本章介绍拉普拉斯变换的理论与应用，它是工程数学中最重要的工具之一，特别适用于求解常微分方程和初值问题。
傅里叶变换要求函数绝对可积，许多常见函数（如常数、多项式、指数增长函数）不满足此条件。
引入衰减因子 $e^{-\sigma t}$（$\sigma$ 足够大），考虑 $f(t)e^{-\sigma t}$ 的傅里叶变换，引出拉普拉斯变换。
定义 8.1（拉普拉斯变换） 设 $f(t)$ 在 $t \geq 0$ 上有定义，若积分： $$F(s) = \mathcal{L}[f(t)] = \int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt$$
在复参数 $s$ 的某一区域内收敛，则称 $F(s)$ 为 $f(t)$ 的拉普拉斯变换（或像函数）。
其中 $s = \sigma + i\omega$ 为复变量。
逆变换为： $$f(t) = \mathcal{L}^{-1}[F(s)] = \frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty}F(s)e^{st}ds$$
（Bromwich积分）
定理 8.1（存在定理） 若 $f(t)$ 满足：
则 $F(s)$ 在半平面 $\text{Re}(s) > \sigma_0$ 上存在且解析。
$$u(t) = \begin{cases} 1, & t \geq 0
0, & t < 0 \end{cases}$$
$$\mathcal{L}[u(t)] = \int_{0}^{\infty}e^{-st}dt = \frac{1}{s}, \quad \text{Re}(s) > 0$$
$$\mathcal{L}[e^{at}] = \int_{0}^{\infty}e^{at}e^{-st}dt = \int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)t}dt = \frac{1}{s-a}, \quad \text{Re}(s) > \text{Re}(a)$$
$$\mathcal{L}[t^n] = \frac{n!}{s^{n+1}}, \quad n = 0, 1, 2, \ldots, \quad \text{Re}(s) > 0$$
特别地，$\mathcal{L}[t] = \frac{1}{s^2}$，$\mathcal{L}[t^2] = \frac{2}{s^3}$。
一般幂函数（$\alpha > -1$）： $$\mathcal{L}[t^\alpha] = \frac{\Gamma(\alpha+1)}{s^{\alpha+1}}$$
由 $\mathcal{L}[e^{iat}] = \frac{1}{s-ia} = \frac{s+ia}{s^2+a^2}$，分离实部和虚部：
$$\mathcal{L}[\cos at] = \frac{s}{s^2+a^2}$$
$$\mathcal{L}[\sin at] = \frac{a}{s^2+a^2}$$
$$\mathcal{L}[\cosh at] = \frac{s}{s^2-a^2}$$
$$\mathcal{L}[\sinh at] = \frac{a}{s^2-a^2}$$
$$\mathcal{L}[\delta(t)] = 1$$
$$\mathcal{L}[\delta(t-t_0)] = e^{-st_0}$$
$$\mathcal{L}[\alpha f(t) + \beta g(t)] = \alpha F(s) + \beta G(s)$$
设 $\tau > 0$： $$\mathcal{L}[f(t-\tau)u(t-\tau)] = e^{-s\tau}F(s)$$
$$\mathcal{L}[e^{at}f(t)] = F(s-a)$$
设 $a > 0$： $$\mathcal{L}[f(at)] = \frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right)$$
时域微分： $$\mathcal{L}[f'(t)] = sF(s) - f(0)$$
一般地： $$\mathcal{L}[f^{(n)}(t)] = s^nF(s) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0)$$
这是求解微分方程的关键性质。
频域微分： $$\mathcal{L}[tf(t)] = -F'(s)$$
一般地： $$\mathcal{L}[t^nf(t)] = (-1)^nF^{(n)}(s)$$
$$\mathcal{L}\left[\int_{0}^{t}f(\tau)d\tau\right] = \frac{F(s)}{s}$$
$$\mathcal{L}\left[\frac{f(t)}{t}\right] = \int_{s}^{\infty}F(u)du$$
初值定理： $$f(0^+) = \lim_{s \to \infty}sF(s)$$
终值定理： 若极限存在： $$\lim_{t \to \infty}f(t) = \lim_{s \to 0}sF(s)$$
定义 8.2（卷积） $$f(t) * g(t) = \int_{0}^{t}f(\tau)g(t-\tau)d\tau$$
（注意积分限为 $0$ 到 $t$，区别于傅里叶变换的卷积）
定理 8.2（卷积定理） $$\mathcal{L}[f * g] = F(s) \cdot G(s)$$
证明： $$\mathcal{L}[f * g] = \int_{0}^{\infty}\left[\int_{0}^{t}f(\tau)g(t-\tau)d\tau\right]e^{-st}dt$$
交换积分次序（注意区域 $0 \leq \tau \leq t < \infty$）： $$= \int_{0}^{\infty}f(\tau)\left[\int_{\tau}^{\infty}g(t-\tau)e^{-st}dt\right]d\tau$$
令 $u = t - \tau$： $$= \int_{0}^{\infty}f(\tau)e^{-s\tau}\left[\int_{0}^{\infty}g(u)e^{-su}du\right]d\tau = F(s)G(s)$$
将有理函数 $F(s) = \frac{P(s)}{Q(s)}$（$\deg P < \deg Q$）分解为部分分式，利用已知变换对求逆变换。
