第四章 复变函数的积分

本章将系统介绍复变函数积分的基本理论，包括积分的定义、性质、计算方法，以及解析函数理论中的核心定理——Cauchy积分定理和Cauchy积分公式。

设 $C$ 是复平面上一条逐段光滑的有向曲线，其起点为 $z_0$，终点为 $z_1$。函数 $f(z)$ 在 $C$ 上有定义。在曲线 $C$ 上依次取分点：

$$z_0, z_1, z_2, \ldots, z_{n-1}, z_n = z_1$$

将曲线 $C$ 分成 $n$ 个小弧段。在每个小弧段 $\widehat{z_{k-1}z_k}$ 上任取一点 $\zeta_k$，作和式：

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} f(\zeta_k)(z_k - z_{k-1}) = \sum_{k=1}^{n} f(\zeta_k)\Delta z_k$$

其中 $\Delta z_k = z_k - z_{k-1}$。

当分点无限增多，即 $n \to \infty$，且各小弧段的最大长度 $\lambda = \max_{1 \leq k \leq n}|\Delta z_k| \to 0$ 时，如果和式 $S_n$ 的极限存在且与分法及 $\zeta_k$ 的取法无关，则称此极限为函数 $f(z)$ 沿曲线 $C$ 的复积分，记作：

$$\int_C f(z)\,dz = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{k=1}^{n} f(\zeta_k)\Delta z_k$$

设 $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$，$z = x + iy$，$dz = dx + idy$，则：

$$\int_C f(z)\,dz = \int_C (u + iv)(dx + idy) = \int_C (u\,dx - v\,dy) + i\int_C (v\,dx + u\,dy)$$

这表明复积分可以转化为两个实变函数的线积分。

参数计算公式：若曲线 $C$ 的参数方程为 $z = z(t) = x(t) + iy(t)$，$\alpha \leq t \leq \beta$，则：

$$\int_C f(z)\,dz = \int_{\alpha}^{\beta} f(z(t))z'(t)\,dt$$

性质1（线性性）： $$\int_C [\alpha f(z) + \beta g(z)]\,dz = \alpha\int_C f(z)\,dz + \beta\int_C g(z)\,dz$$

性质2（路径可加性）：若 $C = C_1 + C_2$，则： $$\int_C f(z)\,dz = \int_{C_1} f(z)\,dz + \int_{C_2} f(z)\,dz$$

性质3（方向性）：设 $C^-$ 表示与 $C$ 方向相反的曲线，则： $$\int_{C^-} f(z)\,dz = -\int_C f(z)\,dz$$

性质4（积分估计）：若在 $C$ 上 $|f(z)| \leq M$，$C$ 的长度为 $L$，则： $$\left|\int_C f(z)\,dz\right| \leq \int_C |f(z)|\,|dz| \leq ML$$

例题4.1 计算 $\int_C \text{Re}(z)\,dz$，其中 $C$ 为： (1) 从原点到 $1+i$ 的直线段； (2) 从原点沿实轴到 $1$，再沿竖直线到 $1+i$ 的折线。

解： (1) 直线段的参数方程：$z(t) = t + it = (1+i)t$，$0 \leq t \leq 1$

$\text{Re}(z) = t$，$dz = (1+i)dt$

$$\int_C \text{Re}(z)\,dz = \int_0^1 t(1+i)\,dt = (1+i)\cdot\frac{1}{2} = \frac{1+i}{2}$$

(2) 折线分为两段：

1. $C_1$：$z = t$，$0 \leq t \leq 1$，$\text{Re}(z) = t$，$dz = dt$
2. $C_2$：$z = 1 + it$，$0 \leq t \leq 1$，$\text{Re}(z) = 1$，$dz = idt$

$$\int_{C_1} \text{Re}(z)\,dz = \int_0^1 t\,dt = \frac{1}{2}$$ $$\int_{C_2} \text{Re}(z)\,dz = \int_0^1 1 \cdot i\,dt = i$$

$$\int_C \text{Re}(z)\,dz = \frac{1}{2} + i$$

结论：积分与路径有关。

例题4.2 计算 $\oint_{|z|=r} \frac{dz}{z}$，其中圆周取正向。

解：参数方程 $z = re^{i\theta}$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$

$dz = ire^{i\theta}d\theta$

$$\oint_{|z|=r} \frac{dz}{z} = \int_0^{2\pi} \frac{ire^{i\theta}d\theta}{re^{i\theta}} = i\int_0^{2\pi}d\theta = 2\pi i$$

例题4.3 计算 $\oint_{|z|=1} |z-1|\,|dz|$。

解：在 $|z|=1$ 上，设 $z = e^{i\theta}$

$|z-1| = |e^{i\theta}-1| = |\cos\theta + i\sin\theta - 1| = \sqrt{(\cos\theta-1)^2 + \sin^2\theta}$

$= \sqrt{2 - 2\cos\theta} = 2\left|\sin\frac{\theta}{2}\right|$

$|dz| = |ie^{i\theta}d\theta| = d\theta$

$$\oint_{|z|=1} |z-1|\,|dz| = \int_0^{2\pi} 2\left|\sin\frac{\theta}{2}\right|d\theta = 4\int_0^{\pi}\sin\phi\,d\phi = 8$$

