复数的产生源于求解代数方程的需要。在实数范围内，方程 $x^2 + 1 = 0$ 无解。为了使得这类方程有解，数学家引入了虚数单位 $i$，满足 $i^2 = -1$。
定义 1.1.1（复数）：形如 $z = x + iy$ 的数称为复数，其中 $x, y \in \mathbb{R}$，$i$ 为虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
当 $y = 0$ 时，$z = x$ 为实数；当 $x = 0$ 且 $y \neq 0$ 时，$z = iy$ 称为纯虚数。
复数全体构成的集合记为 $\mathbb{C}$，即： $$\mathbb{C} = \{x + iy : x, y \in \mathbb{R}, i^2 = -1\}$$
设 $z_1 = x_1 + iy_1$，$z_2 = x_2 + iy_2$，则：
加法： $$z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)$$
减法： $$z_1 - z_2 = (x_1 - x_2) + i(y_1 - y_2)$$
复数的加法满足：
$$z_1 \cdot z_2 = (x_1 + iy_1)(x_2 + iy_2) = (x_1x_2 - y_1y_2) + i(x_1y_2 + x_2y_1)$$
复数乘法满足：
例 1.2.1：计算 $(2 + 3i)(1 - 2i)$
解： $$(2 + 3i)(1 - 2i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-2i) + 3i \cdot 1 + 3i \cdot (-2i)$$ $$= 2 - 4i + 3i - 6i^2 = 2 - i + 6 = 8 - i$$
对于 $z_2 \neq 0$，定义： $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1 + iy_1}{x_2 + iy_2} = \frac{(x_1 + iy_1)(x_2 - iy_2)}{(x_2 + iy_2)(x_2 - iy_2)} = \frac{(x_1x_2 + y_1y_2) + i(x_2y_1 - x_1y_2)}{x_2^2 + y_2^2}$$
例 1.2.2：计算 $\frac{1 + 2i}{3 - 4i}$
解： $$\frac{1 + 2i}{3 - 4i} = \frac{(1 + 2i)(3 + 4i)}{(3 - 4i)(3 + 4i)} = \frac{3 + 4i + 6i + 8i^2}{9 + 16} = \frac{-5 + 10i}{25} = -\frac{1}{5} + \frac{2}{5}i$$
定义 1.3.1（共轭复数）：设 $z = x + iy$，称 $\bar{z} = x - iy$ 为 $z$ 的共轭复数。
性质：
定义 1.3.2（模）：设 $z = x + iy$，称 $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ 为 $z$ 的模（或绝对值）。
性质：
定理 1.3.1（三角不等式的证明）：
$$|z_1 + z_2|^2 = (z_1 + z_2)(\bar{z}_1 + \bar{z}_2) = |z_1|^2 + |z_2|^2 + z_1\bar{z}_2 + \bar{z}_1 z_2$$ $$= |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2\text{Re}(z_1\bar{z}_2)$$
由于 $\text{Re}(z_1\bar{z}_2) \leq |z_1\bar{z}_2| = |z_1||z_2|$，所以： $$|z_1 + z_2|^2 \leq |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2|z_1||z_2| = (|z_1| + |z_2|)^2$$
两边开方即得 $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$。
例 1.3.1：证明 $|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2)$（平行四边形法则）
证明： $$|z_1 + z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2\text{Re}(z_1\bar{z}_2)$$ $$|z_1 - z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 - 2\text{Re}(z_1\bar{z}_2)$$
两式相加即得结论。
复数 $z = x + iy$ 可以用平面直角坐标系中的点 $(x, y)$ 表示。这样的平面称为复平面（或Argand平面、Gauss平面）：
复数 $z$ 也可以用从原点到点 $(x, y)$ 的向量表示。
设 $z = x + iy \neq 0$，则： $$x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta$$
其中：
定义 1.4.1（辐角）：对于 $z \neq 0$，满足 $z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta)$ 的角 $\theta$ 称为 $z$ 的辐角。
