第四章 可测函数

在建立了测度论的基础上，我们需要研究一类“好”的函数——可测函数。这类函数在测度论和积分论中起着核心作用。

可测函数的基本要求：水平集 $\{x \mid f(x) > a\}$ 应该是可测集。

定义 4.1 设 $E \subset \mathbb{R}^n$ 为可测集，$f: E \to \mathbb{R} \cup \{\pm\infty\}$ 为广义实值函数。若对任意实数 $a$，集合 $$E(f > a) = \{x \in E \mid f(x) > a\}$$ 是可测集，则称 $f$ 为 $E$ 上的可测函数。

定理 4.1 以下条件等价：

(1) 对任意 $a \in \mathbb{R}$，$E(f > a)$ 可测

(2) 对任意 $a \in \mathbb{R}$，$E(f \geq a)$ 可测

(3) 对任意 $a \in \mathbb{R}$，$E(f < a)$ 可测

(4) 对任意 $a \in \mathbb{R}$，$E(f \leq a)$ 可测

(5) 对任意开集 $G \subset \mathbb{R}$，$f^{-1}(G)$ 可测

证明

1. $(1) \Rightarrow (2)$: $E(f \geq a) = \bigcap_{n=1}^\infty E(f > a - \frac{1}{n})$
2. $(2) \Rightarrow (3)$: $E(f < a) = E \setminus E(f \geq a)$
3. $(3) \Rightarrow (4)$: $E(f \leq a) = \bigcap_{n=1}^\infty E(f < a + \frac{1}{n})$
4. $(4) \Rightarrow (1)$: $E(f > a) = E \setminus E(f \leq a)$

$(1) \Leftrightarrow (5)$: 开集可表示为可数个开区间的并。 $\square$

定理 4.2 设 $f, g$ 是 $E$ 上的可测函数，则以下函数也可测：

(1) $cf$（$c$ 为常数）

(2) $f + g$（在定义域内）

(3) $fg$

(4) $f/g$（$g \neq 0$）

(5) $|f|$

(6) $\max\{f, g\}$，$\min\{f, g\}$

证明

(2) $E(f + g > a) = \bigcup_{r \in \mathbb{Q}} \left(E(f > r) \cap E(g > a - r)\right)$

对任意 $x$ 使 $f(x) + g(x) > a$，存在有理数 $r$ 使 $f(x) > r > a - g(x)$。

(6) $\max\{f, g\} > a \Leftrightarrow f > a$ 或 $g > a$，故 $$E(\max\{f, g\} > a) = E(f > a) \cup E(g > a)$$ $\square$

定理 4.3 设 $\{f_k\}$ 是 $E$ 上的可测函数列，则以下函数可测：

(1) $\sup_k f_k$

(2) $\inf_k f_k$

(3) $\varlimsup_{k \to \infty} f_k$

(4) $\varliminf_{k \to \infty} f_k$

特别地，若 $\lim_{k \to \infty} f_k$ 存在，则极限函数也可测。

证明

(1) $E(\sup_k f_k > a) = \bigcup_{k=1}^\infty E(f_k > a)$

(3) $\varlimsup_{k} f_k = \inf_{n} \sup_{k \geq n} f_k$ $\square$

定义 4.2 对函数 $f$，定义： $$f^+(x) = \max\{f(x), 0\} = \begin{cases} f(x), & f(x) \geq 0
0, & f(x) < 0 \end{cases}$$ $$f^-(x) = \max\{-f(x), 0\} = \begin{cases} -f(x), & f(x) \leq 0
0, & f(x) > 0 \end{cases}$$

分别称为 $f$ 的正部和负部。

性质:

1. $f = f^+ - f^-$
2. $|f| = f^+ + f^-$
3. $f$ 可测 $\Leftrightarrow$ $f^+$ 和 $f^-$ 都可测

定义 4.3 设 $E$ 为可测集，$\varphi: E \to \mathbb{R}$ 称为简单函数，若 $E$ 可以分解为有限个互不相交的可测集 $E_1, \ldots, E_n$ 的并，且 $\varphi$ 在每个 $E_i$ 上取常数值 $c_i$。

即 $$\varphi(x) = \sum_{i=1}^n c_i \chi_{E_i}(x)$$

其中 $\chi_{E_i}$ 为 $E_i$ 的特征函数。

定理 4.4 设 $f$ 是 $E$ 上的非负可测函数，则存在非负简单函数列 $\{\varphi_k\}$ 满足：

1. $\varphi_k(x) \leq \varphi_{k+1}(x)$（单调递增）
2. $\lim_{k \to \infty} \varphi_k(x) = f(x)$（逐点收敛）

