工程数学

工程数学是理工科学生的重要基础课程，涵盖复变函数、积分变换、特殊函数与方程、数理方程等核心内容。本课程为后续专业课程如电磁场理论、信号处理、量子力学、弹性力学等奠定数学基础。

通过本课程的学习，学生应达到以下目标：

• 掌握复变函数的基本理论和方法
• 熟练运用傅里叶变换、拉普拉斯变换等积分变换工具
• 了解勒让德函数、贝塞尔函数等特殊函数的性质与应用
• 掌握数学物理方程的常用求解方法
• 培养运用数学工具解决工程实际问题的能力

本课程共分为四个部分，十八章内容：

1. 第一章 复数与复变函数 — 复数运算、复平面、复变函数、极限与连续
2. 第二章 解析函数 — 导数、柯西-黎曼条件、调和函数、初等函数
3. 第三章 复变函数的积分 — 复积分、柯西积分定理、柯西积分公式
4. 第四章 级数 — 复数项级数、幂级数、泰勒级数、洛朗级数
5. 第五章 留数理论 — 孤立奇点、留数计算、留数定理、围道积分
6. 第六章 保角映射 — 保角性、分式线性映射、初等函数映射、施瓦茨-克里斯托费尔映射

1. 第七章 傅里叶变换 — 傅里叶积分、傅里叶变换、性质、卷积定理
2. 第八章 拉普拉斯变换 — 定义、性质、逆变换、卷积、应用
3. 第九章 Z变换 — 定义、收敛域、性质、逆Z变换、差分方程求解

1. 第十章 常微分方程级数解法 — 幂级数解法、Frobenius方法、正则奇点
2. 第十一章 勒让德函数 — 勒让德方程、勒让德多项式、正交性、球函数
3. 第十二章 贝塞尔函数 — 贝塞尔方程、贝塞尔函数、性质、应用
4. 第十三章 格林函数 — 格林函数概念、常微分方程格林函数、偏微分方程格林函数

1. 第十四章 数学物理方程 — 波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程、定解条件
2. 第十五章 分离变量法 — 弦振动、热传导、极坐标分离、柱坐标分离
3. 第十六章 本征值问题 — Sturm-Liouville问题、正交函数系、展开定理
4. 第十七章 积分变换法 — 傅里叶变换解PDE、拉普拉斯变换解PDE
5. 第十八章 变分法 — 泛函极值、欧拉方程、Rayleigh-Ritz方法

• 理论学习：深入理解基本概念和定理的证明过程
• 例题研习：通过典型例题掌握解题方法和技巧
• 习题训练：独立完成每章习题，巩固所学知识
• 工程应用：关注数学方法在工程实际问题中的应用
• 软件辅助：适当使用MATLAB、Mathematica等软件进行数值验证

• 梁昆淼，《数学物理方法》，高等教育出版社
• 吴崇试，《数学物理方法》，北京大学出版社
• 王竹溪、郭敦仁，《特殊函数概论》，北京大学出版社
• G. B. Arfken & H. J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, Academic Press
• E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, Wiley

本课程使用以下数学符号约定：

• $i$ — 虚数单位，$i^2 = -1$
• $\mathbb{C}$ — 复数集合
• $\mathbb{R}$ — 实数集合
• $\mathbb{Z}$ — 整数集合
• $\mathbb{N}$ — 自然数集合
• $\Re(z)$ — 复数 $z$ 的实部
• $\Im(z)$ — 复数 $z$ 的虚部
• $|z|$ — 复数 $z$ 的模
• $\arg(z)$ — 复数 $z$ 的辐角
• $\bar{z}$ 或 $z^*$ — 复数 $z$ 的共轭
• $\nabla$ — 梯度算子（Nabla算子）
• $\nabla^2$ 或 $\Delta$ — Laplace算子
• $\delta(t)$ — Dirac delta函数
• $\Gamma(z)$ — Gamma函数
• $J_\nu(z)$ — 第一类Bessel函数
• $P_n(x)$ — Legendre多项式

建议按以下进度学习本课程内容：

• 平时作业：30%
• 期中考试：20%
• 期末考试：50%

请从 第一章 复数与复变函数 开始您的学习之旅！

<note tip> 本课程所有公式均使用LaTeX格式书写，可在支持MathJax的浏览器中正确显示。如遇到公式显示问题，请检查浏览器设置或刷新页面。 </note>