第一章 微分方程的基本概念

微分方程是现代数学中最重要的分支之一，它起源于17世纪牛顿和莱布尼茨创立微积分时期。从物理学中的运动定律到生物学中的种群动力学，从经济学中的增长模型到工程学中的控制系统，微分方程为描述自然现象和社会现象提供了强大的数学工具。

定义 1.1 含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程(Differential Equation)。

具体来说，设 <math>x</math> 为自变量，<math>y = y(x)</math> 为未知函数，则形如 <math>F(x, y, y', y, \ldots, y^{(n)}) = 0</math> 的方程称为微分方程，其中 <math>F</math> 是已知函数，<math>y', y, \ldots, y^{(n)}</math> 分别是 <math>y</math> 对 <math>x</math> 的一阶、二阶、…、<math>n</math> 阶导数。

定义 1.2 如果微分方程中的未知函数只依赖于一个自变量，则称为常微分方程(Ordinary Differential Equation, ODE)。

定义 1.3 如果微分方程中的未知函数依赖于两个或更多个自变量，则称为偏微分方程(Partial Differential Equation, PDE)。

本课程主要研究常微分方程。

例 1.1 (常微分方程)

• <math>\frac{dy}{dx} = 2x</math>
• <math>y + y = 0</math> * <math>(y')^2 + xy = \sin x</math> 例 1.2 (偏微分方程) * <math>\frac{\partial u}{\partial t} = k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math> (热传导方程) * <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0</math> (Laplace方程) ==== 1.2.2 微分方程的阶 ==== 定义 1.4 微分方程中出现的未知函数导数的最高阶数称为该微分方程的阶。 例 1.3 * <math>\frac{dy}{dx} = x^2</math> 是一阶微分方程 * <math>y + p(x)y' + q(x)y = f(x)</math> 是二阶微分方程
• <math>y^{(4)} + (y)^3 = x</math> 是四阶微分方程 ==== 1.2.3 线性与非线性微分方程 ==== 定义 1.5 如果微分方程关于未知函数及其各阶导数都是一次的（线性的），则称为线性微分方程。否则称为非线性微分方程。 <math>n</math> 阶线性微分方程的一般形式为： <math>a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)y' + a_0(x)y = f(x)</math> 其中 <math>a_n(x) \not\equiv 0</math>，<math>a_i(x)</math> (<math>i = 0, 1, \ldots, n</math>) 和 <math>f(x)</math> 都是已知函数。 例 1.4 (线性方程) * <math>y' + xy = x^2</math> * <math>y + 3y' + 2y = \sin x</math>

例 1.5 (非线性方程)