若 $f$ 有界，则收敛是一致的。

构造 对 $k = 1, 2, \ldots$，令 $$\varphi_k(x) = \begin{cases} \frac{i-1}{2^k}, & \frac{i-1}{2^k} \leq f(x) < \frac{i}{2^k}, \quad i = 1, 2, \ldots, k \cdot 2^k
k, & f(x) \geq k \end{cases}$$

证明

1. 对每个 $k$，$\varphi_k$ 是简单函数
2. 当 $f(x) < k$ 时，$0 \leq f(x) - \varphi_k(x) < \frac{1}{2^k}$
3. 单调性：若 $\frac{i-1}{2^k} \leq f(x) < \frac{i}{2^k}$，则要么 $\frac{2i-2}{2^{k+1}} \leq f(x) < \frac{2i-1}{2^{k+1}}$，要么 $\frac{2i-1}{2^{k+1}} \leq f(x) < \frac{2i}{2^{k+1}}$，都有 $\varphi_{k+1}(x) \geq \frac{2i-2}{2^{k+1}} = \frac{i-1}{2^k} = \varphi_k(x)$

若 $f$ 有界，设 $|f| \leq M$，则当 $k > M$ 时，$|f(x) - \varphi_k(x)| < \frac{1}{2^k}$ 对所有 $x$ 成立。 $\square$

推论 任意可测函数都可以用简单函数列逼近。

定义 4.4 设 $E$ 为可测集，$P(x)$ 是关于 $x \in E$ 的命题。若存在零测集 $N \subset E$ 使 $P(x)$ 对所有 $x \in E \setminus N$ 成立，则称 $P(x)$ 在 $E$ 上几乎处处成立，记作 $P(x)$ a.e.。

定义 4.5 函数列 $\{f_k\}$ 在 $E$ 上几乎处处收敛于 $f$，若 $$\{x \in E \mid f_k(x) \not\to f(x)\}) = 0$$

记作 $f_k \to f$ a.e.。

定理 4.5 (Egorov) 设 $E$ 为可测集，$m(E) < \infty$，$\{f_k\}$ 和 $f$ 是 $E$ 上几乎处处有限的可测函数。若 $f_k \to f$ a.e.，则对任意 $\delta > 0$，存在可测集 $E_\delta \subset E$ 使：

1. $m(E \setminus E_\delta) < \delta$
2. $f_k$ 在 $E_\delta$ 上一致收敛于 $f$

证明 不妨设 $f_k \to f$ 处处成立。

对任意 $\varepsilon > 0$，令 $$E_k(\varepsilon) = \bigcup_{n=k}^\infty \{x \in E \mid |f_n(x) - f(x)| \geq \varepsilon\}$$

则 $E_k(\varepsilon) \downarrow \emptyset$（因 $f_n \to f$）。由测度的上连续性： $$\lim_{k \to \infty} m(E_k(\varepsilon)) = 0$$

对任意 $\delta > 0$ 和 $j = 1, 2, \ldots$，取 $k_j$ 使 $$m(E_{k_j}(1/j)) < \frac{\delta}{2^j}$$

令 $E_\delta = E \setminus \bigcup_{j=1}^\infty E_{k_j}(1/j)$，则 $$m(E \setminus E_\delta) \leq \sum_{j=1}^\infty m(E_{k_j}(1/j)) < \delta$$

对任意 $\varepsilon > 0$，取 $j > 1/\varepsilon$。当 $n \geq k_j$ 且 $x \in E_\delta$ 时，$x \notin E_{k_j}(1/j)$，故 $$|f_n(x) - f(x)| < \frac{1}{j} < \varepsilon$$

即 $f_k$ 在 $E_\delta$ 上一致收敛于 $f$。 $\square$

注意: 条件 $m(E) < \infty$ 不可去掉。

Lusin定理揭示了可测函数与连续函数之间的深刻联系。

定理 4.6 (Lusin) 设 $E$ 为可测集，$f$ 是 $E$ 上几乎处处有限的可测函数。则对任意 $\delta > 0$，存在闭集 $F_\delta \subset E$ 使：

1. $m(E \setminus F_\delta) < \delta$
2. $f$ 在 $F_\delta$ 上连续

若 $E$ 有界，还可以要求 $f$ 在 $F_\delta$ 上一致连续。

引理 简单函数在去掉小测度集后连续。

证明 设 $\varphi = \sum_{i=1}^n c_i \chi_{E_i}$，$E = \bigsqcup E_i$。

对每个 $E_i$，取闭集 $F_i \subset E_i$ 使 $m(E_i \setminus F_i) < \delta/n$。 令 $F = \bigcup F_i$，则 $F$ 是闭集，$m(E \setminus F) < \delta$。

