第三章 测度论

在数学分析中，我们熟悉区间的长度概念。对于区间 $I = (a,b)$, $[a,b]$, $(a,b]$, 或 $[a,b)$，定义其长度为 $b - a$。

然而，面对更复杂的集合，如 $\mathbb{Q} \cap [0,1]$、Cantor集等，传统的长度概念面临挑战：

1. 如何定义一般点集的“长度”？
2. 这种“长度”应该满足什么性质？
3. 是否每个集合都可测？

Lebesgue的基本思想: 用可数个开区间覆盖集合，以这些区间长度之和的下确界作为集合的“外测度”。

这种思想的优势：

1. 适用于任意集合
2. 满足可数可加性
3. 与Riemann积分相容

定义 3.1 设 $E \subset \mathbb{R}^n$，定义 $E$ 的Lebesgue外测度为： $$m^*(E) = \inf\left\{\sum_{k=1}^\infty |I_k| \mid E \subset \bigcup_{k=1}^\infty I_k\right\}$$

其中 $I_k$ 为开区间（或开矩体），$|I_k|$ 表示其体积（长度、面积等）。

定理 3.1 外测度满足以下基本性质：

(1) 非负性: $m^*(E) \geq 0$，$m^*(\emptyset) = 0$

(2) 单调性: 若 $E_1 \subset E_2$，则 $m^*(E_1) \leq m^*(E_2)$

(3) 次可数可加性: 对任意集合列 $\{E_k\}$： $$m^*\left(\bigcup_{k=1}^\infty E_k\right) \leq \sum_{k=1}^\infty m^*(E_k)$$

证明 (3) 若 $\sum m^*(E_k) = +\infty$，结论显然。

设 $\sum m^*(E_k) < +\infty$。对任意 $\varepsilon > 0$ 和每个 $k$，存在开区间列 $\{I_{k,j}\}_j$ 使 $$E_k \subset \bigcup_{j=1}^\infty I_{k,j}, \quad \sum_{j=1}^\infty |I_{k,j}| < m^*(E_k) + \frac{\varepsilon}{2^k}$$

则 $\{I_{k,j}\}_{k,j}$ 覆盖 $\bigcup E_k$，且 $$\sum_{k,j} |I_{k,j}| = \sum_{k=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty |I_{k,j}| < \sum_{k=1}^\infty m^*(E_k) + \varepsilon$$

由 $\varepsilon$ 任意性，得证。 $\square$

定理 3.2 区间的外测度等于其体积：若 $I$ 为区间，则 $m^*(I) = |I|$。

证明

1. 显然 $m^*(I) \leq |I|$（用 $I$ 本身覆盖）
2. 对任意 $\varepsilon > 0$，存在开区间列 $\{I_k\}$ 覆盖闭区间 $\overline{I}$，且 $\sum |I_k| < m^*(I) + \varepsilon$
3. 由有限覆盖定理，存在有限子覆盖，故 $|\overline{I}| \leq \sum_{k=1}^n |I_k| \leq \sum |I_k| < m^*(I) + \varepsilon$
4. 由 $\varepsilon$ 任意性，$|I| \leq m^*(I)$ $\square$

定理 3.3 对任意集合 $E$ 和 $a \in \mathbb{R}^n$，有 $$m^*(E + a) = m^*(E)$$ 即外测度是平移不变的。

外测度虽然定义于所有集合，但不满足有限可加性。我们需要筛选出“好”的集合——可测集。

定义 3.2 (Carathéodory) 集合 $E \subset \mathbb{R}^n$ 称为Lebesgue可测集（简称可测集），若对任意集合 $T \subset \mathbb{R}^n$： $$m^*(T) = m^*(T \cap E) + m^*(T \cap E^c)$$

注记: 由于 $T = (T \cap E) \cup (T \cap E^c)$，由次可加性总有 $$m^*(T) \leq m^*(T \cap E) + m^*(T \cap E^c)$$ 因此只需验证反向不等式。

