定义 5.1.1（复数序列）：设 $\{z_n\}$ 是复数序列，$z_0 \in \mathbb{C}$。若对任意 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时： $$|z_n - z_0| < \varepsilon$$
则称 $\{z_n\}$ 收敛于 $z_0$，记为 $\lim_{n \to \infty} z_n = z_0$。
定理 5.1.1：设 $z_n = x_n + iy_n$，$z_0 = x_0 + iy_0$，则： $$\lim_{n \to \infty} z_n = z_0 \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} x_n = x_0 \text{ 且 } \lim_{n \to \infty} y_n = y_0$$
定理 5.1.2：设 $\lim_{n \to \infty} z_n = z_0$，$\lim_{n \to \infty} w_n = w_0$，则：
定理 5.1.3（Cauchy收敛准则）：复数序列 $\{z_n\}$ 收敛的充要条件是：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，使得当 $m, n > N$ 时： $$|z_m - z_n| < \varepsilon$$
定义 5.2.1（复数项级数）：设 $\{z_n\}$ 是复数序列，称： $$\sum_{n=1}^{\infty} z_n = z_1 + z_2 + \cdots$$
为复数项级数。称 $S_n = z_1 + z_2 + \cdots + z_n$ 为部分和。
若 $\lim_{n \to \infty} S_n = S$ 存在，则称级数收敛，和为 $S$。
定理 5.2.1：设 $z_n = x_n + iy_n$，则 $\sum z_n$ 收敛的充要条件是 $\sum x_n$ 和 $\sum y_n$ 都收敛，且： $$\sum_{n=1}^{\infty} z_n = \sum_{n=1}^{\infty} x_n + i\sum_{n=1}^{\infty} y_n$$
定理 5.2.2：若 $\sum z_n$ 收敛，则 $\lim_{n \to \infty} z_n = 0$。
证明：$z_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0$。
定义 5.3.1（绝对收敛）：若级数 $\sum |z_n|$ 收敛，则称 $\sum z_n$ 绝对收敛。
定理 5.3.1：绝对收敛的级数必收敛。
证明：由 $|x_n| \leq |z_n|$，$|y_n| \leq |z_n|$，若 $\sum |z_n|$ 收敛，则 $\sum |x_n|$ 和 $\sum |y_n|$ 收敛，故 $\sum x_n$ 和 $\sum y_n$ 绝对收敛，从而收敛。
定理 5.3.2：绝对收敛级数可任意重排，和不变。
定理 5.3.3（比较判别法）：若 $|z_n| \leq M_n$ 且 $\sum M_n$ 收敛，则 $\sum z_n$ 绝对收敛。
定理 5.3.4（比值判别法）：设 $\lim_{n \to \infty}\left|\frac{z_{n+1}}{z_n}\right| = L$，则：
定理 5.3.5（根值判别法）：设 $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{|z_n|} = L$，则：
定义 5.4.1（函数项级数）：设 $\{f_n(z)\}$ 是区域 $D$ 上的函数序列，称： $$\sum_{n=1}^{\infty} f_n(z)$$
为 $D$ 上的函数项级数。
定义 5.4.2（点态收敛）：若对每个固定的 $z \in D$，数项级数 $\sum f_n(z)$ 收敛，则称级数在 $D$ 上点态收敛。
定义 5.4.3（一致收敛）：设级数 $\sum f_n(z)$ 在 $D$ 上收敛于 $S(z)$。若对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$（与 $z$ 无关），使得当 $n > N$ 时，对所有 $z \in D$： $$\left|\sum_{k=1}^n f_k(z) - S(z)\right| < \varepsilon$$
则称级数在 $D$ 上一致收敛于 $S(z)$。
定理 5.4.1（Weierstrass判别法/M-判别法）：若 $|f_n(z)| \leq M_n$ 对所有 $z \in D$ 成立，且 $\sum M_n$ 收敛，则 $\sum f_n(z)$ 在 $D$ 上绝对且一致收敛。
定理 5.4.2（一致收敛的Cauchy准则）：$\sum f_n(z)$ 在 $D$ 上一致收敛的充要条件是：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，使得当 $n > m > N$ 时，对所有 $z \in D$： $$\left|\sum_{k=m+1}^n f_k(z)\right| < \varepsilon$$
定理 5.4.3：若 $f_n(z)$ 在 $D$ 上连续，且 $\sum f_n(z)$ 在 $D$ 上一致收敛于 $S(z)$，则 $S(z)$ 在 $D$ 上连续。
