本章介绍傅里叶变换的基本理论，包括傅里叶积分、傅里叶变换的定义与性质、卷积定理及其应用，这是信号处理和数学物理中的重要工具。
设 $f(t)$ 是以 $T$ 为周期的函数，满足Dirichlet条件，则可展开为： $$f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{2\pi nt}{T} + b_n\sin\frac{2\pi nt}{T}\right)$$
或复数形式： $$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{i\frac{2\pi nt}{T}}$$
其中： $$c_n = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-i\frac{2\pi nt}{T}}dt$$
$|c_n|$ 表示频率为 $\frac{n}{T}$ 的分量的幅度，称为频谱。
当 $T \to \infty$ 时，离散频谱变为连续频谱，引出傅里叶积分。
定理 7.1（傅里叶积分定理） 设 $f(t)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上满足：
则： $$\frac{1}{2}[f(t+0) + f(t-0)] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)e^{-i\omega\tau}d\tau\right]e^{i\omega t}d\omega$$
在连续点： $$f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)e^{-i\omega\tau}d\tau\right]e^{i\omega t}d\omega$$
定义 7.1（傅里叶变换） 设 $f(t)$ 满足傅里叶积分条件，定义： $$F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)] = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$$
为 $f(t)$ 的傅里叶变换（或像函数）。
其逆变换为： $$f(t) = \mathcal{F}^{-1}[F(\omega)] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega$$
注：不同文献中傅里叶变换的定义可能略有不同（如系数 $1/\sqrt{2\pi}$ 的分配）。
$$\mathcal{F}[\alpha f(t) + \beta g(t)] = \alpha\mathcal{F}[f(t)] + \beta\mathcal{F}[g(t)]$$
时移： $$\mathcal{F}[f(t - t_0)] = e^{-i\omega t_0}F(\omega)$$
频移： $$\mathcal{F}[e^{i\omega_0 t}f(t)] = F(\omega - \omega_0)$$
设 $a \neq 0$： $$\mathcal{F}[f(at)] = \frac{1}{|a|}F\left(\frac{\omega}{a}\right)$$
物理意义：信号在时域压缩（$a > 1$），则在频域扩展，幅度减小。
时域微分： $$\mathcal{F}[f'(t)] = i\omega F(\omega)$$
一般地： $$\mathcal{F}[f^{(n)}(t)] = (i\omega)^n F(\omega)$$
要求 $f^{(k)}(t) \to 0$（当 $t \to \pm\infty$，$k = 0, 1, \ldots, n-1$）。
频域微分： $$\mathcal{F}[tf(t)] = i\frac{d}{d\omega}F(\omega)$$
$$\mathcal{F}\left[\int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau\right] = \frac{1}{i\omega}F(\omega) + \pi F(0)\delta(\omega)$$
若 $\mathcal{F}[f(t)] = F(\omega)$，则： $$\mathcal{F}[F(t)] = 2\pi f(-\omega)$$
$$g_\tau(t) = \begin{cases} 1, & |t| < \tau/2
0, & |t| > \tau/2 \end{cases}$$
$$\mathcal{F}[g_\tau(t)] = \int_{-\tau/2}^{\tau/2}e^{-i\omega t}dt = \frac{2\sin(\omega\tau/2)}{\omega} = \tau\text{sinc}\left(\frac{\omega\tau}{2\pi}\right)$$
其中 $\text{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$。
$f(t) = e^{-\alpha t}u(t)$（$\alpha > 0$），其中 $u(t)$ 为单位阶跃函数。
$$\mathcal{F}[e^{-\alpha t}u(t)] = \int_{0}^{\infty}e^{-\alpha t}e^{-i\omega t}dt = \frac{1}{\alpha + i\omega}$$
$f(t) = e^{-t^2}$
$$\mathcal{F}[e^{-t^2}] = \sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$$
高斯函数的傅里叶变换仍是高斯函数。
定义：
$$\delta(t) = \begin{cases} \infty, & t = 0
0, & t \neq 0 \end{cases}, \quad \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt = 1$$
性质： $$\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-t_0)dt = f(t_0)$$
傅里叶变换： $$\mathcal{F}[\delta(t)] = 1$$