$\varphi$ 在 $F$ 上取常数值 $c_i$，故连续。 $\square$

Lusin定理的证明

(1) 设 $f$ 有界。取简单函数列 $\varphi_k \to f$ 一致收敛（由Egorov定理先去掉小测度集）。

对每个 $\varphi_k$，取闭集 $F_k$ 使 $\varphi_k$ 在 $F_k$ 上连续，且 $m(E \setminus F_k) < \delta/2^{k+1}$。

令 $F = \bigcap F_k$，则 $m(E \setminus F) < \delta/2$，$\varphi_k$ 在 $F$ 上连续。

由于 $\varphi_k \to f$ 一致，$f$ 在 $F$ 上连续。

(2) 一般情形：令 $E_n = E \cap B(0, n)$，在每个 $E_n$ 上应用上述结果。 $\square$

定理 4.7 (Tietze延拓定理，特殊情形) 设 $F \subset \mathbb{R}^n$ 为闭集，$f$ 在 $F$ 上连续且有界。则存在 $\mathbb{R}^n$ 上的连续函数 $g$ 使 $g|_F = f$ 且 $\sup |g| = \sup |f|$。

推论 Lusin定理中的 $f|_{F_\delta}$ 可以延拓为 $\mathbb{R}^n$ 上的连续函数。

定义 4.6 若对任意开集 $G$，$f^{-1}(G)$ 是Borel集，称 $f$ 为Borel可测函数。

定理 4.8 连续函数是Borel可测的。

定理 4.9 设 $f$ 可测，$g$ 连续，则 $g \circ f$ 可测。

注意: $f \circ g$ 不一定可测，即使 $f$ 连续、$g$ 可测。

例 4.1 证明：单调函数是可测函数。

证明 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上单调递增。对任意 $c \in \mathbb{R}$，集合 $\{x \mid f(x) > c\}$ 是区间（可能为空），故可测。 $\square$

例 4.2 设 $f$ 可测，$g = f$ a.e.，证明 $g$ 可测。

证明 设 $N = \{x \mid f(x) \neq g(x)\}$，$m(N) = 0$。 对任意 $a$： $$\{g > a\} = (\{f > a\} \setminus N) \cup (\{g > a\} \cap N)$$

前者可测，后者是零测集的子集，也可测。 $\square$

例 4.3 设 $\{f_k\}$ 可测，证明 $h(x) = \sup_k f_k(x)$ 可测，且 $$\{x \mid h(x) > a\} = \bigcup_{k=1}^\infty \{x \mid f_k(x) > a\}$$

例 4.4 证明：Dirichlet函数（有理点取1，无理点取0）是可测函数，但在任何区间上不连续。

习题 4.1 设 $f$ 是 $E$ 上的可测函数，$G \subset \mathbb{R}$ 为开集，证明 $f^{-1}(G)$ 可测。

习题 4.2 设 $f$ 在 $E$ 上可测，$E_1 \subset E$ 可测，证明 $f|_{E_1}$ 可测。

习题 4.3 设 $f$ 和 $g$ 在 $E$ 上可测，证明 $\{x \mid f(x) > g(x)\}$ 是可测集。

习题 4.4 设 $\{f_k\}$ 可测，证明 $\{x \mid \lim_{k \to \infty} f_k(x) \text{ 存在}\}$ 是可测集。

习题 4.5 设 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上可微，证明 $f'$ 可测。

习题 4.6 证明：$f$ 可测当且仅当存在简单函数列 $\{\varphi_k\}$ 使 $\varphi_k \to f$ 且 $|\varphi_k| \leq |f|$。

习题 4.7 设 $f_k \to f$ a.e.，$g$ 连续，证明 $g \circ f_k \to g \circ f$ a.e.。若 $g$ 仅可测，结论是否仍成立？

习题 4.8 (Lusin定理逆) 设对任意 $\delta > 0$，存在闭集 $F \subset E$ 使 $m(E \setminus F) < \delta$ 且 $f$ 在 $F$ 上连续，证明 $f$ 可测。

习题 4.9 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上可测，证明存在多项式列 $\{P_k\}$ 使 $P_k \to f$ a.e.。

习题 4.10 构造可测函数 $f$ 和连续函数 $g$ 使 $f \circ g$ 不可测。