定理 3.4 可测集全体构成一个 $\sigma$-代数。

具体而言：

(1) $\emptyset$ 和 $\mathbb{R}^n$ 可测

(2) 若 $E$ 可测，则 $E^c$ 可测

(3) 若 $E_1, E_2$ 可测，则 $E_1 \cup E_2$ 可测

(4) 若 $\{E_k\}$ 可测，则 $\bigcup_{k=1}^\infty E_k$ 可测

证明 (3) 设 $E_1, E_2$ 可测，$T \subset \mathbb{R}^n$。

由 $E_1$ 可测： $$m^*(T) = m^*(T \cap E_1) + m^*(T \cap E_1^c)$$

由 $E_2$ 可测，分别对 $T \cap E_1$ 和 $T \cap E_1^c$ 应用： $$m^*(T \cap E_1) = m^*(T \cap E_1 \cap E_2) + m^*(T \cap E_1 \cap E_2^c)$$ $$m^*(T \cap E_1^c) = m^*(T \cap E_1^c \cap E_2) + m^*(T \cap E_1^c \cap E_2^c)$$

注意 $T \cap (E_1 \cup E_2) = (T \cap E_1) \cup (T \cap E_1^c \cap E_2)$，故 $$m^*(T \cap (E_1 \cup E_2)) \leq m^*(T \cap E_1) + m^*(T \cap E_1^c \cap E_2)$$

结合以上等式，经整理可得 $$m^*(T) \geq m^*(T \cap (E_1 \cup E_2)) + m^*(T \cap (E_1 \cup E_2)^c)$$

故 $E_1 \cup E_2$ 可测。 $\square$

推论 有限个可测集的交、并、差仍可测。

定理 3.5 (可数可加性) 设 $\{E_k\}$ 为互不相交的可测集列，则 $$m^*\left(\bigcup_{k=1}^\infty E_k\right) = \sum_{k=1}^\infty m^*(E_k)$$

证明 由次可数可加性，只需证 $\geq$。

对任意 $n$，$\bigcup_{k=1}^n E_k$ 可测。由 $E_{n+1}$ 可测： $$m^*\left(T \cap \bigcup_{k=1}^{n+1} E_k\right) = m^*\left(T \cap \bigcup_{k=1}^n E_k\right) + m^*(T \cap E_{n+1})$$

归纳得 $$m^*\left(T \cap \bigcup_{k=1}^n E_k\right) = \sum_{k=1}^n m^*(T \cap E_k)$$

取 $T = \bigcup_{k=1}^\infty E_k$： $$m^*\left(\bigcup_{k=1}^\infty E_k\right) \geq m^*\left(\bigcup_{k=1}^n E_k\right) = \sum_{k=1}^n m^*(E_k)$$

令 $n \to \infty$，得证。 $\square$

定理 3.6 以下条件等价：

(1) $E$ 可测

(2) 对任意 $\varepsilon > 0$，存在开集 $G \supset E$ 使 $m^*(G \setminus E) < \varepsilon$

(3) 对任意 $\varepsilon > 0$，存在闭集 $F \subset E$ 使 $m^*(E \setminus F) < \varepsilon$

(4) 存在 $G_\delta$ 集 $G \supset E$ 使 $m^*(G \setminus E) = 0$

(5) 存在 $F_\sigma$ 集 $F \subset E$ 使 $m^*(E \setminus F) = 0$

定义 3.3 对可测集 $E$，定义其 Lebesgue测度 为 $m(E) = m^*(E)$。

由定理3.5，Lebesgue测度满足可数可加性。

定理 3.7 Lebesgue测度满足：

(1) 非负性: $m(E) \geq 0$，$\emptyset) = 0$

(2) 可数可加性: 对互不相交的可测集列 $\{E_k\}$： $$m\left(\bigcup_{k=1}^\infty E_k\right) = \sum_{k=1}^\infty m(E_k)$$

