在工程和物理问题中，许多重要的微分方程不能用初等函数表示其解。然而，大多数这样的方程的解可以在某一点的邻域内表示为幂级数的形式。本章将介绍求解常微分方程的级数解法，包括幂级数解法和Frobenius方法。
定义 10.1 形如 $$y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + \cdots$$ 的无穷级数称为在点 $x_0$ 处的幂级数。
定义 10.2 如果幂级数在区间 $|x - x_0| < R$ 内收敛，而在 $|x - x_0| > R$ 时发散，则称 $R$ 为幂级数的收敛半径。
收敛半径可以通过比值判别法计算： $$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$$ 或 $$R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$$
考虑二阶线性常微分方程：
$$y + P(x)y' + Q(x)y = 0 \quad (10.1)$$
定义 10.3 如果 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 在点 $x_0$ 处都可展开为幂级数，则称 $x_0$ 为方程 $(10.1)$ 的常点（ordinary point）。
定理 10.1（幂级数解的存在定理）
如果 $x_0$ 是方程 $(10.1)$ 的常点，则方程在 $|x - x_0| < R$ 内存在两个线性无关的幂级数解：
$$y_1(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n, \quad y_2(x) = \sum_{n=0}^{\infty} b_n (x - x_0)^n$$
其中收敛半径 $R$ 至少等于 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 的幂级数展开式收敛半径的最小值。
==== 10.2.3 幂级数解法的步骤 ====
步骤 1： 将方程化为标准形式 $(10.1)$，判断 $x_0$ 是否为常点。
步骤 2： 设解的形式为幂级数
$$y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n$$
步骤 3： 计算导数
$$y' = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n (x - x_0)^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) a_{n+1} (x - x_0)^n$$
$$y = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n (x - x_0)^{n-2} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} (x - x_0)^n$$
步骤 4： 将级数代入原方程，整理并令同次幂系数相等，得到递推关系。
步骤 5： 解递推关系，确定系数 $a_n$。
例 10.1 用幂级数法求解方程 $y + y = 0$。
解： 显然 $x_0 = 0$ 是常点。设
$$y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$$
则
$$y = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} x^n$$
代入方程： $$\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} x^n + \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = 0$$
$$\sum_{n=0}^{\infty} \left[(n+2)(n+1)a_{n+2} + a_n\right] x^n = 0$$
令各次幂系数为零： $$(n+2)(n+1)a_{n+2} + a_n = 0$$
$$a_{n+2} = -\frac{a_n}{(n+2)(n+1)}$$
这是递推公式。由初始条件 $a_0$ 和 $a_1$（任意常数）：
- 当 $n = 0$：$a_2 = -\frac{a_0}{2!}$ - 当 $n = 1$：$a_3 = -\frac{a_1}{3!}$ - 当 $n = 2$：$a_4 = -\frac{a_2}{4 \cdot 3} = \frac{a_0}{4!}$ - 当 $n = 3$：$a_5 = -\frac{a_3}{5 \cdot 4} = \frac{a_1}{5!}$
一般地： $$a_{2n} = (-1)^n \frac{a_0}{(2n)!}, \quad a_{2n+1} = (-1)^n \frac{a_1}{(2n+1)!}$$
因此 $$y = a_0 \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + a_1 \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$
$$y = a_0 \cos x + a_1 \sin x$$
例 10.2 用幂级数法求解方程 $(1-x^2)y - 2xy' + 2y = 0$。
解： 化为标准形式：
$$y - \frac{2x}{1-x^2}y' + \frac{2}{1-x^2}y = 0$$
在 $|x| < 1$ 内，$x_0 = 0$ 是常点。设 $$y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$$
计算：
$$y' = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}, \quad y = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2}$$
代入原方程：
$$(1-x^2)\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2} - 2x\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} + 2\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = 0$$
展开并整理：
$$\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2} - \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^n - \sum_{n=1}^{\infty} 2n a_n x^n + \sum_{n=0}^{\infty} 2a_n x^n = 0$$
调整指标使幂次一致：
