勒让德函数（Legendre functions）是数学物理中最重要的特殊函数之一。它们来源于求解球坐标系下的拉普拉斯方程，在电动力学、量子力学、热传导等领域有广泛应用。本章将详细介绍勒让德方程、勒让德多项式及其性质。

在球坐标系 $(r, \theta, \varphi)$ 中分离变量求解拉普拉斯方程 $\nabla^2 u = 0$ 时，角度部分 $\Theta(\theta)$ 满足方程： $$\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) + \left[\lambda - \frac{m^2}{\sin^2\theta}\right]\Theta = 0 \quad (11.1)$$

令 $x = \cos\theta$，$y(x) = \Theta(\theta)$，则方程变为： $$\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)\frac{dy}{dx}\right] + \left[\lambda - \frac{m^2}{1-x^2}\right]y = 0 \quad (11.2)$$

这就是连带勒让德方程（associated Legendre equation）。

当 $m = 0$ 时，得到勒让德方程： $$(1-x^2)y - 2xy' + \lambda y = 0 \quad (11.3)$$ 或写成 Sturm-Liouville 形式： $$\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)\frac{dy}{dx}\right] + \lambda y = 0 \quad (11.4)$$ ==== 11.2.2 勒让德方程的解 ==== 勒让德方程在 $x = \pm 1$ 处有正则奇点。用Frobenius方法在 $x = 0$（常点）附近求解。 设 $y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，代入方程得递推关系： $$a_{n+2} = \frac{n(n+1) - \lambda}{(n+2)(n+1)} a_n \quad (11.5)$$ 定理 11.1 只有当 $\lambda = l(l+1)$，$l = 0, 1, 2, \ldots$ 时，勒让德方程在区间 $[-1, 1]$ 上才有有界解。 ===== 11.3 勒让德多项式 ===== ==== 11.3.1 定义 ==== 当 $\lambda = l(l+1)$ 时，取 $a_0$ 或 $a_1$ 使得多项式在 $x = 1$ 处取值为 1，得到的 $l$ 次多项式称为勒让德多项式，记为 $P_l(x)$。 前几个勒让德多项式： $$P_0(x) = 1$$ $$P_1(x) = x$$ $$P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1)$$ $$P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x)$$ $$P_4(x) = \frac{1}{8}(35x^4 - 30x^2 + 3)$$ $$P_5(x) = \frac{1}{8}(63x^5 - 70x^3 + 15x)$$ ==== 11.3.2 罗德里格斯公式 ==== 定理 11.2（Rodrigues公式） $$P_l(x) = \frac{1}{2^l l!}\frac{d^l}{dx^l}(x^2 - 1)^l \quad (11.6)$$ 证明： 用数学归纳法或验证满足勒让德方程。 ==== 11.3.3 生成函数 ==== 定理 11.3 勒让德多项式的生成函数为： $$\frac{1}{\sqrt{1 - 2xt + t^2}} = \sum_{l=0}^{\infty} P_l(x) t^l, \quad |t| < 1, \quad |x| \leq 1 \quad (11.7)$$ 应用： 由生成函数可导出递推关系。 ==== 11.3.4 递推关系 ==== 勒让德多项式满足以下递推关系： $(l+1)P_{l+1}(x) = (2l+1)xP_l(x) - lP_{l-1}(x) \quad (11.8)$ $P'_{l+1}(x) = xP'_l(x) + (l+1)P_l(x) \quad (11.9)$ $xP'_l(x) - P'_{l-1}(x) = lP_l(x) \quad (11.10)$ $P'_{l+1}(x) - P'_{l-1}(x) = (2l+1)P_l(x) \quad (11.11)$ $(x^2-1)P'_l(x) = lxP_l(x) - lP_{l-1}(x) \quad (11.12)$ ===== 11.4 正交性与归一化 ===== ==== 11.4.1 正交性 ==== 定理 11.4 勒让德多项式在 $[-1, 1]$ 上正交： $$\int_{-1}^{1} P_m(x)P_n(x)dx = 0, \quad m \neq n \quad (11.13)$$ 证明： 由Sturm-Liouville理论，不同本征值对应的本征函数正交。 ==== 11.4.2 归一化 ==== 定理 11.5 $$\int_{-1}^{1} [P_l(x)]^2 dx = \frac{2}{2l+1} \quad (11.14)$$ 证明： 利用生成函数或Rodrigues公式。 归一化的勒让德多项式： $$\hat{P}_l(x) = \sqrt{\frac{2l+1}{2}} P_l(x) \quad (11.15)$$ ===== 11.5 展开定理 ===== ==== 11.5.1 广义傅里叶展开 ==== 定理 11.6 任意在 $[-1, 1]$ 上分段光滑的函数 $f(x)$ 可展开为： $$f(x) = \sum_{l=0}^{\infty} c_l P_l(x) \quad (11.16)$$ 其中 $$c_l = \frac{2l+1}{2} \int_{-1}^{1} f(x)P_l(x)dx \quad (11.17)$$ ==== 11.5.2 例题 ==== 例 11.1 将 $f(x) = x^3$ 展开为勒让德多项式的级数。 