贝塞尔函数（Bessel functions）是数学物理中最重要的特殊函数之一，由丹尼尔·贝塞尔（Daniel Bernoulli）在1732年研究悬链线问题时首次引入，后由弗里德里希·贝塞尔（Friedrich Bessel）在1824年系统研究。它们在圆柱坐标系下的偏微分方程求解、波动问题、热传导等领域有广泛应用。
在圆柱坐标系 $(\rho, \varphi, z)$ 中分离变量求解亥姆霍兹方程 $\nabla^2 u + k^2 u = 0$ 或拉普拉斯方程时，径向函数 $R(\rho)$ 满足： $$\rho^2 \frac{d^2R}{d\rho^2} + \rho \frac{dR}{d\rho} + (k^2\rho^2 - m^2)R = 0 \quad (12.1)$$
令 $x = k\rho$，$y(x) = R(\rho)$，得到贝塞尔方程（Bessel equation）：
$$x^2 y + x y' + (x^2 - \nu^2)y = 0 \quad (12.2)$$
其中 $\nu$ 为常数，称为方程的阶。
==== 12.2.2 方程的性质 ====
- $x = 0$ 是正则奇点
- $x = \infty$ 是非正则奇点
- 方程对于 $\nu$ 和 $-\nu$ 对称
===== 12.3 贝塞尔函数 =====
==== 12.3.1 第一类贝塞尔函数 ====
用Frobenius方法求解，设 $y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r}$，得到指标方程：
$$r^2 - \nu^2 = 0 \Rightarrow r = \pm \nu$$
定义 12.1 第一类贝塞尔函数定义为：
$$J_\nu(x) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m+\nu+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2m+\nu} \quad (12.3)$$
定义 12.2 当 $\nu = n$（整数）时：
$$J_n(x) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m!(m+n)!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2m+n} \quad (12.4)$$
前几个整数阶贝塞尔函数：
$$J_0(x) = 1 - \frac{x^2}{4} + \frac{x^4}{64} - \frac{x^6}{2304} + \cdots$$
$$J_1(x) = \frac{x}{2} - \frac{x^3}{16} + \frac{x^5}{384} - \cdots$$
==== 12.3.2 第二类贝塞尔函数 ====
当 $\nu$ 不是整数时，$J_\nu(x)$ 和 $J_{-\nu}(x)$ 线性无关。
当 $\nu = n$（整数）时，$J_{-n}(x) = (-1)^n J_n(x)$，需要另一个线性无关解。
定义 12.3（Weber函数 / Neumann函数）
$$Y_\nu(x) = \frac{J_\nu(x)\cos(\nu\pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)} \quad (12.5)$$
当 $\nu = n$（整数）时取极限：
$$Y_n(x) = \lim_{\nu \to n} Y_\nu(x) \quad (12.6)$$
定义 12.4 汉克尔函数（Hankel functions）：
$$H_\nu^{(1)}(x) = J_\nu(x) + iY_\nu(x) \quad (12.7)$$
$$H_\nu^{(2)}(x) = J_\nu(x) - iY_\nu(x) \quad (12.8)$$
===== 12.4 贝塞尔函数的性质 =====
==== 12.4.1 递推关系 ====
$$\frac{d}{dx}[x^\nu J_\nu(x)] = x^\nu J_{\nu-1}(x) \quad (12.9)$$
$$\frac{d}{dx}[x^{-\nu} J_\nu(x)] = -x^{-\nu} J_{\nu+1}(x) \quad (12.10)$$
$$J_{\nu-1}(x) + J_{\nu+1}(x) = \frac{2\nu}{x}J_\nu(x) \quad (12.11)$$
$$J_{\nu-1}(x) - J_{\nu+1}(x) = 2J'_\nu(x) \quad (12.12)$$
==== 12.4.2 渐近行为 ====
当 $x \to 0$ 时：
$$J_\nu(x) \sim \frac{1}{\Gamma(\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^\nu, \quad \nu \geq 0 \quad (12.13)$$
$$Y_0(x) \sim \frac{2}{\pi}\ln\frac{x}{2} \quad (12.14)$$
$$Y_\nu(x) \sim -\frac{\Gamma(\nu)}{\pi}\left(\frac{2}{x}\right)^\nu, \quad \nu > 0 \quad (12.15)$$
当 $x \to \infty$ 时：
$$J_\nu(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos\left(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \quad (12.16)$$
$$Y_\nu(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin\left(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \quad (12.17)$$
==== 12.4.3 生成函数 ====
$$e^{\frac{x}{2}(t - \frac{1}{t})} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n(x) t^n \quad (12.18)$$
===== 12.5 正交性与展开 =====
==== 12.5.1 零点 ====
定理 12.1 $J_\nu(x)$ 有无穷多个正零点，记为 $j_{\nu,1} < j_{\nu,2} < j_{\nu,3} < \cdots$
==== 12.5.2 正交性 ====
设 $\alpha$ 和 $\beta$ 是 $J_\nu(ax) = 0$ 的两个不同根，则：
