{n+2}{n-2}$）：与Sobolev嵌入临界指数相关
3. 超临界：解可能不存在或爆破

方法：变分法、先验估计、上-下解方法。

形式：$u_t + H(x, \nabla u) = 0$

粘性解（Crandall-Lions）：

由于解可能产生奇性（梯度爆破），引入弱解概念。

$u$ 是粘性解，若对所有光滑检验函数 $\varphi$：

1. 若 $u-\varphi$ 在 $x_0$ 取极大，则 $\varphi_t + H(x_0, \nabla\varphi) \geq 0$
2. 若 $u-\varphi$ 在 $x_0$ 取极小，则 $\varphi_t + H(x_0, \nabla\varphi) \leq 0$

形式：$u_t = D\Delta u + f(u)$

例15.2（Fisher-KPP方程）：$f(u) = u(1-u)$

1. 行波解：$u(x,t) = \phi(x-ct)$，$\phi(-\infty)=1$，$\phi(+\infty)=0$
2. 最小波速 $c^* = 2\sqrt{Df'(0)}$

图灵不稳定性：扩散导致不稳定性的反直觉现象。

形式：$u_{tt} - \Delta u + f(u) = 0$

例15.3（非线性Klein-Gordon）：$f(u) = m^2u + \lambda u^3$

小初值整体存在：$n \geq 4$ 时，小初值解整体存在。

爆破现象：$f(u) = |u|^p$，大初值解可能在有限时间爆破。

$$\begin{cases}\partial_t u + (u\cdot\nabla)u - \nu\Delta u + \nabla p = f
\nabla\cdot u = 0\end{cases}$$

二维：解整体存在唯一（经典结果）。

三维：弱解存在（Leray-Hopf），唯一性与正则性是千年难题。

KdV方程：$u_t + 6uu_x + u_{xxx} = 0$

孤立波解：$u(x,t) = 2a^2\text{sech}^2(a(x-4a^2t))$

可积性：

1. 无穷多守恒律
2. Lax对表示
3. 逆散射变换求解

习题15.1：用变分法证明 $-\Delta u = u^3$，$u|_{\partial\Omega}=0$ 在 $n \leq 3$ 时存在正解。

习题15.2：验证Fisher方程的行波解满足ODE并分析波速条件。

习题15.3：证明粘性解的唯一性（一维情形）。

习题15.4：分析非线性Schrödinger方程 $iu_t + \Delta u + |u|^2u = 0$ 的守恒量。

习题15.5：用能量估计证明三维Navier-Stokes弱解满足能量不等式。

习题15.6：验证KdV孤立波解并计算其能量、动量守恒量。

习题15.7：对于Burgers方程 $u_t + uu_x = \nu u_{xx}$，用Cole-Hopf变换求显式解。