$$\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} x^n - \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^n - \sum_{n=1}^{\infty} 2n a_n x^n + \sum_{n=0}^{\infty} 2a_n x^n = 0$$
比较系数：
- $n = 0$：$2a_2 + 2a_0 = 0 \Rightarrow a_2 = -a_0$
- $n = 1$：$6a_3 - 2a_1 + 2a_1 = 0 \Rightarrow a_3 = 0$
- $n \geq 2$：$(n+2)(n+1)a_{n+2} - n(n-1)a_n - 2na_n + 2a_n = 0$
$$(n+2)(n+1)a_{n+2} = [n(n-1) + 2n - 2]a_n = (n^2 + n - 2)a_n = (n+2)(n-1)a_n$$
$$a_{n+2} = \frac{(n+2)(n-1)}{(n+2)(n+1)}a_n = \frac{n-1}{n+1}a_n$$
由递推关系：
- $a_3 = 0 \Rightarrow a_5 = a_7 = \cdots = 0$（所有奇次项系数为零，$a_1$ 项除外）
- $a_4 = \frac{1}{3}a_2 = -\frac{a_0}{3}$
- $a_6 = \frac{3}{5}a_4 = -\frac{a_0}{5}$
解为：
$$y = a_0\left(1 - x^2 - \frac{x^4}{3} - \frac{x^6}{5} - \cdots\right) + a_1 x$$
注意到 $y = x$ 是一个特解，通解可写为 $y = a_0 y_1 + a_1 x$。
===== 10.3 Frobenius方法 =====
==== 10.3.1 正则奇点 ====
定义 10.4 如果 $(x-x_0)P(x)$ 和 $(x-x_0)^2Q(x)$ 在点 $x_0$ 处都可展开为幂级数，则称 $x_0$ 为方程 $(10.1)$ 的正则奇点（regular singular point）。
定义 10.5 如果 $x_0$ 是奇点但不是正则奇点，则称为非正则奇点（irregular singular point）。
定理 10.2（Frobenius定理）
如果 $x_0$ 是方程 $(10.1)$ 的正则奇点，则方程至少存在一个形如
$$y = (x-x_0)^r \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^{n+r}$$
的解，其中 $r$ 为待定常数（指标），$a_0 \neq 0$。
==== 10.3.2 指标方程 ====
将Frobenius级数代入方程 $(10.1)$，最低次幂的系数方程称为指标方程（indicial equation），它决定 $r$ 的可能取值。
设方程 $(10.1)$ 可写成：
$$(x-x_0)^2 y + (x-x_0)p(x)y' + q(x)y = 0 \quad (10.2)$$
其中 $p(x)$ 和 $q(x)$ 在 $x_0$ 处解析。则指标方程为： $$r(r-1) + p_0 r + q_0 = 0 \quad (10.3)$$
其中 $p_0 = p(x_0)$，$q_0 = q(x_0)$。
定理 10.3 设指标方程 $(10.3)$ 的两个根为 $r_1$ 和 $r_2$，且 $\text{Re}(r_1) \geq \text{Re}(r_2)$，则：
情况 I：$r_1 - r_2$ 不是整数（包括零）
两个线性无关解为： $$y_1 = (x-x_0)^{r_1} \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n, \quad a_0 \neq 0$$ $$y_2 = (x-x_0)^{r_2} \sum_{n=0}^{\infty} b_n (x-x_0)^n, \quad b_0 \neq 0$$
情况 II：$r_1 = r_2 = r$
$$y_1 = (x-x_0)^r \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n$$ $$y_2 = y_1 \ln(x-x_0) + (x-x_0)^r \sum_{n=1}^{\infty} b_n (x-x_0)^n$$
情况 III：$r_1 - r_2 = N$ 为正整数
$$y_1 = (x-x_0)^{r_1} \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n$$ $$y_2 = C y_1 \ln(x-x_0) + (x-x_0)^{r_2} \sum_{n=0}^{\infty} b_n (x-x_0)^n$$
其中 $C$ 可能是零。
步骤 1： 将方程化为标准形式，确定奇点。
步骤 2： 判断奇点类型，确认是否为正则奇点。
步骤 3： 设Frobenius级数解 $$y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r}$$
步骤 4： 求导并代入方程
$$y' = \sum_{n=0}^{\infty} (n+r)a_n x^{n+r-1}$$
$$y = \sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-1)a_n x^{n+r-2}$$
步骤 5： 整理得到指标方程和递推关系。
步骤 6： 根据根的情况写出通解。
==== 10.3.4 例题解析 ====
例 10.3 用Frobenius方法求解 Bessel 方程
$$x^2y + xy' + (x^2 - \nu^2)y = 0$$
在 $x = 0$ 附近的解。
解： $x = 0$ 是正则奇点（$p(x) = 1$，$q(x) = x^2 - \nu^2$ 在 $x=0$ 解析）。
设 $y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r}$，则
$$y' = \sum_{n=0}^{\infty} (n+r)a_n x^{n+r-1}$$
$$y = \sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-1)a_n x^{n+r-2}$$
代入方程：
$$\sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-1)a_n x^{n+r} + \sum_{n=0}^{\infty} (n+r)a_n x^{n+r} + \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r+2} - \nu^2 \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r} = 0$$
