第十五章 地基承载力

地基承载力是指地基土单位面积上承受荷载的能力。确定地基承载力是地基基础设计中的关键问题，直接关系到建筑物的安全和正常使用。本章介绍地基承载力的基本概念、临塑荷载和极限荷载的计算方法，以及地基承载力的确定方法。

整体剪切破坏一般发生在密实砂土或坚硬粘土等密实地基中，其特征是：

1. 地基中形成连续的滑动面，滑动面贯穿至地面 2. 基础两侧土体明显隆起 3. 破坏时沉降急剧增加，具有明显的失稳特征 4. 荷载-沉降曲线有明显的转折点

整体剪切破坏是脆性破坏，危害大，设计中应避免。

局部剪切破坏发生在中等密实砂土或中等硬度粘土中，其特征是：

1. 滑动面仅发展到一定深度，不延伸至地面 2. 基础两侧土体有轻微隆起 3. 荷载-沉降曲线无明显转折点，沉降随荷载持续增加 4. 破坏前有一定预兆

冲剪破坏发生在松散砂土或软粘土中，其特征是：

1. 基础周围土体无隆起 2. 基础“切入”土中，似针刺入土体 3. 荷载-沉降曲线呈陡降型 4. 破坏突然，无明显预兆

临塑荷载（$p_{cr}$）是指地基中即将出现塑性区时的基底压力，即地基由弹性变形阶段进入弹塑性变形阶段的临界荷载。

当基底压力$p < p_{cr}$时，地基处于弹性阶段； 当$p = p_{cr}$时，地基边缘开始出现塑性区； 当$p > p_{cr}$时，塑性区逐渐扩大。

根据弹性理论和莫尔-库仑强度准则，均布条形荷载作用下地基的临塑荷载公式为：

$$p_{cr} = \frac{\pi(\gamma_0 d + c \cdot \cot\varphi)}{\cot\varphi + \varphi - \pi/2} + \gamma_0 d$$

或表示为：

$$p_{cr} = N_q \cdot \gamma_0 d + N_c \cdot c$$

其中： - $N_q = \frac{\pi}{\cot\varphi + \varphi - \pi/2} + 1$ - $N_c = \frac{\pi \cot\varphi}{\cot\varphi + \varphi - \pi/2}$ - $\gamma_0$为基础埋深范围内土的加权平均重度 - $d$为基础埋深 - $c$、$\varphi$为地基土的粘聚力和内摩擦角

临塑荷载系数表：

工程实践中，允许地基中有一定范围的塑性区。定义塑性区开展深度为基础宽度的1/4时的荷载为临界荷载$p_{1/4}$：

$$p_{1/4} = \frac{\pi(\gamma_0 d + c \cdot \cot\varphi + \gamma b/4)}{\cot\varphi + \varphi - \pi/2} + \gamma_0 d$$

或：

$$p_{1/4} = N_q \cdot \gamma_0 d + N_c \cdot c + N_\gamma \cdot \gamma b$$

其中：$N_\gamma = \frac{\pi}{4(\cot\varphi + \varphi - \pi/2)}$

同理，$p_{1/3}$表示塑性区深度为$b/3$时的临界荷载。

极限荷载（$p_u$）是指地基发生整体剪切破坏时的最小基底压力，即地基所能承受的极限承载能力。

普朗特尔(Prandtl)于1920年根据塑性理论推导了刚性基础压入无重量土中的极限承载力公式。

假设条件： 1. 土无重量($\gamma = 0$) 2. 基础底面光滑 3. 浅基础($d < b$)

$$p_u = c N_c + q N_q$$

其中：$q = \gamma_0 d$为旁侧荷载，$N_c$、$N_q$为承载力系数。

普朗特尔承载力系数：

$$N_q = \tan^2\left(45° + \frac{\varphi}{2}\right) \cdot e^{\pi \tan\varphi}$$

$$N_c = (N_q - 1) \cdot \cot\varphi$$

对于$\varphi = 0$的饱和粘土：$N_c = 5.14$，$N_q = 1.0$

太沙基(Terzaghi)于1943年考虑了土体重度的影响，提出了更完善的承载力公式。

假设条件： 1. 基础底面粗糙 2. 考虑土体重度 3. 条形基础

$$p_u = \frac{1}{2} \gamma b N_\gamma + c N_c + q N_q$$

太沙基承载力系数（近似公式）：

对于$\varphi = 0$：$N_c = 5.7$，$N_q = 1.0$，$N_\gamma = 0$

对于$\varphi > 0$：

$$N_q = \frac{e^{(3\pi/2 - \varphi/2)\tan\varphi}}{2\cos^2(45° + \varphi/2)}$$

$$N_c = (N_q - 1)\cot\varphi$$

$$N_\gamma = \frac{\tan\varphi}{2}\left(\frac{K_{p\gamma}}{\cos^2\varphi} - 1\right)$$