定理4.1（Cauchy积分定理）：若函数 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析，则对于 $D$ 内任意一条逐段光滑的闭曲线 $C$，有：

$$\oint_C f(z)\,dz = 0$$

证明：设 $f(z) = u + iv$，由复积分与线积分的关系：

$$\oint_C f(z)\,dz = \oint_C u\,dx - v\,dy + i\oint_C v\,dx + u\,dy$$

由于 $f(z)$ 在 $D$ 内解析，满足Cauchy-Riemann方程： $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

应用Green公式： $$\oint_C u\,dx - v\,dy = \iint_G \left(-\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}\right)dx\,dy = 0$$ $$\oint_C v\,dx + u\,dy = \iint_G \left(\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}\right)dx\,dy = 0$$

其中 $G$ 是 $C$ 所围成的区域。因此 $\oint_C f(z)\,dz = 0$。∎

定理4.2：若 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析，则积分 $\int_{z_0}^{z} f(\zeta)\,d\zeta$ 与路径无关，只与起点 $z_0$ 和终点 $z$ 有关。

定义：函数 $F(z) = \int_{z_0}^{z} f(\zeta)\,d\zeta$ 称为 $f(z)$ 的不定积分或原函数。

定理4.3：若 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析，$F(z)$ 是其原函数，则： $$\int_{z_1}^{z_2} f(z)\,dz = F(z_2) - F(z_1)$$

例题4.4 计算 $\int_0^{i} z\cos z\,dz$。

解：$f(z) = z\cos z$ 在全平面解析。

用分部积分法求原函数： $$F(z) = \int z\cos z\,dz = z\sin z + \cos z + C$$

因此： $$\int_0^{i} z\cos z\,dz = [z\sin z + \cos z]_0^i = i\sin i + \cos i - 1$$

$= i \cdot \frac{e^{-1}-e}{2i} + \frac{e^{-1}+e}{2} - 1 = e^{-1} - 1$

定理4.4：设 $D$ 是由外边界 $C_0$（正向）和内边界 $C_1^-, C_2^-, \ldots, C_n^-$（负向）围成的复连通区域。若 $f(z)$ 在 $\overline{D}$ 上解析，则：

$$\oint_{C_0} f(z)\,dz + \oint_{C_1^-} f(z)\,dz + \cdots + \oint_{C_n^-} f(z)\,dz = 0$$

或写成： $$\oint_{C_0} f(z)\,dz = \sum_{k=1}^{n} \oint_{C_k} f(z)\,dz$$

其中所有积分均取正向。

定理4.5（Cauchy积分公式）：设 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，$C$ 为 $D$ 内任意一条正向简单闭曲线，其内部全含于 $D$。则对于 $C$ 内部任一点 $z$，有：

$$f(z) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta$$

证明：以 $z$ 为中心，$r$ 为半径作小圆周 $C_r$，使得 $C_r$ 及其内部全在 $C$ 内部。

由复连通区域的Cauchy定理： $$\oint_C \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta = \oint_{C_r} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta$$

在 $C_r$ 上，$\zeta = z + re^{i\theta}$，$d\zeta = ire^{i\theta}d\theta$

$$\oint_{C_r} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta = \int_0^{2\pi} \frac{f(z+re^{i\theta})}{re^{i\theta}} \cdot ire^{i\theta}d\theta = i\int_0^{2\pi} f(z+re^{i\theta})d\theta$$

令 $r \to 0$： $$\oint_C \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta = i\int_0^{2\pi} f(z)d\theta = 2\pi i f(z)$$

因此 $f(z) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,d\zeta$。∎

定理4.6：在定理4.5的条件下，$f(z)$ 在 $C$ 内部有任意阶导数，且：

$$f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^{n+1}}\,d\zeta, \quad n = 0, 1, 2, \ldots$$

重要推论：若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，则 $f(z)$ 在 $D$ 内有任意阶导数，且各阶导数也在 $D$ 内解析。

定理4.7（Morera定理）：若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内连续，且对于 $D$ 内任意闭曲线 $C$ 有： $$\oint_C f(z)\,dz = 0$$ 则 $f(z)$ 在 $D$ 内解析。

定理4.8（Cauchy不等式）：设 $f(z)$ 在 $|z - z_0| \leq R$ 上解析，$M(R) = \max_{|z-z_0|=R}|f(z)|$，则：

$$|f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!M(R)}{R^n}, \quad n = 0, 1, 2, \ldots$$

定理4.9（Liouville定理）：有界整函数必为常数。

证明：设 $f(z)$ 为整函数且 $|f(z)| \leq M$。对任意 $z_0$，由Cauchy不等式： $$|f'(z_0)| \leq \frac{M}{R}$$

