本章介绍复变函数的积分理论，包括复积分的定义、柯西积分定理和柯西积分公式，这是复变函数理论的核心内容。
定义 3.1（有向曲线） 设 $C$ 为复平面上一条光滑或分段光滑的曲线，若指定 $C$ 的一个方向为正方向，则称 $C$ 为有向曲线。
定义 3.2（复积分） 设 $C$ 为复平面上以 $z_0$ 为起点、$Z$ 为终点的有向光滑曲线，$f(z)$ 在 $C$ 上有定义。将 $C$ 任意分割为 $n$ 段，分点为： $$z_0, z_1, z_2, \ldots, z_{n-1}, z_n = Z$$
在每个弧段 $\widehat{z_{k-1}z_k}$ 上任取一点 $\zeta_k$，作和式： $$S_n = \sum_{k=1}^{n}f(\zeta_k)(z_k - z_{k-1}) = \sum_{k=1}^{n}f(\zeta_k)\Delta z_k$$
令 $\lambda = \max_{1 \leq k \leq n}|\Delta z_k|$，若当 $\lambda \to 0$ 时，$S_n$ 的极限存在且与分割方式及 $\zeta_k$ 的取法无关，则称该极限为 $f(z)$ 沿 $C$ 的复积分，记作： $$\int_C f(z)dz = \lim_{\lambda \to 0}\sum_{k=1}^{n}f(\zeta_k)\Delta z_k$$
设 $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$，$z = x + iy$，$dz = dx + idy$，则： $$\int_C f(z)dz = \int_C (u + iv)(dx + idy) = \int_C udx - vdy + i\int_C vdx + udy$$
这是两个实曲线积分的组合。
若曲线 $C$ 的参数方程为 $z(t) = x(t) + iy(t)$，$t \in [a, b]$，则： $$\int_C f(z)dz = \int_a^b f(z(t))z'(t)dt$$
$$\left|\int_C f(z)dz\right| \leq \int_C |f(z)||dz| \leq ML$$
例3.1 计算 $\int_C z dz$，其中 $C$ 为从原点到点 $1+i$ 的直线段。
解：参数化 $C$：$z(t) = t + it = t(1+i)$，$t \in [0, 1]$。
$z'(t) = 1+i$
$$\int_C z dz = \int_0^1 t(1+i) \cdot (1+i)dt = (1+i)^2\int_0^1 t dt$$
$$= 2i \cdot \frac{1}{2} = i$$
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例3.2 计算 $\oint_{|z|=r}\frac{dz}{z}$（沿逆时针方向）。
解：参数化圆周：$z = re^{i\theta}$，$\theta \in [0, 2\pi]$。
$dz = ire^{i\theta}d\theta$
$$\oint_{|z|=r}\frac{dz}{z} = \int_0^{2\pi}\frac{ire^{i\theta}d\theta}{re^{i\theta}} = i\int_0^{2\pi}d\theta = 2\pi i$$
重要结论：此积分值与半径 $r$ 无关。
定理 3.1（柯西积分定理，单连通区域） 设 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析，$C$ 为 $D$ 内任意一条简单闭曲线，则： $$\oint_C f(z)dz = 0$$
证明概要：利用格林公式。由： $$\oint_C f(z)dz = \oint_C udx - vdy + i\oint_C vdx + udy$$
由格林公式和C-R条件： $$\oint_C udx - vdy = \iint_G\left(-\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}\right)dxdy = 0$$ （因 $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$）
同理可证虚部也为零。
定理 3.2（多连通区域的柯西定理） 设 $C$ 为多连通区域 $D$ 的外边界（逆时针），$C_1, C_2, \ldots, C_n$ 为内边界（顺时针），$f(z)$ 在 $D$ 内解析，则： $$\oint_C f(z)dz + \sum_{k=1}^{n}\oint_{C_k} f(z)dz = 0$$
