基本思想： 对空间变量作傅里叶变换，将PDE化为ODE求解。
例 17.1 无限长弦的自由振动
$$\begin{cases} u_{tt} = a^2u_{xx}, & -\infty < x < +\infty, t > 0
u(x,0) = \varphi(x), & u_t(x,0) = \psi(x) \end{cases}$$
解： 对 $x$ 作傅里叶变换，记 $\tilde{u}(\omega, t) = \mathcal{F}[u(x,t)]$
$$\frac{d^2\tilde{u}}{dt^2} = -a^2\omega^2\tilde{u}$$
解得：$\tilde{u}(\omega, t) = A(\omega)\cos(a\omega t) + B(\omega)\sin(a\omega t)$
由初始条件确定系数后，作逆变换得 $$u(x,t) = \frac{\varphi(x+at) + \varphi(x-at)}{2} + \frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(\xi)d\xi$$
这就是达朗贝尔公式。
基本思想： 对时间变量作拉普拉斯变换，将PDE化为ODE。
例 17.2 半无限长杆的热传导
$$\begin{cases} u_t = a^2u_{xx}, & x > 0, t > 0
u(x,0) = 0
u(0,t) = u_0 \end{cases}$$
解： 对 $t$ 作拉普拉斯变换 $$s\tilde{u} = a^2\frac{d^2\tilde{u}}{dx^2}$$
解得：$\tilde{u}(x,s) = \frac{u_0}{s}e^{-\frac{\sqrt{s}}{a}x}$
查表或留数计算逆变换得 $$u(x,t) = u_0\text{erfc}\left(\frac{x}{2a\sqrt{t}}\right)$$
定义 17.1（汉克尔变换） $$F_n(\rho) = \int_0^{\infty} rf®J_n(\rho r)dr$$ 逆变换： $$f® = \int_0^{\infty} \rho F_n(\rho)J_n(\rho r)d\rho$$
应用： 柱坐标下的拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程。
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