(3) 单调性: $E_1 \subset E_2$ 可测 $\Rightarrow m(E_1) \leq m(E_2)$

(4) 平移不变性: $m(E + a) = m(E)$

(5) 连续性:

1. 下连续性: $E_k \uparrow E \Rightarrow m(E_k) \uparrow m(E)$
2. 上连续性: $E_k \downarrow E$，$m(E_1) < \infty$ $\Rightarrow m(E_k) \downarrow m(E)$

证明 (5) 下连续性：设 $E_k \uparrow E$，即 $E_k \subset E_{k+1}$，$E = \bigcup E_k$。

令 $F_1 = E_1$，$F_k = E_k \setminus E_{k-1}$ ($k \geq 2$)。则 $\{F_k\}$ 互不相交，且 $$E_n = \bigcup_{k=1}^n F_k, \quad E = \bigcup_{k=1}^\infty F_k$$

故 $$m(E) = \sum_{k=1}^\infty m(F_k) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n m(F_k) = \lim_{n \to \infty} m(E_n)$$ $\square$

定理 3.8

1. 所有Borel集都是Lebesgue可测集
2. 存在Lebesgue可测集不是Borel集

证明 开集可测（由定理3.6(2)，开集可用自身逼近）。 可测集构成 $\sigma$-代数，包含所有开集，故包含 $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$。 $\square$

并非所有集合都是Lebesgue可测的。Vitali构造了第一个不可测集的例子。

定理 3.9 (Vitali) 存在 $\mathbb{R}$ 的子集不是Lebesgue可测的。

构造 在 $[0,1]$ 上定义等价关系：$x \sim y$ 当且仅当 $x - y \in \mathbb{Q}$。

由选择公理，从每个等价类中选取一个代表元，构成集合 $V \subset [0,1]$。

设 $\{r_k\}_{k=1}^\infty = \mathbb{Q} \cap [-1, 1]$，令 $V_k = V + r_k$。

性质:

1. $V_k$ 互不相交（若 $x + r_i = y + r_j$，则 $x - y = r_j - r_i \in \mathbb{Q}$，故 $x = y$，$r_i = r_j$）
2. $[0,1] \subset \bigcup_{k=1}^\infty V_k \subset [-1, 2]$

证明不可测: 假设 $V$ 可测。

由平移不变性，$m(V_k) = m(V)$。

由可数可加性： $$m\left(\bigcup_{k=1}^\infty V_k\right) = \sum_{k=1}^\infty m(V) = \begin{cases} 0, & m(V) = 0
+\infty, & m(V) > 0 \end{cases}$$

但 $[0,1] \subset \bigcup V_k \subset [-1, 2]$，故 $$1 \leq m\left(\bigcup V_k\right) \leq 3$$ 矛盾！ $\square$

定理 3.10 任何正测度集都包含不可测子集。

推论 可测集全体构成的 $\sigma$-代数严格小于 $\mathcal{P}(\mathbb{R}^n)$。

Vitali不可测集的构造依赖于选择公理（Axiom of Choice）。

定理 3.11 (Solovay, 1970) 若承认存在不可达基数，则在ZF（不含选择公理的集合论）中可以构造一个模型，其中所有 $\mathbb{R}$ 的子集都是Lebesgue可测的。

这表明选择公理在不可测集存在性中的关键作用。

定义 3.4 集族 $\mathcal{R} \subset \mathcal{P}(X)$ 称为环，若：

1. $\emptyset \in \mathcal{R}$
2. $A, B \in \mathcal{R} \Rightarrow A \setminus B \in \mathcal{R}$
3. $A, B \in \mathcal{R} \Rightarrow A \cup B \in \mathcal{R}$

若还对可数并封闭，称为 $\sigma$-环。

例 3.1 $\mathbb{R}^n$ 中所有有限个左开右闭区间的并构成的集族是一个环。

定理 3.12 (Carathéodory扩张定理) 设 $\mathcal{R}$ 为环，$\mu: \mathcal{R} \to [0, +\infty]$ 满足：