$$\int_0^a x J_\nu(\alpha x) J_\nu(\beta x) dx = 0, \quad \alpha \neq \beta \quad (12.19)$$
归一化：
$$\int_0^a x [J_\nu(\alpha_{m}x)]^2 dx = \frac{a^2}{2}[J_{\nu+1}(\alpha_{m}a)]^2 \quad (12.20)$$
==== 12.5.3 傅里叶-贝塞尔展开 ====
$$f(x) = \sum_{m=1}^{\infty} c_m J_\nu(\alpha_m x) \quad (12.21)$$
$$c_m = \frac{2}{a^2[J_{\nu+1}(\alpha_m a)]^2} \int_0^a x f(x) J_\nu(\alpha_m x) dx \quad (12.22)$$
===== 12.6 修正贝塞尔函数 =====
==== 12.6.1 定义 ====
修正贝塞尔方程：
$$x^2 y + x y' - (x^2 + \nu^2)y = 0 \quad (12.23)$$
定义 12.5 $$I_\nu(x) = i^{-\nu} J_\nu(ix) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{m!\Gamma(m+\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+\nu} \quad (12.24)$$
定义 12.6 $$K_\nu(x) = \frac{\pi}{2} \frac{I_{-\nu}(x) - I_\nu(x)}{\sin(\nu\pi)} \quad (12.25)$$
当 $x \to 0$： $$I_\nu(x) \sim \frac{1}{\Gamma(\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^\nu \quad (12.26)$$ $$K_0(x) \sim -\ln\frac{x}{2} \quad (12.27)$$
当 $x \to \infty$： $$I_\nu(x) \sim \frac{e^x}{\sqrt{2\pi x}} \quad (12.28)$$ $$K_\nu(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{2x}}e^{-x} \quad (12.29)$$
球坐标系中的径向方程： $$\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{2}{x}\frac{dy}{dx} + \left[1 - \frac{l(l+1)}{x^2}\right]y = 0 \quad (12.30)$$
令 $y = \frac{u}{\sqrt{x}}$，则 $u$ 满足 $l + \frac{1}{2}$ 阶贝塞尔方程。
定义 12.7 $$j_l(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{l+1/2}(x) \quad (12.31)$$ $$y_l(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} Y_{l+1/2}(x) \quad (12.32)$$ $$h_l^{(1)}(x) = j_l(x) + iy_l(x) \quad (12.33)$$ $$h_l^{(2)}(x) = j_l(x) - iy_l(x) \quad (12.34)$$
$$j_0(x) = \frac{\sin x}{x} \quad (12.35)$$ $$j_1(x) = \frac{\sin x}{x^2} - \frac{\cos x}{x} \quad (12.36)$$ $$y_0(x) = -\frac{\cos x}{x} \quad (12.37)$$
半径为 $a$ 的圆形薄膜，边界固定，振动方程为： $$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u$$
分离变量后径向方程的解为 $J_m(k\rho)$，由边界条件 $J_m(ka) = 0$ 确定本征值。
本征频率： $$\omega_{mn} = \frac{c \cdot j_{m,n}}{a} \quad (12.38)$$
圆柱体内的热传导，边界条件不同导致不同的本征值问题。
习题 12.1 证明：$J_{1/2}(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin x$，$J_{-1/2}(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos x$。
习题 12.2 计算 $\int x J_0(x) dx$。
习题 12.3 证明递推关系 $(12.9)$ 和 $(12.10)$。
习题 12.4 计算 $\int_0^1 x J_0(\alpha x) dx$，其中 $J_0(\alpha) = 0$。
习题 12.5 求解圆柱内的拉普拉斯方程，边界条件 $u|_{\rho=a} = f(z)$，$u|_{z=0} = u|_{z=h} = 0$。
习题 12.6 证明：$J_0(x) = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \cos(x\sin\theta)d\theta$。
习题 12.7 推导球贝塞尔函数 $j_2(x)$ 的显式表达式。
1. 贝塞尔方程：$x^2y'' + xy' + (x^2 - \nu^2)y = 0$
2. 第一类贝塞尔函数：$J_\nu(x) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m!\Gamma(m+\nu+1)}(\frac{x}{2})^{2m+\nu}$
3. 第二类贝塞尔函数：$Y_\nu(x) = \frac{J_\nu\cos\nu\pi - J_{-\nu}}{\sin\nu\pi}$
4. 修正贝塞尔函数：$I_\nu(x)$ 和 $K_\nu(x)$
5. 应用：圆柱坐标系下的分离变量、振动、热传导。
1. Watson, G.N. A Treatise on the Theory of Bessel Functions. Cambridge, 1944. 2. Abramowitz, M. & Stegun, I.A. Handbook of Mathematical Functions. 3. 王竹溪, 郭敦仁. 特殊函数概论.
编辑次数：1 创建日期：2025-01-15 最后修改：2025-01-15