第九章 固结理论

太沙基(K. Terzaghi, 1925)提出的饱和土固结模型：

弹簧-活塞模型： - 弹簧：代表土骨架 - 活塞孔：代表土的渗透性 - 水：代表孔隙水 - 活塞上的荷载：代表外荷载

固结过程： 1. 瞬间加载：水承担全部压力（超静孔隙水压力） 2. 固结过程：水逐渐排出，压力向弹簧转移 3. 固结完成：弹簧承担全部压力（有效应力）

有效应力原理： $$\sigma = \sigma' + u$$

固结过程中： - 总应力σ保持不变 - 孔隙水压力u逐渐消散 - 有效应力σ'逐渐增加

固结的定义： 饱和土在附加应力作用下，孔隙水逐渐排出，孔隙体积减小，土体压缩，有效应力逐渐增大，超静孔隙水压力逐渐消散的过程。

1. 土是均质、各向同性和完全饱和的 2. 土粒和孔隙水都是不可压缩的 3. 水的渗流服从达西定律 4. 渗透系数k和压缩系数a为常数 5. 荷载一次瞬时施加，且沿深度均匀分布 6. 渗流和压缩只沿竖向发生（一维）

根据水量连续性条件，推导得：

$$\frac{\partial u}{\partial t} = C_v \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$$

式中： - u — 超静孔隙水压力 - t — 时间 - z — 深度 - Cᵥ — 固结系数

固结系数Cᵥ： $$C_v = \frac{k(1+e)}{a\gamma_w} = \frac{kE_s}{\gamma_w}$$

单位：cm²/s或m²/年

初始条件和边界条件： - t=0时，0≤z≤H：u=p₀（初始超静孔压） - t>0时，z=0：u=0（透水边界） - t>0时，z=H：∂u/∂z=0（不透水边界）或u=0（透水）

单面排水解：

$$u(z,t) = \frac{4p_0}{\pi} \sum_{m=1,3,5…}^{\infty} \frac{1}{m} \sin\left(\frac{m\pi z}{2H}\right) e^{-m^2 \pi^2 T_v/4}$$

双面排水解：

$$u(z,t) = \frac{2p_0}{\pi} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m} \left[1-(-1)^m\right] \sin\left(\frac{m\pi z}{H}\right) e^{-m^2 \pi^2 T_v}$$

固结度Ut表示某一时刻t土体固结完成的程度。

按变形定义： $$U_t = \frac{S_t}{S_\infty}$$

式中： - St — t时刻的沉降量 - S∞ — 最终沉降量

按孔隙水压力定义： $$U_t = 1 - \frac{\int_0^H u(z,t) dz}{\int_0^H u_0 dz}$$

时间因数Tv： $$T_v = \frac{C_v t}{H^2}$$

式中H为最长排水距离： - 单面排水：H = 土层厚度 - 双面排水：H = 土层厚度/2

近似公式：

当Ut ≤ 60%时： $$U_t = \sqrt{\frac{4T_v}{\pi}} = 1.128\sqrt{T_v}$$

当Ut > 60%时： $$U_t = 1 - \frac{8}{\pi^2} e^{-\pi^2 T_v/4}$$

常用数值对应：

对于不同附加应力分布情况，固结度计算公式不同。

情况0（均匀分布）： 应力比α=1 $$U_0 = 1 - \frac{8}{\pi^2} e^{-\pi^2 T_v/4}$$

情况1（三角形分布，排水面应力大）： 应力比α=0 $$U_1 = 1 - \frac{32}{\pi^3} e^{-\pi^2 T_v/4}$$

情况2（三角形分布，不透水面应力大）：

一般情况： 应力比α = 排水面应力 / 不透水面应力

$$U = \frac{2\alpha U_0 + (1-\alpha) U_2}{1+\alpha}$$

方法步骤： 1. 绘制压缩量R与√t的关系曲线 2. 延长曲线初始直线段交纵轴于R₀（理论零点修正） 3. 过R₀作第二直线，其横坐标为初始直线段的1.15倍 4. 第二直线与试验曲线的交点对应√t₉₀，即为固结度90%的时间

计算公式： 当U=90%时，Tv=0.848 $$C_v = \frac{0.848 H^2}{t_{90}}$$

方法步骤： 1. 绘制压缩量R与lgt的关系曲线 2. 选取曲线中部的直线段和尾部渐近线 3. 两线的交点对应主固结完成点（U=100%） 4. 初始段为瞬时沉降和初始压缩