1. $\mu(\emptyset) = 0$
2. 可数可加性（对互不相交的 $\{E_k\} \subset \mathcal{R}$，若 $\bigcup E_k \in \mathcal{R}$，则 $\mu(\bigcup E_k) = \sum \mu(E_k)$）

则 $\mu$ 可以扩张到 $\sigma(\mathcal{R})$ 上的测度。若 $\mu$ 是 $\sigma$-有限的，则扩张唯一。

例 3.1 证明：单点集的外测度为零。

证明 设 $E = \{x_0\}$。对任意 $\varepsilon > 0$，取区间 $I$ 使 $x_0 \in I$，$|I| < \varepsilon$。 则 $m^*(E) \leq |I| < \varepsilon$。由 $\varepsilon$ 任意性，$m^*(E) = 0$。 $\square$

例 3.2 证明：可数集的外测度为零。

证明 设 $E = \{x_1, x_2, \ldots\}$。由次可数可加性： $$m^*(E) \leq \sum_{k=1}^\infty m^*(\{x_k\}) = \sum_{k=1}^\infty 0 = 0$$ $\square$

例 3.3 设 $E \subset \mathbb{R}$，$m^*(E) > 0$。证明：对任意 $\alpha \in (0, 1)$，存在区间 $I$ 使 $m^*(E \cap I) > \alpha |I|$。

证明 由外测度定义，存在开集 $G \supset E$ 使 $m(G) < \frac{1}{\alpha} m^*(E)$。

设 $G = \bigcup_k I_k$ 为构成区间分解。则 $$\sum_k m^*(E \cap I_k) = m^*(E) > \alpha \cdot m(G) = \alpha \sum_k |I_k|$$

故存在某个 $k$ 使 $m^*(E \cap I_k) > \alpha |I_k|$。 $\square$

习题 3.1 证明：若 $m^*(E) = 0$，则 $E$ 可测。

习题 3.2 设 $E_1, E_2$ 可测，证明：$m(E_1) + m(E_2) = m(E_1 \cup E_2) + m(E_1 \cap E_2)$。

习题 3.3 设 $\{E_k\}$ 为可测集列，证明： $$m\left(\varliminf_{k \to \infty} E_k\right) \leq \varliminf_{k \to \infty} m(E_k)$$ 若还有 $\bigcup E_k) < \infty$，则 $$m\left(\varlimsup_{k \to \infty} E_k\right) \geq \varlimsup_{k \to \infty} m(E_k)$$

习题 3.4 设 $E \subset \mathbb{R}$，$0 < m(E) < \infty$。证明：函数 $f(x) = m(E \cap (-\infty, x])$ 连续。

习题 3.5 (Steinhaus定理) 设 $E \subset \mathbb{R}$ 可测，$m(E) > 0$。证明：存在 $\delta > 0$ 使 $(-\delta, \delta) \subset E - E = \{x - y \mid x, y \in E\}$。

习题 3.6 构造一个正测度的疏朗完备集。

习题 3.7 证明：$E$ 可测当且仅当对任意区间 $I$： $$|I| = m^*(I \cap E) + m^*(I \cap E^c)$$

习题 3.8 设 $\{E_k\}$ 为互不相交的集列，$E = \bigcup E_k$。证明： $$m^*(E) = \sum_{k=1}^\infty m^*(E_k)$$ 当且仅当每个 $E_k$ 可测。

习题 3.9 设 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，$E \subset \mathbb{R}$ 可测。问 $f(E)$ 是否一定可测？$f^{-1}(E)$ 呢？

习题 3.10 设 $A, B \subset \mathbb{R}$，$A \cup B$ 可测，$m(A \cup B) = m^*(A) + m^*(B) < \infty$。证明：$A, B$ 都可测。