辐角是多值的，相差 $2\pi$ 的整数倍。称区间 $(-\pi, \pi]$ 内的辐角值为主值，记为 $\arg z$。
$$\text{Arg}\,z = \arg z + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$
例 1.4.1：求 $z = -1 + i\sqrt{3}$ 的模和主辐角
解： $$|z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$$
$z$ 在第二象限，所以： $$\arg z = \pi - \arctan\sqrt{3} = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$
三角形式： $$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$$
指数形式（欧拉公式）： $$z = re^{i\theta}$$
其中欧拉公式为： $$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$
推论： $$\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \quad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$$
设 $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$，$z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$，则：
乘法： $$z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$$
几何意义：模相乘，辐角相加。
除法： $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$$
几何意义：模相除，辐角相减。
乘幂（de Moivre公式）： $$z^n = r^n e^{in\theta} = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$$
当 $|z| = 1$ 时： $$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$$
$n$次方根：设 $w^n = z = re^{i\theta}$，则： $$w_k = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i\frac{\theta + 2k\pi}{n}}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n-1$$
这 $n$ 个根在复平面上均匀分布在以原点为圆心、$\sqrt[n]{r}$ 为半径的圆周上。
例 1.4.2：求 $1$ 的三次方根
解：$1 = e^{i \cdot 0}$，所以： $$w_k = e^{i\frac{2k\pi}{3}}, \quad k = 0, 1, 2$$
即： $$w_0 = 1, \quad w_1 = e^{i\frac{2\pi}{3}} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad w_2 = e^{i\frac{4\pi}{3}} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$$
设 $z_0 \in \mathbb{C}$，$r > 0$：
定义 1.5.1：
定义 1.5.2：
定义 1.5.3（聚点与闭包）：
定理 1.5.1：$E$ 是闭集当且仅当 $E = \bar{E}$（即 $E$ 包含其所有聚点）。
定义 1.5.4：
定义 1.5.5（曲线连通）：
定义 1.5.6（单连通与多连通）：
直观地说，单连通区域没有“洞”，而多连通区域有“洞”。
例 1.5.1：
考虑三维空间中的单位球面： $$S^2 = \{(x, y, u) : x^2 + y^2 + u^2 = 1\}$$
设 $N = (0, 0, 1)$ 为球面的北极点。对于复平面上的点 $z = x + iy$，连接 $N$ 和 $(x, y, 0)$ 的直线与球面的另一交点记为 $(x', y', u')$，称为 $z$ 的球极投影。
球极投影公式：
设 $z = x + iy$，对应的球面点为 $(X, Y, Z)$，则： $$X = \frac{2x}{|z|^2 + 1}, \quad Y = \frac{2y}{|z|^2 + 1}, \quad Z = \frac{|z|^2 - 1}{|z|^2 + 1}$$
逆变换： $$x = \frac{X}{1-Z}, \quad y = \frac{Y}{1-Z}$$
定义 1.6.1：在复平面上添加一个无穷远点 $\infty$，记： $$\hat{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \{\infty\}$$
称为扩充复平面（或Riemann球面）。
在球极投影下，北极 $N$ 对应于 $\infty$。
扩充复平面的性质：
定义 1.6.2：
定理 1.6.1：在扩充复平面上，$\hat{\mathbb{C}}$ 是紧集（有界闭集）。
定理 1.7.1：设 $|z| = r < 1$，则： $$\frac{1}{1+r} \leq \left|\frac{1}{1+z}\right| \leq \frac{1}{1-r}$$