解： $$c_l = \frac{2l+1}{2} \int_{-1}^{1} x^3 P_l(x) dx$$ 由于 $x^3$ 是奇函数，只需考虑奇数 $l$： $l = 1$：$P_1(x) = x$ $$c_1 = \frac{3}{2} \int_{-1}^{1} x^4 dx = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$$ $l = 3$：$P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x)$ $$c_3 = \frac{7}{2} \int_{-1}^{1} x^3 \cdot \frac{1}{2}(5x^3 - 3x) dx = \frac{7}{4}\left(5 \cdot \frac{2}{7} - 3 \cdot \frac{2}{5}\right) = \frac{7}{4}\left(\frac{10}{7} - \frac{6}{5}\right) = \frac{7}{4} \cdot \frac{8}{35} = \frac{2}{5}$$ 验证： $$\frac{3}{5}P_1(x) + \frac{2}{5}P_3(x) = \frac{3}{5}x + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2}(5x^3 - 3x) = \frac{3}{5}x + x^3 - \frac{3}{5}x = x^3$$ ===== 11.6 连带勒让德函数 ===== ==== 11.6.1 定义 ==== 连带勒让德方程 $(11.2)$ 当 $\lambda = l(l+1)$ 时的解称为连带勒让德函数。 定义 11.1（Ferrers函数定义） $$P_l^m(x) = (-1)^m (1-x^2)^{m/2} \frac{d^m}{dx^m} P_l(x), \quad 0 \leq m \leq l \quad (11.18)$$ ==== 11.6.2 正交归一性 ==== $$\int_{-1}^{1} P_l^m(x) P_{l'}^m(x) dx = \frac{2}{2l+1} \frac{(l+m)!}{(l-m)!} \delta_{ll'} \quad (11.19)$$ ===== 11.7 球谐函数 ===== 在球坐标系中，角度部分的解可写为球谐函数： $$Y_l^\theta, \varphi) = \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi} \frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P_l^\cos\theta) e^{im\varphi} \quad (11.20)$$ 满足正交归一性： $$\int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^{\pi} Y_l^m Y_{l'}^{m'*} \sin\theta d\theta = \delta_{ll'}\delta_{mm'} \quad (11.21)$$ ===== 11.8 应用 ===== ==== 11.8.1 电势问题 ==== 点电荷在球外的电势： $$\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} = \sum_{l=0}^{\infty} \frac{r_<^l}{r_>^{l+1}} P_l(\cos\gamma) \quad (11.22)$$ 其中 $r_< = \min(r, r')$，$r_> = \max(r, r')$，$\gamma$ 为夹角。 ==== 11.8.2 量子力学 ==== 氢原子波函数的角向部分正是球谐函数 $Y_l^\theta, \varphi)$。 ===== 11.9 习题 ===== 习题 11.1 用Rodrigues公式计算 $P_4(x)$。 习题 11.2 证明：$P_l(1) = 1$，$P_l(-1) = (-1)^l$。 习题 11.3 证明递推关系 $(11.8)$。 习题 11.4 计算 $\int_{-1}^{1} x P_2(x) P_3(x) dx$。 习题 11.5 将 $f(x) = |x|$ 在 $[-1, 1]$ 上展开为勒让德多项式级数（计算前几项）。 习题 11.6 证明：$\sum_{l=0}^{n} (2l+1)P_l(x)P_l(y) = (n+1)\frac{P_{n+1}(x)P_n(y) - P_n(x)P_{n+1}(y)}{x-y}$（Christoffel-Darboux公式）。 习题 11.7 求解球内拉普拉斯方程 $\nabla^2 u = 0$，边界条件 $u|_{r=a} = f(\theta)$。 ===== 11.10 本章小结 ===== 1. 勒让德方程：$(1-x^2)y - 2xy' + l(l+1)y = 0$

2. 勒让德多项式：在 $[-1, 1]$ 上有界的解，$P_l(x) = \frac{1}{2^l l!}\frac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l$

3. 正交性：$\int_{-1}^{1} P_m(x)P_n(x)dx = \frac{2}{2n+1}\delta_{mn}$

4. 应用：球坐标系下的分离变量、电势展开、量子力学角动量。

1. Jackson, J.D. Classical Electrodynamics. Wiley, 1999. 2. Gradshteyn, I.S. & Ryzhik, I.M. Table of Integrals, Series, and Products. 3. 梁昆淼. 数学物理方法. 北京: 高等教育出版社.

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