本章介绍复数的基本概念、运算规则，以及复变函数的基础理论，为后续学习解析函数、复积分等内容奠定基础。
定义 1.1（复数） 形如 $z = x + iy$ 的数称为复数，其中：
其中 $x$ 称为复数 $z$ 的实部，记作 $\Re(z)$ 或 $\text{Re}(z)$；$y$ 称为复数 $z$ 的虚部，记作 $\Im(z)$ 或 $\text{Im}(z)$。
当 $y = 0$ 时，$z = x$ 为实数；当 $x = 0$ 且 $y \neq 0$ 时，$z = iy$ 称为纯虚数。
全体复数构成的集合记作 $\mathbb{C}$，即： $$\mathbb{C} = \{z = x + iy \mid x, y \in \mathbb{R}, i^2 = -1\}$$
复平面（Argand平面）
复数 $z = x + iy$ 可以用平面直角坐标系中的点 $(x, y)$ 来表示，也可以用从原点指向该点的向量来表示。这样的平面称为复平面或Argand平面：
复数的极坐标表示
复数 $z = x + iy$ 还可以用极坐标 $(r, \theta)$ 表示： $$x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta$$
于是： $$z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$$
其中：
辐角的多值性
辐角 $\theta$ 是多值的，满足： $$\tan\theta = \frac{y}{x}$$
若 $\theta_0$ 是 $z$ 的一个辐角，则 $\theta = \theta_0 + 2k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）都是 $z$ 的辐角。
满足 $-\pi < \theta_0 \leq \pi$ 的辐角称为主值，记作 $\text{Arg}(z)$。
Riemann球面
将复平面上的点与单位球面上的点建立一一对应关系：
扩充复平面 $$\mathbb{C}_\infty = \mathbb{C} \cup \{\infty\}$$
无穷远点的运算规则：
设 $z_1 = x_1 + iy_1$，$z_2 = x_2 + iy_2$，则：
加法： $$z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)$$
减法： $$z_1 - z_2 = (x_1 - x_2) + i(y_1 - y_2)$$
乘法： $$z_1 \cdot z_2 = (x_1x_2 - y_1y_2) + i(x_1y_2 + x_2y_1)$$
或用极坐标形式（设 $z_1 = r_1e^{i\theta_1}$，$z_2 = r_2e^{i\theta_2}$）： $$z_1 \cdot z_2 = r_1r_2e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$$
除法（$z_2 \neq 0$）： $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \cdot \bar{z}_2}{z_2 \cdot \bar{z}_2} = \frac{(x_1x_2 + y_1y_2) + i(x_2y_1 - x_1y_2)}{x_2^2 + y_2^2}$$
极坐标形式： $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$$
定义 1.2（共轭复数） 复数 $z = x + iy$ 的共轭复数定义为： $$\bar{z} = x - iy$$
共轭复数的性质：
De Moivre公式
由 $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$，得： $$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$$
复数的n次方根
设 $z = re^{i\theta}$，求 $w$ 使得 $w^n = z$。
设 $w = \rho e^{i\phi}$，则： $$\rho^n e^{in\phi} = re^{i\theta}$$
解得： $$\rho = r^{1/n}, \quad \phi = \frac{\theta + 2k\pi}{n}, \quad k = 0, 1, 2, …, n-1$$
因此，$z$ 的 $n$ 次方根有 $n$ 个不同的值： $$w_k = r^{1/n}e^{i\frac{\theta + 2k\pi}{n}}, \quad k = 0, 1, 2, …, n-1$$
这 $n$ 个根在复平面上均匀分布在以原点为中心、半径为 $r^{1/n}$ 的圆周上。
例1.1 求 $\sqrt[3]{-8}$ 的所有值。
解：$-8 = 8e^{i\pi}$，所以： $$w_k = 2e^{i\frac{\pi + 2k\pi}{3}}, \quad k = 0, 1, 2$$
计算得：
定义 1.3 设 $z_0 \in \mathbb{C}$，$r > 0$：
定义 1.4（点与集合的关系） 设 $E \subset \mathbb{C}$，$z_0 \in \mathbb{C}$：
定义 1.5（开集与闭集）
定义 1.6（曲线） 设 $z(t) = x(t) + iy(t)$，$t \in [a, b]$，若 $x(t), y(t)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则称 $z(t)$ 定义了复平面上的一条连续曲线。
Jordan曲线定理：任何简单闭曲线将复平面分成两个区域，一个有界（内部），一个无界（外部）。
定义 1.7（复变函数） 设 $D \subset \mathbb{C}$ 为非空点集，若对 $D$ 中每个复数 $z$，按照某种对应法则 $f$，有唯一确定的复数 $w$ 与之对应，则称 $f$ 为定义在 $D$ 上的复变函数，记作： $$w = f(z), \quad z \in D$$
其中：
复变函数的实部与虚部
设 $w = f(z)$，$z = x + iy$，则 $w$ 可以表示为： $$w = u(x, y) + iv(x, y)$$
其中 $u(x, y) = \Re(f(z))$，$v(x, y) = \Im(f(z))$ 是二元实函数。
例1.2 设 $f(z) = z^2$，求其实部和虚部。
解：设 $z = x + iy$，则： $$f(z) = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$$
所以： $$u(x, y) = x^2 - y^2, \quad v(x, y) = 2xy$$
定义 1.8（极限） 设函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 的某去心邻域内有定义，$A \in \mathbb{C}$。若对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |z - z_0| < \delta$ 时，有： $$|f(z) - A| < \varepsilon$$