证明：由三角不等式： $$1 - |z| \leq |1 + z| \leq 1 + |z|$$
取倒数即得结论。
定理 1.7.2：对于任意复数 $z_1, z_2, \ldots, z_n$： $$|z_1 + z_2 + \cdots + z_n| \leq |z_1| + |z_2| + \cdots + |z_n|$$
定理 1.7.3（Cauchy-Schwarz不等式）： $$\left|\sum_{k=1}^n z_k w_k\right|^2 \leq \left(\sum_{k=1}^n |z_k|^2\right)\left(\sum_{k=1}^n |w_k|^2\right)$$
例 1.8.1：设 $|z| = 1$，证明 $\left|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right| = 1$（其中 $|a| \neq 1$）
证明： $$\left|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right|^2 = \frac{(z-a)(\bar{z}-\bar{a})}{(1-\bar{a}z)(1-a\bar{z})} = \frac{|z|^2 - z\bar{a} - a\bar{z} + |a|^2}{1 - a\bar{z} - \bar{a}z + |a|^2|z|^2}$$
由于 $|z| = 1$，即 $|z|^2 = 1$： $$= \frac{1 - z\bar{a} - a\bar{z} + |a|^2}{1 - a\bar{z} - \bar{a}z + |a|^2} = 1$$
例 1.8.2：求满足 $|z - i| = |z + i|$ 的点集
解：设 $z = x + iy$，则： $$|z - i|^2 = x^2 + (y-1)^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1$$ $$|z + i|^2 = x^2 + (y+1)^2 = x^2 + y^2 + 2y + 1$$
两式相等： $$-2y = 2y \Rightarrow y = 0$$
所以点集为实轴。
几何意义：到点 $i$ 和 $-i$ 距离相等的点的轨迹是两点连线的垂直平分线，即实轴。
例 1.8.3：证明复平面上三点 $z_1, z_2, z_3$ 共线的充要条件是 $\frac{z_1 - z_2}{z_1 - z_3} \in \mathbb{R}$
证明：三点共线等价于向量 $z_1 - z_2$ 与 $z_1 - z_3$ 平行，即它们的辐角相等或相差 $\pi$，这等价于它们的比值是实数。
基础练习：
1. 计算：
a) $(3 - 2i) + (5 + 4i)$
b) $(2 + i)(3 - 2i)$
c) $\frac{2 - i}{3 + 4i}$
2. 求下列复数的模和主辐角：
a) $z = -3 + 4i$
b) $z = 1 - i\sqrt{3}$
c) $z = -2 - 2i$
3. 将下列复数化为指数形式：
a) $z = 1 + i$
b) $z = -\sqrt{3} + i$
c) $z = -5$
4. 求 $-8i$ 的三次方根。
5. 证明：$|z_1 - z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 - 2\text{Re}(z_1\bar{z}_2)$
进阶练习：
6. 设 $|z| < 1$，证明 $\text{Re}\left(\frac{1}{1-z}\right) > \frac{1}{2}$
7. 求满足下列条件的点集，并说明其几何意义：
a) $|z - 1| + |z + 1| = 4$
b) $|z - 1| - |z + 1| = 1$
c) $\text{Re}(z^2) = 1$
8. 证明：若 $|z_1| = |z_2| = |z_3| = 1$ 且 $z_1 + z_2 + z_3 = 0$，则 $z_1, z_2, z_3$ 是单位圆内接正三角形的顶点。
9. 设 $z_1, z_2, \ldots, z_n$ 是单位根 $1, \omega, \omega^2, \ldots, \omega^{n-1}$（其中 $\omega = e^{2\pi i/n}$），证明：
$$\sum_{k=0}^{n-1} z_k^m = \begin{cases} n, & n \mid m \\ 0, & n \nmid m \end{cases}$$
10. 证明 Lagrange 恒等式：
$$\left|\sum_{k=1}^n z_k w_k\right|^2 = \left(\sum_{k=1}^n |z_k|^2\right)\left(\sum_{k=1}^n |w_k|^2\right) - \sum_{1 \leq j < k \leq n} |z_j\bar{w}_k - z_k\bar{w}_j|^2$$
思考题：
11. 研究映射 $w = z^2$ 下，下列曲线的像：
a) 射线 $\arg z = \theta_0$
b) 圆周 $|z| = r_0$
c) 直线 $\text{Re}(z) = a$
12. 设 $z = e^{i\theta}$，利用 de Moivre 公式推导 $\cos n\theta$ 和 $\sin n\theta$ 关于 $\cos\theta$ 和 $\sin\theta$ 的表达式（$n = 3, 4$）。