第十四章 高阶偏微分方程

定义14.1.1（双调和算子）

$$\Delta^2 u = \Delta(\Delta u) = \sum_{i,j}\frac{\partial^4 u}{\partial x_i^2 \partial x_j^2}$$

双调和方程：$\Delta^2 u = 0$ 或 $-\Delta^2 u = f$

物理背景：

1. 薄板弯曲理论（Kirchhoff板方程）
2. Stokes流
3. 线弹性力学中的Airy应力函数

基本解（二维）： $$\Phi(x) = \frac{1}{8\pi}|x|^2\ln|x|$$

基本解（三维）： $$\Phi(x) = \frac{|x|}{8\pi}$$

Kirchhoff薄板理论：

横向挠度 $w(x,y)$ 满足： $$D\Delta^2 w = q(x,y)$$

其中 $D = \frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}$ 为弯曲刚度，$E$ 弹性模量，$h$ 板厚，$\nu$ 泊松比，$q$ 横向载荷。

边界条件：

1. 固支边：$w = \frac{\partial w}{\partial n} = 0$
2. 简支边：$w = M_n = 0$（$M_n$ 为弯矩）
3. 自由边：$M_n = V_n = 0$（$V_n$ 为等效剪力）

平面弹性问题：

应力分量表示为： $$\sigma_x = \frac{\partial^2\Phi}{\partial y^2}, \quad \sigma_y = \frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2}, \quad \tau_{xy} = -\frac{\partial^2\Phi}{\partial x \partial y}$$

相容性方程给出：$\Delta^2\Phi = 0$（无体力情形）

一般形式： $$\sum_{|\alpha| = |\beta| = 2} \partial^\alpha(a_{\alpha\beta}\partial^\beta u) = f$$

Gårding不等式：若算子一致强椭圆，则存在 $\lambda \geq 0, c > 0$： $$a(u,u) + \lambda\|u\|_{L^2}^2 \geq c\|u\|_{H^2}^2$$

14.5.1 Cahn-Hilliard方程

$$u_t + \Delta(\varepsilon^2\Delta u - f(u)) = 0$$

描述相分离过程，具有守恒律 $\int u dx = \text{const}$。

14.5.2 Kuramoto-Sivashinsky方程

$$u_t + uu_x + u_{xx} + u_{xxxx} = 0$$

描述火焰传播、流体不稳定性。

Navier方程（位移形式）： $$-\mu\Delta\mathbf{u} - (\lambda+\mu)\nabla(\nabla\cdot\mathbf{u}) = \mathbf{f}$$

或分量形式： $$-\mu u_{i,jj} - (\lambda+\mu)u_{j,ji} = f_i$$

椭圆性：强椭圆系统，有唯一解。

习题14.1：验证 $\Delta^2(|x|^2\ln|x|) = 0$（二维，$x \neq 0$）。

习题14.2：求圆板固支边在均布载荷下的挠度（双调和方程边值问题）。

习题14.3：证明双调和算子的Green第一恒等式。

习题14.4：对于 $-\Delta^2 u = f$，$u \in H_0^2(\Omega)$，用Lax-Milgram定理证明解的存在唯一性。

习题14.5：证明弹性力学Navier方程的椭圆性。

习题14.6：分析Cahn-Hilliard方程的质量守恒性质。