计算公式： 当U=50%时，Tv=0.197 $$C_v = \frac{0.197 H^2}{t_{50}}$$

经验公式： $$C_v = \frac{k(1+e)}{a\gamma_w}$$

参考值：

1. 计算最终沉降量S∞（用分层总和法） 2. 确定固结系数Cv（由试验或经验） 3. 计算时间因数Tv 4. 确定固结度Ut 5. 计算t时刻沉降：St = Ut·S∞

预压法设计： - 计算达到目标固结度所需时间 - 确定预压荷载大小 - 设计排水措施（砂井等）

施工期沉降估算： - 预测建筑物使用期的剩余沉降 - 确定是否满足变形要求

主固结完成后，土骨架在有效应力不变的情况下继续蠕变，产生次固结沉降。

原因： - 土颗粒重新排列 - 颗粒间结合水膜的流动 - 土结构的蠕变

定义： 次固结系数Cα表示e-lgt曲线次固结段的斜率。

$$C_\alpha = -\frac{\Delta e}{\Delta(\lg t)}$$

$$S_s = C_\alpha \frac{H}{1+e_p} \lg\frac{t}{t_p}$$

式中： - ep — 主固结完成时的孔隙比 - tp — 主固结完成时间 - t — 计算时刻 - H — 土层厚度

例题9-1 某饱和粘土层厚6m，双面排水，Cv=0.02cm²/s。求： (1) 加荷一年后地基的固结度；(2) 固结度达到90%所需时间。

解：

双面排水，H=6/2=3m=300cm

(1) 一年后固结度： $$T_v = \frac{C_v t}{H^2} = \frac{0.02 \times 365 \times 24 \times 3600}{300^2} = \frac{630720}{90000} = 7.0$$

由于Tv=7.0较大，Ut接近100%。 用公式： $$U_t = 1 - \frac{8}{\pi^2} e^{-\pi^2 \times 7/4} = 1 - 0.81 \times e^{-17.3} ≈ 1.0$$

一年固结度接近100%。

(2) 固结度90%所需时间： 查表得Ut=90%时，Tv=0.848 $$t = \frac{T_v H^2}{C_v} = \frac{0.848 \times 300^2}{0.02} = 3816000 \text{ s} = 44.2 \text{ 天}$$

例题9-2 某地基最终沉降量S∞=25cm，粘土层厚8m，单面排水，Cv=0.015cm²/s。求：(1)一年后沉降量；(2)沉降达20cm所需时间。

解：

单面排水，H=800cm

(1) 一年后： $$T_v = \frac{0.015 \times 365 \times 24 \times 3600}{800^2} = \frac{473040}{640000} = 0.739$$

$$U_t = 1 - \frac{8}{\pi^2} e^{-\pi^2 \times 0.739/4} = 1 - 0.811 \times 0.182 = 0.852$$

一年后沉降： $$S_t = 0.852 \times 25 = 21.3 \text{ cm}$$

(2) 沉降达20cm： $$U_t = \frac{20}{25} = 0.8$$

由Ut=0.8反算Tv： $$0.8 = 1 - \frac{8}{\pi^2} e^{-\pi^2 T_v/4}$$

$$e^{-\pi^2 T_v/4} = 0.245$$

$$T_v = 0.567$$

$$t = \frac{0.567 \times 800^2}{0.015} = 24192000 \text{ s} = 280 \text{ 天}$$

例题9-3 某固结试验，试样厚2cm，双面排水。测得固结度50%时需5分钟。求该土层的Cv。

解：

双面排水，H=2/2=1cm=0.01m=1cm（最长排水距离）

Ut=50%时，Tv=0.197

$$C_v = \frac{T_v H^2}{t} = \frac{0.197 \times 1^2}{5 \times 60} = 6.57 \times 10^{-4} \text{ cm}^2/\text{s}$$

1. 解释太沙基饱和土固结模型的物理意义。

2. 什么是固结系数？它与哪些因素有关？

3. 某粘土层厚5m，单面排水，Cv=0.01cm²/s。计算一年后的固结度。

4. 时间因数Tv的物理意义是什么？双面排水和单面排水的H如何取值？

5. 某地基最终沉降30cm，求固结度70%时的沉降量。

6. 简述时间平方根法确定固结系数的步骤。

7. 什么是次固结？次固结沉降如何计算？

8. 某饱和粘土层厚4m，双面排水，Cv=0.025cm²/s。问：(1)何时固结度达80%？(2)一年后的沉降（S∞=20cm）是多少？

— *本章完*