本章介绍解析函数的几何性质——保角性，研究各类保角映射，特别是分式线性映射及其应用。
设 $w = f(z)$ 在 $z_0$ 处解析，$f'(z_0) \neq 0$。考察 $z_0$ 附近曲线的映射。
伸缩率： 对于过 $z_0$ 的曲线 $C$，设其在 $z_0$ 的切线与实轴夹角为 $\theta$。
$$\frac{dw}{dz}\bigg|_{z_0} = f'(z_0) = |f'(z_0)|e^{i\arg f'(z_0)}$$
导数的模 $|f'(z_0)|$ 表示映射在 $z_0$ 处的伸缩率（长度放大倍数）。
旋转角： 导数的辐角 $\arg f'(z_0)$ 表示映射在 $z_0$ 处切线方向的旋转角。
定理 6.1（保角性） 设 $f(z)$ 在 $z_0$ 处解析，$f'(z_0) \neq 0$，则：
证明：设两条曲线 $C_1, C_2$ 在 $z_0$ 的切线方向分别为 $\theta_1, \theta_2$。
映射后，方向变为 $\theta_1 + \arg f'(z_0)$ 和 $\theta_2 + \arg f'(z_0)$。
夹角：$(\theta_2 + \arg f') - (\theta_1 + \arg f') = \theta_2 - \theta_1$，保持不变。
定义 6.1（保角映射） 若映射 $w = f(z)$ 在区域 $D$ 内每一点都保持角度和伸缩率，则称 $f(z)$ 为 $D$ 内的保角映射。
定理 6.2 $f(z)$ 在 $D$ 内保角 $\iff$ $f(z)$ 在 $D$ 内解析且 $f'(z) \neq 0$。
定义 6.2（分式线性映射） 形如： $$w = \frac{az + b}{cz + d}$$
的映射称为分式线性映射（或Möbius变换），其中 $a, b, c, d$ 为复常数，且满足 $ad - bc \neq 0$（否则退化为常数）。
规定：当 $c \neq 0$ 时，$z = -\frac{d}{c}$ 映射为 $w = \infty$，$z = \infty$ 映射为 $w = \frac{a}{c}$。
定理 6.3 分式线性映射具有以下性质：
保圆性的理解： 圆周的一般方程：$A(x^2+y^2) + Bx + Cy + D = 0$
用 $z = x + iy$，$\bar{z} = x - iy$，可写成：$\alpha z\bar{z} + \beta z + \bar{\beta}\bar{z} + \gamma = 0$
分式线性变换将此形式保持，故圆变为圆或直线。
定理 6.4 给定扩充复平面上三个不同点 $z_1, z_2, z_3$ 和三个不同点 $w_1, w_2, w_3$，存在唯一的分式线性映射将 $z_k$ 映射为 $w_k$（$k = 1, 2, 3$）。
该映射由交比确定： $$\frac{(w-w_1)(w_2-w_3)}{(w-w_3)(w_2-w_1)} = \frac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_3)(z_2-z_1)}$$
平移：$w = z + b$
旋转：$w = e^{i\theta}z$
伸缩：$w = rz$（$r > 0$）
反演：$w = \frac{1}{z}$
上半平面到单位圆： $$w = e^{i\theta}\frac{z - z_0}{z - \bar{z}_0}$$
其中 $\text{Im } z_0 > 0$（$z_0$ 映射为圆心）。
单位圆到单位圆： $$w = e^{i\theta}\frac{z - z_0}{1 - \bar{z}_0 z}$$
其中 $|z_0| < 1$（$z_0$ 映射为圆心）。
例6.1 求将上半平面 $\text{Im } z > 0$ 映射到单位圆 $|w| < 1$，且 $z = i$ 映射为 $w = 0$ 的分式线性映射。
解：由公式： $$w = e^{i\theta}\frac{z - i}{z + i}$$
当 $z$ 在实轴上时，$|w| = \left|\frac{x-i}{x+i}\right| = 1$，满足边界对应。
可取 $\theta = 0$，得： $$w = \frac{z - i}{z + i}$$
映射：$w = z^n$（$n \geq 2$ 为正整数）
性质：
映射：$w = e^z$
性质：
映射：$w = \ln z$（主值分支）
这是对数函数的逆映射：
定义 6.3（Joukowsky映射） $$w = \frac{1}{2}\left(z + \frac{1}{z}\right)$$
这是空气动力学中的重要映射。
如何将上半平面保角映射为多边形内部？