定理 5.4.4：若 $f_n(z)$ 在曲线 $C$ 上连续，且 $\sum f_n(z)$ 在 $C$ 上一致收敛，则： $$\int_C \sum_{n=1}^{\infty} f_n(z)dz = \sum_{n=1}^{\infty} \int_C f_n(z)dz$$
即积分与求和可交换。
定理 5.4.5（Weierstrass定理）：若 $f_n(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $\sum f_n(z)$ 在 $D$ 的任意紧子集上一致收敛于 $S(z)$，则：
例 5.5.1：判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{i^n}{n}$ 的收敛性
解： $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{i^n}{n} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1}i + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k}$$
实部和虚部都是交错级数，由 Leibniz 判别法收敛，故级数收敛。
但 $\sum \left|\frac{i^n}{n}\right| = \sum \frac{1}{n}$ 发散，故条件收敛。
例 5.5.2：判断 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$ 的收敛性
解：用比值判别法： $$\lim_{n \to \infty} \left|\frac{z^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{z^n}\right| = \lim_{n \to \infty} \frac{|z|}{n+1} = 0 < 1$$
对所有 $z \in \mathbb{C}$ 收敛，即在整个复平面上绝对收敛。
例 5.5.3：证明 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n^2}$ 在 $|z| \leq 1$ 上一致收敛
解：当 $|z| \leq 1$： $$\left|\frac{z^n}{n^2}\right| \leq \frac{1}{n^2}$$
$\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛，由 M-判别法，级数在 $|z| \leq 1$ 上一致收敛。
基础练习：
1. 判断下列序列的收敛性，若收敛求极限：
a) $z_n = \left(1 + \frac{i}{n}\right)^n$
b) $z_n = \frac{n+i}{n-i}$
c) $z_n = i^n$
2. 判断下列级数的收敛性：
a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1+i)^n}{n}$
b) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+i}{2^n}$
c) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{i^n}{\sqrt{n}}$
3. 求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1+i}{2}\right)^n$ 的和。
4. 证明：若 $\sum z_n$ 收敛，则 $\lim_{n \to \infty} z_n = 0$。
5. 用 M-判别法证明 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^z}$ 在 $\text{Re}(z) \geq 1 + \delta$（$\delta > 0$）上一致收敛。
进阶练习：
6. 设 $\sum a_n$ 收敛，$\{b_n\}$ 是有界单调序列，证明 $\sum a_n b_n$ 收敛。
7. 证明：若 $\sum |z_n|^2$ 收敛，则 $\sum \frac{z_n}{n}$ 绝对收敛。
8. 设级数 $\sum f_n(z)$ 在集合 $E$ 上一致收敛，$g(z)$ 在 $E$ 上有界，证明 $\sum g(z)f_n(z)$ 在 $E$ 上一致收敛。
9. 证明：若 $\sum_{n=0}^{\infty} c_n z^n$ 在 $z = z_0$ 处收敛，则它在 $|z| < |z_0|$ 内绝对收敛。
10. 设 $\{f_n(z)\}$ 是区域 $D$ 内的解析函数序列，在 $D$ 的任意紧子集上一致收敛于 $f(z)$，证明 $f(z)$ 在 $D$ 内解析。
思考题：
11. 研究级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{1-z^n}$ 的收敛性。
12. 设 $\sum a_n$ 是复数项级数，$A_n = a_1 + \cdots + a_n$。若 $\{A_n\}$ 有界，$b_n \downarrow 0$，证明 $\sum a_n b_n$ 收敛。
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