令 $R \to \infty$，得 $f'(z_0) = 0$。因此 $f(z)$ 为常数。∎

定理4.10：非常数多项式至少有一个零点。

证明：设 $P(z) = a_0z^n + a_1z^{n-1} + \cdots + a_n$，$a_0 \neq 0$，$n \geq 1$。

若 $P(z)$ 无零点，则 $f(z) = \frac{1}{P(z)}$ 为整函数。

当 $|z| \to \infty$，$|P(z)| \to \infty$，所以 $|f(z)| \to 0$。因此 $f(z)$ 有界。

由Liouville定理，$f(z)$ 为常数，矛盾。∎

例题4.5 计算 $\oint_{|z|=2} \frac{e^z}{z(z-1)}\,dz$。

解：被积函数在 $|z|=2$ 内有两个奇点 $z=0$ 和 $z=1$。

分别以 $z=0$ 和 $z=1$ 为中心作小圆周 $C_0$ 和 $C_1$，则：

$$\oint_{|z|=2} \frac{e^z}{z(z-1)}\,dz = \oint_{C_0} \frac{e^z}{z(z-1)}\,dz + \oint_{C_1} \frac{e^z}{z(z-1)}\,dz$$

在 $C_0$ 上，$\frac{e^z}{z-1}$ 解析： $$\oint_{C_0} \frac{e^z/(z-1)}{z}\,dz = 2\pi i \cdot \frac{e^0}{0-1} = -2\pi i$$

在 $C_1$ 上，$\frac{e^z}{z}$ 解析： $$\oint_{C_1} \frac{e^z/z}{z-1}\,dz = 2\pi i \cdot \frac{e^1}{1} = 2\pi ei$$

因此： $$\oint_{|z|=2} \frac{e^z}{z(z-1)}\,dz = 2\pi i(e-1)$$

例题4.6 计算 $\oint_{|z|=1} \frac{\sin z}{z^3}\,dz$。

解：由高阶导数公式： $$f(0) = \frac{2!}{2\pi i}\oint_{|z|=1} \frac{\sin z}{z^3}\,dz$$ $f(z) = \sin z$，$f(z) = -\sin z$，$f(0) = 0$ 因此： $$\oint_{|z|=1} \frac{\sin z}{z^3}\,dz = \pi i \cdot f(0) = 0$$

例题4.7 设 $f(z)$ 在 $|z| < 1$ 内解析，在 $|z| \leq 1$ 上连续，且 $|f(z)| \leq M$。证明： $$|f'(0)| \leq M$$

证明：由Cauchy积分公式： $$f'(0) = \frac{1}{2\pi i}\oint_{|z|=1} \frac{f(z)}{z^2}\,dz$$

$$|f'(0)| \leq \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{M}{1} \cdot 2\pi = M$$

习题4.1 计算下列积分： (1) $\int_C (z^2 + 2z)\,dz$，其中 $C$ 为从原点到 $1+i$ 的直线段； (2) $\oint_{|z|=1} \frac{dz}{z^2+4}$； (3) $\oint_{|z|=2} \frac{\cos z}{z-\pi}\,dz$。

习题4.2 设 $C$ 为正向圆周 $|z| = 3$，计算： $$\oint_C \frac{e^z}{(z-1)^2(z+2)}\,dz$$

习题4.3 证明：若 $f(z)$ 在 $|z - z_0| > r_0$ 内解析，且 $\lim_{z \to \infty} zf(z) = A$，则对任意 $r > r_0$： $$\oint_{|z-z_0|=r} f(z)\,dz = 2\pi i A$$

习题4.4 设 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析且不为零，$C$ 为 $D$ 内任意闭曲线。证明： $$\oint_C \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz = 0$$

习题4.5 设 $f(z)$ 是整函数，且存在常数 $M > 0$ 和正整数 $n$ 使得 $|f(z)| \leq M|z|^n$ 对所有充分大的 $|z|$ 成立。证明 $f(z)$ 是次数不超过 $n$ 的多项式。

习题4.6 计算积分： $$\oint_{|z|=2} \frac{z^2+1}{(z-1)(z^2+4)}\,dz$$

习题4.7 设 $f(z)$ 在 $|z| \leq R$ 上解析，证明： $$f(z) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(Re^{i\theta})\frac{R^2-|z|^2}{|Re^{i\theta}-z|^2}\,d\theta$$ （Poisson积分公式）

习题4.8 设 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，$z_0 \in D$，$r > 0$ 使得 $\overline{D(z_0, r)} \subset D$。证明： $$f(z_0) = \frac{1}{\pi r^2}\iint_{D(z_0,r)} f(x+iy)\,dx\,dy$$ 即解析函数在圆心的值等于它在该圆上的平均值（面积分形式）。

本章核心内容：

1. 复积分的定义：通过和式极限定义，可转化为线积分计算。

2. Cauchy积分定理：解析函数沿闭曲线的积分为零，是复变函数理论的基石。

3. Cauchy积分公式：将解析函数在区域内的值与边界上的值联系起来。

4. 高阶导数公式：解析函数有任意阶导数，且各阶导数可由积分表示。

5. 重要定理：Liouville定理、代数基本定理、Morera定理等。

这些定理深刻揭示了解析函数的性质，为后续学习级数展开、留数理论等奠定了基础。