定理 6.5（Schwarz-Christoffel变换） 将上半平面 $\text{Im } z > 0$ 映射为具有内角 $\alpha_1\pi, \alpha_2\pi, \ldots, \alpha_n\pi$ 的多边形的保角映射为： $$w = A\int^z (\zeta - x_1)^{\alpha_1-1}(\zeta - x_2)^{\alpha_2-1}\cdots(\zeta - x_n)^{\alpha_n-1}d\zeta + B$$
其中：
三角形： $$w = A\int^z (\zeta - x_1)^{\alpha_1-1}(\zeta - x_2)^{\alpha_2-1}(\zeta - x_3)^{\alpha_3-1}d\zeta + B$$
矩形（利用椭圆积分）： $$w = A\int^z \frac{d\zeta}{\sqrt{(1-\zeta^2)(1-k^2\zeta^2)}} + B$$
这是第一类椭圆积分。
原理： 若 $w = f(z)$ 是保角映射，$\varphi(u, v)$ 在 $w$ 平面调和，则 $\varphi(u(x,y), v(x,y))$ 在 $z$ 平面调和。
应用步骤：
无旋无源平面流动： 复势 $w = f(z) = \varphi + i\psi$，其中：
Joukowsky翼型：通过Joukowsky映射将圆柱绕流问题转化为翼型绕流问题。
导体边界问题可通过保角映射化为简单边界求解。
例6.2 求将单位圆 $|z| < 1$ 映射为单位圆 $|w| < 1$，且 $z = \frac{1}{2}$ 映射为 $w = 0$，$\arg w'(\frac{1}{2}) = 0$ 的分式线性映射。
解：由单位圆到单位圆的映射公式： $$w = e^{i\theta}\frac{z - \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}z} = e^{i\theta}\frac{2z - 1}{2 - z}$$
计算导数： $$w'(z) = e^{i\theta}\frac{4 - 1}{(2-z)^2} = e^{i\theta}\frac{3}{(2-z)^2}$$
$$w'\left(\frac{1}{2}\right) = e^{i\theta}\frac{3}{(\frac{3}{2})^2} = e^{i\theta}\frac{4}{3}$$
由条件 $\arg w'(\frac{1}{2}) = 0$，取 $\theta = 0$。
因此： $$w = \frac{2z - 1}{2 - z}$$
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例6.3 求将角形区域 $0 < \arg z < \frac{\pi}{4}$ 映射为单位圆 $|w| < 1$ 的保角映射。
解：分步进行：
(1) $z_1 = z^4$：将角形 $0 < \arg z < \frac{\pi}{4}$ 映射为上半平面 $\text{Im } z_1 > 0$
(2) $w = \frac{z_1 - i}{z_1 + i}$：将上半平面映射为单位圆
复合得： $$w = \frac{z^4 - i}{z^4 + i}$$
一、基础练习
1. 求将上半平面映射为单位圆 $|w| < 1$，且满足以下条件的分式线性映射：
(a) $f(i) = 0$，$f(\infty) = 1$ (b) $f(2i) = 0$，$f'(2i) > 0$
2. 求将单位圆 $|z| < 1$ 映射为单位圆 $|w| < 1$，且满足以下条件的分式线性映射：
(a) $f(\frac{1}{2}) = 0$，$f(-1) = 1$
(b) $f(0) = \frac{1}{2}$，$f'(0) > 0$
3. 求将下列区域映射为上半平面的保角映射：
(a) 扇形 $0 < \arg z < \frac{\pi}{3}$
(b) 带形 $0 < \text{Im } z < \pi$
(c) 区域 $|z| > 1$，$\text{Im } z > 0$
二、思考题
4. 证明：分式线性映射将关于圆周对称的点映射为关于像圆周对称的点。
5. 求所有将实轴映射为实轴的分式线性映射。
6. 设 $w = f(z)$ 将 $|z| < 1$ 保角映射为 $|w| < 1$，证明： $$\frac{|dz|}{1-|z|^2} = \frac{|dw|}{1-|w|^2}$$
（Poincaré度量不变性）
三、应用题
7. 求将上半单位圆 $|z| < 1$，$\text{Im } z > 0$ 映射为上半平面的保角映射。
8. 利用Schwarz-Christoffel变换，求上半平面到矩形 $-K < \text{Re } w < K$，$0 < \text{Im } w < K'$ 的映射。
下章预告：第七章开始介绍积分变换，首先是傅里叶变换。