其中$K_{p\gamma}$为被动土压力系数。

太沙基承载力系数表：

汉森(Hansen)于1970年提出了考虑基础形状、荷载倾斜、地面倾斜、基底倾斜等因素的修正公式：

$$p_u = \frac{1}{2} \gamma b N_\gamma s_\gamma d_\gamma i_\gamma g_\gamma b_\gamma + c N_c s_c d_c i_c g_c b_c + q N_q s_q d_q i_q g_q b_q$$

其中： - $s$为基础形状修正系数 - $d$为基础深度修正系数 - $i$为荷载倾斜修正系数 - $g$为地面倾斜修正系数 - $b$为基底倾斜修正系数

形状修正系数： - 条形基础：$s_c = s_q = s_\gamma = 1.0$ - 矩形基础：$s_c = 1 + \frac{b}{l} \cdot \frac{N_q}{N_c}$，$s_q = 1 + \frac{b}{l}\tan\varphi$，$s_\gamma = 1 - 0.4\frac{b}{l}$ - 圆形/方形基础：$s_c = 1 + \frac{N_q}{N_c}$，$s_q = 1 + \tan\varphi$，$s_\gamma = 0.6$

魏锡克(Vesic)提出的公式与汉森公式形式类似，但承载力系数$N_\gamma$的计算方法不同：

$$N_\gamma = 2(N_q + 1)\tan\varphi$$

地基承载力特征值$f_a$可根据极限承载力除以安全系数确定：

$$f_a = \frac{p_u}{K}$$

一般取安全系数$K = 2 \sim 3$。

或采用临界荷载$p_{1/4}$作为承载力特征值。

《建筑地基基础设计规范》(GB 50007)给出的地基承载力特征值计算公式：

$$f_a = M_b \gamma b + M_d \gamma_m d + M_c c_k$$

其中： - $M_b$、$M_d$、$M_c$为承载力系数，根据土的内摩擦角标准值$\varphi_k$确定 - $\gamma$为基础底面以下土的重度 - $b$为基础底面宽度（大于6m按6m取值，砂土小于3m按3m取值） - $\gamma_m$为基础底面以上土的加权平均重度 - $d$为基础埋置深度 - $c_k$为粘聚力标准值

规范承载力系数表：

载荷试验是确定地基承载力最可靠的方法。

试验要点： 1. 承压板面积：一般0.25~0.50m²（软土不小于0.50m²） 2. 加载分级：不少于8级，最大加载量不小于设计要求的2倍 3. 沉降观测：每级加载后按时间间隔测读沉降 4. 稳定标准：连续两小时内每小时沉降小于0.1mm

承载力特征值确定：

1. 强度控制法：当$p-s$曲线有明显比例界限时，取比例界限对应的荷载值；当极限荷载小于比例界限的2倍时，取极限荷载的一半。

2. 相对变形控制法：当$p-s$曲线为缓变型时，对浅层平板载荷试验，取$s/b = 0.01 \sim 0.015$对应的荷载，但不大于最大加载量的一半。

1. 静力触探试验(CPT)

根据比贯入阻力$p_s$估算承载力：

$$f_a = 24.8 + 0.54p_s \quad (kPa)$$

2. 标准贯入试验(SPT)

根据标贯击数$N_{63.5}$估算承载力：

对砂土：$f_a = (20 \sim 30)N_{63.5}$ (kPa)

对粘性土：$f_a = 30 + 10N_{63.5}$ (kPa)

3. 旁压试验

根据旁压试验临塑压力$p_f$或极限压力$p_L$确定承载力。

根据土的物理性质指标查表确定，如根据孔隙比$e$和液性指数$I_L$查表确定粘性土承载力特征值。

1. 土的物理力学性质

- 内摩擦角$\varphi$：影响最大，$\varphi$越大，承载力越高 - 粘聚力$c$：对粘性土承载力有重要贡献 - 重度$\gamma$：影响滑动土体的自重和旁侧荷载