则称当 $z \to z_0$ 时，$f(z)$ 的极限为 $A$，记作： $$\lim_{z \to z_0} f(z) = A$$
定理 1.1（极限的充要条件） 设 $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$，$z_0 = x_0 + iy_0$，$A = a + ib$，则： $$\lim_{z \to z_0} f(z) = A \iff \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} u(x, y) = a \text{ 且 } \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} v(x, y) = b$$
极限运算法则： 设 $\lim_{z \to z_0} f(z) = A$，$\lim_{z \to z_0} g(z) = B$，则：
定义 1.9（连续性） 设函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 的某邻域内有定义，若： $$\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)$$
则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处连续。
若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内每一点都连续，则称 $f(z)$ 在 $D$ 内连续。
定理 1.2（连续性的充要条件） $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ 在 $z_0 = x_0 + iy_0$ 处连续，当且仅当 $u(x, y)$ 和 $v(x, y)$ 都在 $(x_0, y_0)$ 处连续。
定理 1.3（连续函数的性质）
例1.3 将下列复数表示为 $x + iy$ 的形式： (1) $\frac{1+i}{1-i}$；(2) $(1+i)^{10}$；(3) $\sqrt{3+4i}$
解：
(1) 分子分母同乘以 $(1+i)$： $$\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 - i^2} = \frac{2i}{2} = i$$
(2) 先将 $1+i$ 化为极坐标形式： $$1+i = \sqrt{2}e^{i\pi/4}$$
所以： $$(1+i)^{10} = (\sqrt{2})^{10}e^{i\cdot 10\pi/4} = 32e^{i\cdot 5\pi/2} = 32e^{i\cdot \pi/2} = 32i$$
(3) 设 $\sqrt{3+4i} = x + iy$，则： $$(x+iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy = 3 + 4i$$
得方程组：
$$\begin{cases} x^2 - y^2 = 3
2xy = 4 \end{cases}$$
由第二式得 $y = \frac{2}{x}$，代入第一式： $$x^2 - \frac{4}{x^2} = 3 \Rightarrow x^4 - 3x^2 - 4 = 0$$
解得 $x^2 = 4$（舍去负根），所以 $x = \pm 2$，$y = \pm 1$（同号）。
因此：$\sqrt{3+4i} = \pm(2+i)$
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例1.4 证明：若 $|z| = 1$，则 $\left|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right| = 1$（其中 $|a| < 1$）。
证明：由 $|z| = 1$，有 $\bar{z} = \frac{1}{z}$。
$$\left|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right|^2 = \frac{(z-a)(\bar{z}-\bar{a})}{(1-\bar{a}z)(1-a\bar{z})}$$
$$= \frac{z\bar{z} - a\bar{z} - \bar{a}z + a\bar{a}}{1 - a\bar{z} - \bar{a}z + a\bar{a}z\bar{z}}$$
$$= \frac{1 - a\bar{z} - \bar{a}z + |a|^2}{1 - a\bar{z} - \bar{a}z + |a|^2} = 1$$
因此原式成立。
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例1.5 证明 $\lim_{z \to i}\frac{z^2+1}{z-i} = 2i$。
证明：当 $z \neq i$ 时： $$\frac{z^2+1}{z-i} = \frac{(z-i)(z+i)}{z-i} = z+i$$
所以： $$\left|\frac{z^2+1}{z-i} - 2i\right| = |z+i-2i| = |z-i|$$
对任意 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \varepsilon$，则当 $0 < |z-i| < \delta$ 时： $$\left|\frac{z^2+1}{z-i} - 2i\right| = |z-i| < \varepsilon$$
因此极限为 $2i$。
一、基础练习
1. 将下列复数化为 $x + iy$ 形式：
(a) $\frac{3+2i}{2-3i}$
(b) $\frac{1}{i} - \frac{3i}{1-i}$
(c) $(2-i)^4$
2. 求下列复数的模和辐角：
(a) $\sqrt{3} - i$
(b) $-1 + i$
(c) $\frac{1+i\sqrt{3}}{2}$
3. 求 $\sqrt[4]{-16}$ 的所有值。
4. 证明：$|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2)$（平行四边形法则）。
二、思考题
5. 讨论函数 $f(z) = \frac{\bar{z}}{z}$ 在 $z \to 0$ 时的极限是否存在。
6. 设 $f(z) = \frac{x}{x^2+y^2} - i\frac{y}{x^2+y^2}$，研究其在 $z \neq 0$ 处的连续性。
7. 证明：复数 $z_1, z_2, z_3$ 构成等边三角形的充要条件是：
$$z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1$$
三、应用题
8. 设复平面上的映射 $w = z^2$，求：
(a) 直线 $x = 1$ 在此映射下的像 (b) 圆 $|z| = 2$ 在此映射下的像
9. 证明：方程 $|z-z_1| = k|z-z_2|$（$k > 0$，$k \neq 1$）表示圆（Apollonius圆）。
下章预告：第二章将介绍复变函数的导数概念，研究解析函数的性质。