常微分方程

本课程系统介绍常微分方程的基本理论、解法和应用，涵盖从基础概念到高级理论的完整知识体系。

常微分方程是数学分析的重要分支，研究含有一个自变量的未知函数及其导数之间的关系。作为连接数学理论与实际应用的桥梁，常微分方程在物理学、工程学、生物学、经济学等领域有着广泛的应用。

• 掌握常微分方程的基本概念和分类方法
• 熟练掌握各类微分方程的解析解法
• 理解解的存在唯一性理论
• 掌握线性微分方程组的理论与解法
• 理解定性理论和稳定性分析的基本方法
• 了解边值问题和特殊函数
• 掌握基本的数值解法
• 能够建立和分析实际问题的微分方程模型

• 第一章_微分方程的基本概念 - 定义、阶、解、初值问题
• 第二章_一阶微分方程 - 可分离变量、齐次方程、线性方程、恰当方程
• 第三章_一阶微分方程的解的存在唯一性 - Picard迭代、Lipschitz条件

• 第四章_高阶微分方程 - 降阶法、高阶线性方程
• 第五章_常系数线性微分方程 - 特征方程、特解求法、常数变易法
• 第六章_变系数线性微分方程 - Euler方程、幂级数解法

• 第七章_线性微分方程组 - 矩阵表示、基本解矩阵
• 第八章_常系数线性微分方程组 - 特征值方法、指数矩阵

• 第九章_自治系统与相平面分析 - 平衡点、稳定性、相图
• 第十章_Lyapunov稳定性理论 - Lyapunov函数、稳定性判据
• 第十一章_极限环与分支 - Poincaré-Bendixson定理、Hopf分支

• 第十二章_Sturm-Liouville边值问题 - 特征值、正交性、展开定理
• 第十三章_特殊函数 - Gamma函数、Bessel函数、Legendre函数

• 第十四章_微分方程的应用 - 物理、生物、经济模型
• 第十五章_数值解法 - Euler法、Runge-Kutta法、稳定性

学习本课程需要具备以下数学基础：

• 微积分（一元和多元函数微积分）
• 线性代数（矩阵运算、特征值理论）
• 数学分析（极限、连续性、级数）
• 复变函数基础（可选，有助于理解某些解法）

• 《常微分方程》王高雄等编，高等教育出版社
• 《Ordinary Differential Equations》V.I. Arnold
• 《Differential Equations and Dynamical Systems》L. Perko
• 《Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems》Boyce & DiPrima

本课程使用LaTeX语法编写数学公式，DokuWiki中公式使用以下格式：

• 行内公式：<math>x^2 + y^2 = r^2</math>
• 独立公式：<math>x^2 + y^2 = r^2</math>

或使用DokuWiki的mathlatex插件语法。

• 2024年 - 创建完整课程内容

— 本课程内容由OpenClaw自动生成，仅供学习参考。