2. 基础宽度$b$

基础宽度越大，承载力越高。但对饱和软土（$\varphi = 0$），基础宽度对承载力无影响。

3. 基础埋深$d$

基础埋深越大，承载力越高。埋深引起的超载$q = \gamma_0 d$能有效提高承载力。

4. 地下水

地下水位上升，土的有效重度减小，承载力降低。

5. 基础形状

方形、圆形基础的承载力一般比条形基础高。

例题15.1：临塑荷载与临界荷载计算

某条形基础宽$b = 2.0m$，埋深$d = 1.5m$。地基土为粉质粘土，$\gamma = 18.5$kN/m³，$c = 20$kPa，$\varphi = 20°$。试计算临塑荷载$p_{cr}$和临界荷载$p_{1/4}$。

解：

查表得：$\varphi = 20°$时，$N_q = 2.44$，$N_c = 5.65$，$N_\gamma = 0.51$

（1）临塑荷载

$$p_{cr} = N_q \gamma_0 d + N_c c$$ $$= 2.44 \times 18.5 \times 1.5 + 5.65 \times 20$$ $$= 67.7 + 113.0 = 180.7 \text{kPa}$$

（2）临界荷载$p_{1/4}$

$$p_{1/4} = N_q \gamma_0 d + N_c c + N_\gamma \gamma b$$ $$= 180.7 + 0.51 \times 18.5 \times 2.0$$ $$= 180.7 + 18.9 = 199.6 \text{kPa}$$

例题15.2：极限承载力计算

某矩形基础宽$b = 3m$，长$l = 4m$，埋深$d = 2m$。地基土为砂土，$\gamma = 19$kN/m³，$c = 0$，$\varphi = 30°$。用太沙基公式计算极限承载力。

解：

查表得：$\varphi = 30°$时，$N_q = 22.5$，$N_\gamma = 19.7$（$N_c = 37.2$，但$c = 0$）

对于矩形基础，采用形状修正： $$s_\gamma = 1 - 0.4\frac{b}{l} = 1 - 0.4 \times \frac{3}{4} = 0.70$$ $$s_q = 1 + \frac{b}{l}\tan\varphi = 1 + \frac{3}{4} \times 0.577 = 1.43$$

极限承载力： $$p_u = \frac{1}{2} \gamma b N_\gamma s_\gamma + \gamma_0 d N_q s_q$$

取$\gamma_0 = \gamma = 19$kN/m³： $$p_u = 0.5 \times 19 \times 3 \times 19.7 \times 0.70 + 19 \times 2 \times 22.5 \times 1.43$$ $$= 392.5 + 1223.3 = 1615.8 \text{kPa}$$

取安全系数$K = 3$，承载力特征值： $$f_a = \frac{1615.8}{3} = 538.6 \text{kPa}$$

习题15.1 某条形基础宽$b = 1.5m$，埋深$d = 1.0m$。地基土$c = 15$kPa，$\varphi = 18°$，$\gamma = 17.5$kN/m³。试计算临塑荷载和$p_{1/4}$临界荷载。

习题15.2 用太沙基公式计算例题15.1中地基的极限承载力（按条形基础），并与临界荷载比较。

习题15.3 某方形基础宽3m，埋深2m，建于砂土地基上。砂土$\gamma = 18$kN/m³，$\varphi = 32°$，$c = 0$。用规范公式计算地基承载力特征值。

习题15.4 分析地下水位从基础底面以下2m上升至基础底面时，地基承载力的变化百分比（砂土，$\gamma_{sat} = 20$kN/m³，$\gamma = 18$kN/m³）。

习题15.5 比较普朗特尔、太沙基、汉森三种极限承载力公式的基本假设和适用范围。

本章系统地介绍了地基承载力的计算方法，主要内容概括如下：

1. 地基破坏形式：整体剪切破坏、局部剪切破坏和冲剪破坏，对应不同的地基土质条件。

2. 临塑荷载：地基开始出现塑性区时的荷载，是弹性阶段的界限荷载。

3. 极限荷载：地基发生整体剪切破坏时的荷载，是地基的极限承载能力。普朗特尔、太沙基、汉森等公式从不同角度给出了极限承载力的计算方法。

4. 承载力确定方法：

1. 理论公式计算法
2. 规范公式法（GB 50007）
3. 载荷试验法（最可靠）
4. 原位测试法（CPT、SPT、旁压试验）
5. 经验查表法

5. 影响因素：土的$\varphi$、$c$、$\gamma$，基础宽度$b$，埋深$d$，地下水位等都会影响地基承载力。

参考文献

[1] 中华人民共和国住房和城乡建设部. 建筑地基基础设计规范(GB 50007-2011). 北京: 中国建筑工业出版社, 2011. [2] 赵明华. 土力学与基础工程(第4版). 武汉: 武汉理工大学出版社, 2014. [3] Das B M. Principles of Geotechnical Engineering(8th ed.). Stamford: Cengage Learning, 2014.