或写成（若所有曲线均取逆时针方向）： $$\oint_C f(z)dz = \sum_{k=1}^{n}\oint_{C_k} f(z)dz$$
物理意义：外边界上的积分等于各内边界上积分之和。
定理 3.3 设 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析，则：
定义 3.3（原函数） 满足 $F'(z) = f(z)$ 的函数 $F(z)$ 称为 $f(z)$ 的原函数。
常用原函数：
例3.3 计算 $\int_0^{1+i}z^2 dz$。
解：$z^2$ 在全平面解析，故： $$\int_0^{1+i}z^2 dz = \left.\frac{z^3}{3}\right|_0^{1+i} = \frac{(1+i)^3}{3} = \frac{1 + 3i + 3i^2 + i^3}{3} = \frac{1 + 3i - 3 - i}{3} = \frac{-2 + 2i}{3}$$
定理 3.4（柯西积分公式） 设 $f(z)$ 在简单闭曲线 $C$ 及其内部 $D$ 上解析，$z_0$ 为 $D$ 内任意一点，则： $$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0}dz$$
证明：以 $z_0$ 为中心，$r$ 为半径作小圆 $C_r$（逆时针），使得 $C_r$ 完全在 $D$ 内。
由多连通区域的柯西定理： $$\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0}dz = \oint_{C_r} \frac{f(z)}{z - z_0}dz$$
在 $C_r$ 上，$z = z_0 + re^{i\theta}$，$dz = ire^{i\theta}d\theta$： $$= \int_0^{2\pi}\frac{f(z_0 + re^{i\theta})}{re^{i\theta}}ire^{i\theta}d\theta = i\int_0^{2\pi}f(z_0 + re^{i\theta})d\theta$$
令 $r \to 0$，由连续性 $f(z_0 + re^{i\theta}) \to f(z_0)$： $$= i\int_0^{2\pi}f(z_0)d\theta = 2\pi i f(z_0)$$
因此： $$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0}dz$$
重要意义：解析函数在区域内部的值完全由边界上的值决定！
定理 3.5（高阶导数公式） 设 $f(z)$ 在 $C$ 及其内部解析，则 $f(z)$ 在 $D$ 内有任意阶导数，且： $$f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}}dz$$
推论：区域内解析的函数具有任意阶导数，且各阶导数仍解析。
这与实函数完全不同：实函数可导不一定有二阶导数。
定理 3.6（Morera定理，柯西定理的逆） 若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内连续，且对 $D$ 内任意简单闭曲线 $C$ 有： $$\oint_C f(z)dz = 0$$ 则 $f(z)$ 在 $D$ 内解析。
定理 3.7（Cauchy不等式） 设 $f(z)$ 在 $|z - z_0| \leq R$ 上解析，$M = \max_{|z-z_0|=R}|f(z)|$，则： $$|f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!M}{R^n}$$
定理 3.8（Liouville定理） 有界整函数必为常数。
证明：设 $|f(z)| \leq M$ 对所有 $z \in \mathbb{C}$ 成立。对任意 $z_0$，由Cauchy不等式： $$|f'(z_0)| \leq \frac{M}{R}$$
令 $R \to \infty$，得 $|f'(z_0)| = 0$，故 $f'(z) \equiv 0$，$f(z)$ 为常数。
定理 3.9（代数基本定理） $n$ 次多项式 $P(z) = a_nz^n + \cdots + a_1z + a_0$（$n \geq 1$，$a_n \neq 0$）在复平面上至少有一个零点。
证明（反证法）：若 $P(z) \neq 0$ 对所有 $z$ 成立，则 $\frac{1}{P(z)}$ 是整函数。
当 $|z| \to \infty$： $$|P(z)| = |z|^n\left|a_n + \frac{a_{n-1}}{z} + \cdots + \frac{a_0}{z^n}\right| \to \infty$$