• <math>y' + y^2 = x</math> (因 <math>y</math> 为二次)
• <math>y + \sin y = 0</math> (因含有 <math>\sin y</math>) * <math>(y')^2 + y = x</math> (因 <math>y'</math> 为二次) ===== 1.3 微分方程的解 ===== ==== 1.3.1 解的定义 ==== 定义 1.6 设函数 <math>y = \varphi(x)</math> 在区间 <math>I</math> 上具有 <math>n</math> 阶连续导数，如果将 <math>y = \varphi(x)</math> 代入 <math>n</math> 阶微分方程 <math>F(x, y, y', \ldots, y^{(n)}) = 0</math> 后，使之成为恒等式，即 <math>F(x, \varphi(x), \varphi'(x), \ldots, \varphi^{(n)}(x)) \equiv 0</math> 则称 <math>y = \varphi(x)</math> 为该微分方程在区间 <math>I</math> 上的解。 ==== 1.3.2 通解与特解 ==== 定义 1.7 <math>n</math> 阶微分方程的含有 <math>n</math> 个独立的任意常数 <math>C_1, C_2, \ldots, C_n</math> 的解 <math>y = \varphi(x, C_1, C_2, \ldots, C_n)</math> 称为该方程的通解。 定义 1.8 通过给定通解中任意常数的特定值而得到的解称为特解。 例 1.6 验证 <math>y = Ce^x</math> 是方程 <math>y' = y</math> 的通解，并求满足 <math>y(0) = 2</math> 的特解。 解： 对 <math>y = Ce^x</math> 求导得 <math>y' = Ce^x = y</math>，故是解。该解含一个任意常数 <math>C</math>，而方程为一阶，所以是通解。 由 <math>y(0) = 2</math> 得 <math>C \cdot e^0 = 2</math>，即 <math>C = 2</math>。 特解为 <math>y = 2e^x</math>。 ==== 1.3.3 隐式解与显式解 ==== 定义 1.9 如果微分方程的解以 <math>y = \varphi(x)</math> 的形式给出，则称为显式解。 定义 1.10 如果微分方程的解以 <math>\Phi(x, y) = 0</math> 的形式给出，则称为隐式解。 例 1.7 方程 <math>y' = -\frac{x}{y}</math> 的通解可表示为： * 显式解：<math>y = \pm\sqrt{C - x^2}</math> * 隐式解：<math>x^2 + y^2 = C</math> ==== 1.3.4 奇解 ==== 定义 1.11 如果微分方程存在一个解，它不能由通解通过给任意常数以特定值而得到，则称此解为奇解。 例 1.8 方程 <math>(y')^2 = 4y</math> 的通解为 <math>y = (x + C)^2</math>，但它还有一个解 <math>y = 0</math> 不包含在通解中，因此 <math>y = 0</math> 是奇解。 ===== 1.4 初值问题 ===== ==== 1.4.1 初值条件的引入 ==== 在实际问题中，我们通常需要求满足特定条件的解。对于 <math>n</math> 阶微分方程，通常需要 <math>n</math> 个条件来确定唯一的解。最常见的条件形式是初值条件。 定义 1.12 对于 <math>n</math> 阶微分方程，条件 <math>y(x_0) = y_0, \quad y'(x_0) = y_1, \quad \ldots, \quad y^{(n-1)}(x_0) = y_{n-1}</math> 称为初值条件或初始条件，其中 <math>x_0, y_0, y_1, \ldots, y_{n-1}</math> 是给定的常数。 定义 1.13 求微分方程满足初值条件的解的问题称为初值问题(Initial Value Problem, IVP)或Cauchy问题。 ==== 1.4.2 初值问题的几何意义 ==== 对于一阶微分方程 <math>y' = f(x, y)</math>，初值问题 <math>y(x_0) = y_0</math> 的几何意义是：求通过点 <math>(x_0, y_0)</math> 的积分曲线。 <math>y' = f(x_0, y_0)</math> 给出了积分曲线在点 <math>(x_0, y_0)</math> 处的切线斜率。 例 1.9 求解初值问题： <math>y' = 2x, \quad y(1) = 3</math> 解： 对方程积分得 <math>y = x^2 + C</math>。 由 <math>y(1) = 3</math> 得 <math>1 + C = 3</math>，故 <math>C = 2</math>。 特解为 <math>y = x^2 + 2</math>。 ==== 1.4.3 解的存在唯一性 ==== 并非所有的初值问题都有解，即使有解也可能不唯一。 例 1.10 初值问题 <math>y' = y^{2/3}, y(0) = 0</math> 有无穷多个解： <math>y = \begin{cases} 0, & x \leq C
\frac{(x-C)^3}{27}, & x > C \end{cases}</math> 其中 <math>C \geq 0</math> 为任意常数。 这引出了重要的理论问题：在什么条件下初值问题有唯一解？这个问题将在第三章详细讨论。 ===== 1.5 积分曲线与方向场 ===== ==== 1.5.1 积分曲线 ==== 定义 1.14 微分方程的解 <math>y = \varphi(x)</math> 在 <math>xy</math> 平面上的图形称为该方程的积分曲线。 ==== 1.5.2 方向场 ==== 对于一阶微分方程 <math>y' = f(x, y)</math>，在定义域内每一点 <math>(x, y)</math> 处，方程给出了积分曲线在该点的切线斜率 <math>f(x, y)</math>。 定义 1.15 在 <math>xy</math> 平面的区域 <math>D</math> 内，每一点 <math>(x, y)</math> 处画一个以 <math>f(x, y)</math> 为斜率的短线段，这样得到的图形称为微分方程 <math>y' = f(x, y)</math> 的方向场或线素场。 通过方向场，我们可以直观地了解微分方程解的大致形态。 例 1.11 方程 <math>y' = x</math> 的方向场由斜率为 <math>x</math> 的线段组成。可以看到积分曲线应该是向上凸的抛物线族 <math>y = \frac{x^2}{2} + C</math>。 ===== 1.6 习题 ===== 习题 1.1 判断下列方程的阶数，并指出是线性还是非线性的： a) <math>y + xy' + y = 0</math>

b) <math>(y')^3 + xy = 0</math>

c) <math>\frac{d^4y}{dx^4} + y = \sin x</math>
d) <math>\frac{dy}{dx} = x^2 + y^2</math>

习题 1.2 验证下列函数是否为相应方程的解：

a) <math>y = Ce^{-x}</math> 与 <math>y' + y = 0</math>
b) <math>y = x\sin x</math> 与 <math>xy' - y = x^2\cos x</math>

习题 1.3 求下列方程的通解，并求满足给定初值条件的特解：

a) <math>y' = 3x^2, y(0) = 1</math>
b) <math>y'' = 6x, y(0) = 0, y'(0) = 1</math>

习题 1.4 一曲线通过点 <math>(1, 2)</math>，且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的平方，求该曲线的方程。

习题 1.5 设放射性物质的衰变速率与该物质的量成正比，半衰期为 <math>T</math> 年。若初始时刻有 <math>N_0</math> 克该物质，建立并求解描述这一过程的微分方程。

习题 1.1

a) 二阶，线性
b) 一阶，非线性
c) 四阶，线性
d) 一阶，非线性

习题 1.2

a) 是解
b) 是解

习题 1.3

a) 通解 <math>y = x^3 + C</math>，特解 <math>y = x^3 + 1</math>
b) 通解 <math>y = x^3 + C_1x + C_2</math>，特解 <math>y = x^3 + x</math>

习题 1.4 <math>y = \frac{x^3}{3} + \frac{5}{3}</math>

习题 1.5 方程 <math>\frac{dN}{dt} = -kN</math>，解 <math>N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T}</math>

本章介绍了常微分方程的基本概念：

• 微分方程的定义与分类（阶、线性/非线性）
• 解的概念（通解、特解、隐式解）
• 初值问题的概念
• 积分曲线与方向场的几何意义

掌握这些基本概念是学习后续各章内容的基础。特别要注意线性与非线性的区别，以及初值条件在确定特解中的作用。