类型1：单根 $$\frac{1}{(s-a)(s-b)} = \frac{1}{a-b}\left(\frac{1}{s-a} - \frac{1}{s-b}\right)$$
类型2：重根 $$\frac{1}{(s-a)^n} \leftrightarrow \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{at}$$
类型3：共轭复根 $$\frac{As+B}{(s-a)^2+b^2} = \frac{A(s-a)}{(s-a)^2+b^2} + \frac{B+Aa}{(s-a)^2+b^2}$$
$$\leftrightarrow Ae^{at}\cos bt + \frac{B+Aa}{b}e^{at}\sin bt$$
$$f(t) = \sum_{k}\text{Res}[F(s)e^{st}, s_k]$$
对 $F(s)$ 的每个极点 $s_k$ 求留数。
例8.1 求解初值问题：
$$\begin{cases} y + 4y = \sin t + y = f(t)$，$y(0) = y'(0) = 0$。
y(0) = 0, \quad y'(0) = 1 \end{cases}$$
解：两边取拉普拉斯变换：
$$s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) + 4Y(s) = \frac{1}{s^2+1}$$
$$(s^2+4)Y(s) - 1 = \frac{1}{s^2+1}$$
$$Y(s) = \frac{1}{s^2+4} + \frac{1}{(s^2+4)(s^2+1)}$$
$$= \frac{s^2+2}{(s^2+4)(s^2+1)} = \frac{A}{s^2+1} + \frac{B}{s^2+4}$$
解得 $A = \frac{1}{3}$，$B = \frac{2}{3}$：
$$Y(s) = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s^2+1} + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{s^2+4}$$
$$= \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s^2+1} + \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{s^2+4}$$
逆变换：
$$y(t) = \frac{1}{3}\sin t + \frac{1}{3}\sin 2t$$
==== 8.6.2 电路分析 ====
例8.2 RLC串联电路，输入电压为 $u(t)$，求电流 $i(t)$。
解：电路方程：
$$L\frac{di}{dt} + Ri + \frac{1}{C}\int_{0}^{t}i(\tau)d\tau = u(t)$$
取拉普拉斯变换：
$$LsI(s) - Li(0) + RI(s) + \frac{I(s)}{Cs} = U(s)$$
$$I(s) = \frac{U(s) + Li(0)}{Ls + R + \frac{1}{Cs}}$$
==== 8.6.3 系统分析 ====
传递函数：
$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}$$
系统响应：
$$Y(s) = H(s)X(s) \Rightarrow y(t) = h(t) * x(t)$$
===== 8.7 典型例题 =====
例8.3 求 $\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{s+1}{s^2(s-1)}\right]$。
解：设：
$$\frac{s+1}{s^2(s-1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s^2} + \frac{C}{s-1}$$
通分后比较系数，解得：$A = -2$，$B = -1$，$C = 2$。
$$F(s) = -\frac{2}{s} - \frac{1}{s^2} + \frac{2}{s-1}$$
逆变换：
$$f(t) = -2 - t + 2e^t$$
—
例8.4 用卷积定理求解：$y
解：取拉普拉斯变换： $$s^2Y(s) + Y(s) = F(s)$$
$$Y(s) = \frac{F(s)}{s^2+1} = F(s) \cdot \frac{1}{s^2+1}$$
由卷积定理： $$y(t) = f(t) * \sin t = \int_{0}^{t}f(\tau)\sin(t-\tau)d\tau$$
一、基础练习
1. 求下列函数的拉普拉斯变换：
(a) $f(t) = t^2e^{3t}$
(b) $f(t) = e^{-t}\sin 2t$
(c) $f(t) = \begin{cases} 1, & 0 \leq t < 2 \\ 0, & t \geq 2 \end{cases}$
2. 求下列函数的拉普拉斯逆变换：
(a) $F(s) = \frac{1}{s(s+1)}$
(b) $F(s) = \frac{s+1}{s^2+2s+5}$
(c) $F(s) = \frac{1}{(s^2+1)^2}$
3. 用拉普拉斯变换求解：
(a) $y'' - 3y' + 2y = e^{3t}$，$y(0) = 1$，$y'(0) = 0$
(b) $y'' + y = t$，$y(0) = 1$，$y'(0) = -2$
二、思考题
4. 证明：$\mathcal{L}\left[\int_{0}^{t}\int_{0}^{t_1}f(t_2)dt_2dt_1\right] = \frac{F(s)}{s^2}$。
5. 设 $f(t)$ 周期为 $T$，即 $f(t+T) = f(t)$，证明： $$\mathcal{L}[f(t)] = \frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}f(t)e^{-st}dt$$
6. 用初值定理和终值定理确定： $$F(s) = \frac{2s+1}{s(s+1)}$$
三、应用题
7. 求解积分方程：$y(t) = t + \int_{0}^{t}y(\tau)\sin(t-\tau)d\tau$。
8. 在RLC串联电路中，$L = 1$ H，$R = 4$ Ω，$C = \frac{1}{4}$ F，电源电压 $u(t) = 10$ V（直流），初始条件为零，求电流 $i(t)$。
下章预告：第九章将介绍Z变换，用于离散时间系统分析。