所以 $\frac{1}{P(z)} \to 0$（有界），由Liouville定理，$\frac{1}{P(z)}$ 为常数，矛盾。
例3.4 计算 $\oint_{|z|=2}\frac{e^z}{z^2+1}dz$。
解：被积函数 $f(z) = \frac{e^z}{z^2+1} = \frac{e^z}{(z-i)(z+i)}$ 在圆 $|z| = 2$ 内有两个奇点 $z = \pm i$。
作小圆 $C_1$ 包围 $i$，$C_2$ 包围 $-i$，由多连通区域柯西定理： $$\oint_{|z|=2}\frac{e^z}{z^2+1}dz = \oint_{C_1}\frac{e^z}{(z-i)(z+i)}dz + \oint_{C_2}\frac{e^z}{(z-i)(z+i)}dz$$
对第一个积分，$\frac{e^z}{z+i}$ 在 $C_1$ 内解析，由柯西积分公式： $$\oint_{C_1}\frac{\frac{e^z}{z+i}}{z-i}dz = 2\pi i \cdot \frac{e^i}{i+i} = 2\pi i \cdot \frac{e^i}{2i} = \pi e^i$$
对第二个积分： $$\oint_{C_2}\frac{\frac{e^z}{z-i}}{z+i}dz = 2\pi i \cdot \frac{e^{-i}}{-i-i} = 2\pi i \cdot \frac{e^{-i}}{-2i} = -\pi e^{-i}$$
总和： $$= \pi(e^i - e^{-i}) = 2\pi i\sin 1$$
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例3.5 计算 $\oint_{|z|=1}\frac{\cos z}{z^3}dz$。
解：由高阶导数公式，$n = 2$： $$\oint_{|z|=1}\frac{\cos z}{z^3}dz = \frac{2\pi i}{2!}(\cos z)''|_{z=0} = \pi i \cdot (-\cos 0) = -\pi i$$
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例3.6 设 $f(z)$ 在 $|z| \leq R$ 上解析，证明： $$f(z) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(Re^{i\theta})\frac{R^2 - |z|^2}{|Re^{i\theta} - z|^2}d\theta$$
（Poisson积分公式，调和函数的边值表示）
证明概要：利用柯西积分公式和共轭对称性推导。
一、基础练习
1. 计算 $\int_C \text{Re}(z)dz$，其中 $C$ 为：
(a) 从 $0$ 到 $1+i$ 的直线段 (b) 从 $0$ 到 $1$ 再到 $1+i$ 的折线
2. 计算下列积分：
(a) $\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z^2+2z+4}$
(b) $\oint_{|z|=2}\frac{e^z}{z(z-1)}dz$
(c) $\oint_{|z|=1}\frac{\sin z}{z^4}dz$
3. 设 $f(z)$ 在 $|z| < 2$ 内解析，且 $f(0) = 1$，$f'(0) = 2$，计算： $$\oint_{|z|=1}\frac{f(z)}{z^2}dz$$
二、思考题
4. 设 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析且不为零，$C$ 为 $D$ 内简单闭曲线，证明： $$\oint_C \frac{f'(z)}{f(z)}dz = 0$$
5. 用Liouville定理证明：非常数的整函数的值域在复平面上稠密。
6. 设 $f(z)$ 在 $|z| \leq 1$ 上解析，$|f(z)| \leq 1$，且 $f(0) = 0$，证明 $|f'(0)| \leq 1$（Schwarz引理的特例）。
三、应用题
7. 计算 $\oint_{|z|=2}\frac{z^2+1}{(z-1)(z^2+4)}dz$。
8. 设 $u$ 为区域 $D$ 内的调和函数，$C$ 为 $D$ 内以 $z_0$ 为中心的圆周，证明： $$u(z_0) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}u(z_0 + re^{i\theta})d\theta$$ （调和函数的平均值性质）
下章预告：第四章将研究解析函数的级数展开，包括泰勒级数和洛朗级数。