整理：
$$\sum_{n=0}^{\infty} \left[(n+r)^2 - \nu^2\right] a_n x^{n+r} + \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r+2} = 0$$
令 $m = n + 2$，即 $n = m - 2$：
$$\sum_{n=0}^{\infty} \left[(n+r)^2 - \nu^2\right] a_n x^{n+r} + \sum_{m=2}^{\infty} a_{m-2} x^{m+r} = 0$$
指标方程（$n = 0$）：
$$(r^2 - \nu^2)a_0 = 0$$
由于 $a_0 \neq 0$，得 $r = \pm \nu$。
递推关系（$n \geq 1$）：
$$\left[(n+r)^2 - \nu^2\right] a_n + a_{n-2} = 0$$
$$a_n = -\frac{a_{n-2}}{(n+r)^2 - \nu^2} = -\frac{a_{n-2}}{(n+r-\nu)(n+r+\nu)}$$
取 $r = \nu$：
$$a_n = -\frac{a_{n-2}}{n(n+2\nu)}$$
所有奇数项系数为零：$a_1 = a_3 = a_5 = \cdots = 0$
$$a_{2m} = -\frac{a_{2m-2}}{2m(2m+2\nu)} = -\frac{a_{2m-2}}{4m(m+\nu)}$$
$$a_{2m} = \frac{(-1)^m a_0}{4^m m! (1+\nu)(2+\nu)\cdots(m+\nu)}$$
选择 $a_0 = \frac{1}{2^\nu \Gamma(\nu+1)}$，得到第一类 Bessel 函数：
$$J_\nu(x) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m+\nu+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2m+\nu}$$
例 10.4 求解方程 $2xy + y' + xy = 0$。
解： $x = 0$ 是正则奇点。设 $y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r}$。
代入方程： $$2\sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-1)a_n x^{n+r-1} + \sum_{n=0}^{\infty} (n+r)a_n x^{n+r-1} + \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r+1} = 0$$
乘以 $x$： $$\sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(2n+2r-1)a_n x^{n+r} + \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r+2} = 0$$
指标方程（$n = 0$）： $$r(2r-1)a_0 = 0$$
根为 $r_1 = \frac{1}{2}$，$r_2 = 0$。
递推关系： $$(n+r)(2n+2r-1)a_n + a_{n-2} = 0$$
对于 $r = \frac{1}{2}$： $$\left(n+\frac{1}{2}\right)(2n)a_n + a_{n-2} = 0$$ $$n(2n+1)a_n + a_{n-2} = 0$$ $$a_n = -\frac{a_{n-2}}{n(2n+1)}$$
取 $a_0 = 1$，则 $a_1 = 0$，$a_2 = -\frac{1}{2 \cdot 5} = -\frac{1}{10}$，$a_3 = 0$，$a_4 = \frac{1}{4 \cdot 9 \cdot 10} = \frac{1}{360}$，等等。
$$y_1 = x^{1/2}\left(1 - \frac{x^2}{10} + \frac{x^4}{360} - \cdots\right)$$
对于 $r = 0$： $$n(2n-1)a_n + a_{n-2} = 0$$ $$a_n = -\frac{a_{n-2}}{n(2n-1)}$$
取 $b_0 = 1$，得到第二个解。
定理 10.4（Fuchs定理） 如果 $x_0$ 是方程 $(10.1)$ 的正则奇点，则Frobenius级数解在 $0 < |x - x_0| < R$ 内收敛，其中 $R$ 是 $x_0$ 到最近奇点的距离。
定理 10.5（常点处的收敛性） 如果 $x_0$ 是常点，则幂级数解在 $|x - x_0| < R$ 内收敛，$R$ 为到最近奇点的距离。
习题 10.1 求下列方程在 $x = 0$ 处的幂级数解的前几项：
(a) $y - xy' + y = 0$
(b) $y + xy' + y = 0$
© $(1-x^2)y - xy' + 4y = 0$
习题 10.2 用Frobenius方法求解下列方程：
(a) $2xy + y' - y = 0$
(b) $x^2y + xy' + (x^2 - \frac{1}{4})y = 0$
© $xy + 2y' + xy = 0$
习题 10.3 证明：对于方程 $y + P(x)y' + Q(x)y = 0$，如果 $x_0$ 是常点，则解在 $x_0$ 处解析。
习题 10.4 求 Hermite 方程 $y - 2xy' + 2\lambda y = 0$ 的幂级数解，讨论当 $\lambda = n$（非负整数）时解的性质。
习题 10.5 求 Laguerre 方程 $xy'' + (1-x)y' + \lambda y = 0$ 在 $x = 0$ 处的Frobenius解。
本章介绍了常微分方程的级数解法：
1. 幂级数解法：适用于常点邻域，设 $y = \sum a_n(x-x_0)^n$。
2. Frobenius方法：适用于正则奇点邻域，设 $y = \sum a_n(x-x_0)^{n+r}$。
3. 指标方程：决定Frobenius级数中的指标 $r$。
4. 解的分类：根据指标根之差，解有三种形式。
这些方法为求解无法用初等函数表示的特殊函数（如Bessel函数、Legendre多项式等）奠定了基础。
1. 王竹溪, 郭敦仁. 特殊函数概论. 北京: 科学出版社, 1979. 2. Arfken, G.B. & Weber, H.J. Mathematical Methods for Physicists. Academic Press, 2005. 3. Boyce, W.E. & DiPrima, R.C. Elementary Differential Equations. Wiley, 2012.
编辑次数：1 创建日期：2025-01-15 最后修改：2025-01-15