$$\mathcal{F}[\delta(t-t_0)] = e^{-i\omega t_0}$$
$$\mathcal{F}[1] = 2\pi\delta(\omega)$$
$$\mathcal{F}[e^{i\omega_0 t}] = 2\pi\delta(\omega - \omega_0)$$
定义 7.2（卷积） 两个函数 $f(t)$ 和 $g(t)$ 的卷积定义为： $$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau$$
性质：
定理 7.2（时域卷积定理） $$\mathcal{F}[f * g] = F(\omega) \cdot G(\omega)$$
证明： $$\mathcal{F}[f * g] = \int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau\right]e^{-i\omega t}dt$$
$$= \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\left[\int_{-\infty}^{\infty}g(t-\tau)e^{-i\omega t}dt\right]d\tau$$
$$= \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)e^{-i\omega\tau}G(\omega)d\tau = F(\omega)G(\omega)$$
定理 7.3（频域卷积定理） $$\mathcal{F}[f \cdot g] = \frac{1}{2\pi}(F * G)(\omega)$$
例7.1 求解微分方程：$y'' + y = f(t)$。
解：两边取傅里叶变换： $$(i\omega)^2Y(\omega) + Y(\omega) = F(\omega)$$
$$(1 - \omega^2)Y(\omega) = F(\omega)$$
$$Y(\omega) = \frac{F(\omega)}{1 - \omega^2}$$
$$y(t) = \mathcal{F}^{-1}\left[\frac{F(\omega)}{1 - \omega^2}\right]$$
Parseval等式： $$\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^2d\omega$$
表示信号在时域和频域的能量相等。
例7.2 求 $f(t) = e^{-|t|}$ 的傅里叶变换。
解： $$F(\omega) = \int_{-\infty}^{0}e^{t}e^{-i\omega t}dt + \int_{0}^{\infty}e^{-t}e^{-i\omega t}dt$$
$$= \frac{1}{1-i\omega} + \frac{1}{1+i\omega} = \frac{2}{1+\omega^2}$$
—
例7.3 利用卷积定理求 $\mathcal{F}^{-1}\left[\frac{1}{(1+\omega^2)^2}\right]$。
解：由例7.2，$\mathcal{F}[e^{-|t|}] = \frac{2}{1+\omega^2}$，所以： $$\frac{1}{(1+\omega^2)^2} = \frac{1}{4}\left(\frac{2}{1+\omega^2}\right)^2$$
由卷积定理： $$\mathcal{F}^{-1}\left[\frac{1}{(1+\omega^2)^2}\right] = \frac{1}{4}(e^{-|t|} * e^{-|t|})$$
$$= \frac{1}{4}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|\tau|}e^{-|t-\tau|}d\tau$$
分段计算得： $$= \frac{1}{4}(1+|t|)e^{-|t|}$$
一、基础练习
1. 求下列函数的傅里叶变换：
(a) $f(t) = \begin{cases} e^{-\alpha t}, & t > 0 \\ 0, & t < 0 \end{cases}$（$\alpha > 0$）
(b) $f(t) = \cos(\omega_0 t)$
(c) $f(t) = \frac{\sin t}{t}$
2. 利用傅里叶变换的性质，求：
(a) $\mathcal{F}[te^{-\alpha t}u(t)]$
(b) $\mathcal{F}[f(t)\cos\omega_0 t]$（已知 $\mathcal{F}[f(t)] = F(\omega)$）
(c) $\mathcal{F}\left[\frac{1}{t^2+1}\right]$
3. 计算下列卷积：
(a) $e^{-\alpha t}u(t) * e^{-\beta t}u(t)$（$\alpha, \beta > 0$）
(b) $g_\tau(t) * g_\tau(t)$（门函数自卷积）
二、思考题
4. 证明：若 $f(t)$ 是实偶函数，则 $F(\omega)$ 是实偶函数；若 $f(t)$ 是实奇函数，则 $F(\omega)$ 是纯虚奇函数。
5. 利用Parseval等式，计算 $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin^2 t}{t^2}dt$。
6. 证明采样定理：若 $f(t)$ 的傅里叶变换在 $|\omega| > \omega_c$ 时为零，则 $f(t)$ 可由采样值 $f(nT)$（$T = \frac{\pi}{\omega_c}$）完全重构。
三、应用题
7. 用傅里叶变换求解边值问题：
$$\begin{cases} u_{tt} = u_{xx}, & -\infty < x < \infty, t > 0
u(x,0) = \varphi(x), & u_t(x,0) = \psi(x) \end{cases}$$
8. 计算积分：$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(x^2+1)^2}$（利用傅里叶变换）。
下章预告：第八章将介绍拉普拉斯变换，适用于更广泛的函数类。