实变函数 (Real Analysis)

实变函数是数学分析课程的深入与延续，主要研究欧氏空间上的测度与积分理论。本课程以Lebesgue测度和Lebesgue积分为核心，建立比Riemann积分更加完善和强大的积分理论体系。

通过本课程的学习，学生将掌握：

1. 集合论与点集拓扑的基础知识
2. Lebesgue测度论的严格构造
3. 可测函数的性质与收敛理论
4. Lebesgue积分的定义、性质与极限定理
5. 微分与不定积分的关系
6. $L^p$空间的理论与应用
7. Fourier分析的基础知识

1. 理论严谨: 从公理化出发，构建完整的测度论体系
2. 内容丰富: 涵盖测度论、积分论、泛函分析基础等多个领域
3. 应用广泛: 为概率论、泛函分析、偏微分方程等后续课程奠定基础
4. 历史传承: 继承黎曼、勒贝格、波莱尔等数学大师的智慧结晶

1. 第一章 集合与基数 — 集合运算、映射、可数集、不可数集、基数理论
2. 第二章 $\mathbb{R}^n$中的点集 — 开集、闭集、完备集、Cantor集、Borel集

1. 第三章 测度论 — 外测度、可测集、Lebesgue测度、不可测集
2. 第四章 可测函数 — 可测函数的定义与性质、Egorov定理、Lusin定理
3. 第五章 可测函数列的收敛 — 几乎处处收敛、依测度收敛、Riesz定理

1. 第六章 Lebesgue积分的定义 — 非负简单函数、非负可测函数、一般可测函数
2. 第七章 Lebesgue积分的性质 — 单调收敛定理、Fatou引理、控制收敛定理
3. 第八章 Lebesgue积分与Riemann积分的关系 — 可积性条件、反常积分

1. 第九章 单调函数的可微性 — Vitali覆盖定理、Lebesgue定理
2. 第十章 有界变差函数 — 有界变差、Jordan分解、导数
3. 第十一章 绝对连续函数 — 绝对连续、微积分基本定理
4. 第十二章 Lebesgue-Stieltjes积分 — Stieltjes积分、概率测度

1. 第十三章 $L^p$空间 — $L^p$范数、Holder不等式、Minkowski不等式
2. 第十四章 $L^p$空间的完备性 — Riesz-Fischer定理、稠密性
3. 第十五章 $L^p$空间的收敛性 — 强收敛、弱收敛、一致可积性

1. 第十六章 Fourier级数 — $L^2$意义下的Fourier级数、Parseval等式
2. 第十七章 Fourier变换 — $L^1$和$L^2$上的Fourier变换、反演公式
3. 第十八章 广义函数简介 — 试验函数空间、分布、Dirac delta

1. 周民强. 《实变函数论》. 北京大学出版社
2. 程其襄等. 《实变函数论与泛函分析基础》. 高等教育出版社
3. W. Rudin. 《Real and Complex Analysis》. McGraw-Hill
4. H. L. Royden. 《Real Analysis》. Pearson
5. P. R. Halmos. 《Measure Theory》. Springer

学习本课程需要具备以下基础：

1. 数学分析（一元和多元微积分）
2. 线性代数
3. 基本的集合论知识
4. 点集拓扑的初步概念

1. 循序渐进: 测度论的构造较为抽象，建议仔细理解每一步的逻辑 2. 多做练习: 通过例题和习题加深对概念的理解 3. 画图辅助: 对于点集、函数图像等，画图有助于直观理解 4. 联系对比: 注意与Riemann积分的对比，理解Lebesgue积分的优势 5. 阅读经典: 适当阅读原始文献，了解理论发展的历史脉络

实变函数理论的发展与数学分析的严格化进程密切相关：

1. 1902年: Henri Lebesgue发表博士论文，创立Lebesgue积分理论
2. 1905-1915年: Borel、Fréchet等发展了抽象测度论
3. 1913年: Radon和Nikodym建立了Radon-Nikodym定理
4. 1930年代: Kolmogorov将测度论应用于概率论的公理化
5. 1940年代: Bourbaki学派推动了测度论的现代化表述

这些理论的建立不仅解决了Riemann积分的诸多局限，更为现代分析数学奠定了坚实基础。

实变函数的理论和方法在以下领域有重要应用：

1. 概率论与随机过程: 概率测度、随机变量的期望
2. 泛函分析: Banach空间、Hilbert空间的理论
3. 偏微分方程: 弱解理论、Sobolev空间
4. 调和分析: Fourier分析、奇异积分
5. 数值分析: 函数逼近、数值积分

掌握实变函数，将为深入学习和研究现代数学打下坚实基础。