第三章 一阶微分方程的解的存在唯一性

前两章我们讨论了几类特殊的一阶微分方程的解法。然而，在实际应用中遇到的微分方程往往不能用初等函数表示其解。因此，研究解的存在性和唯一性具有重要的理论意义和实用价值。

本章将介绍Picard逐次逼近法和相关的存在唯一性定理，这是常微分方程理论中最基本也是最重要的结果之一。

在讨论一般理论之前，先看一些例子说明解的存在性和唯一性并非总是成立。

例 3.1 初值问题 <math>y' = y^{2/3}, y(0) = 0</math>。

显然 <math>y = 0</math> 是一个解。另外，分离变量得 <math>3y^{1/3} = x + C</math>，由 <math>y(0) = 0</math> 得 <math>C = 0</math>，所以 <math>y = (x/3)^3</math> 也是解。

更一般地，对任意 <math>a \geq 0</math>，函数 <math>y_a(x) = \begin{cases} 0, & x \leq a
\left(\frac{x-a}{3}\right)^3, & x > a \end{cases}</math> 都是解。因此该初值问题有无穷多个解！唯一性不成立。

例 3.2 初值问题 <math>y' = y^2, y(0) = 1</math>。

分离变量得 <math>-\frac{1}{y} = x + C</math>，即 <math>y = -\frac{1}{x + C}</math>。

由 <math>y(0) = 1</math> 得 <math>C = -1</math>，所以 <math>y = \frac{1}{1-x}</math>。

此解只在 <math>x < 1</math> 时有定义，当 <math>x \to 1^-</math> 时 <math>y \to +\infty</math>。解在 <math>x = 1</math> 处发生“爆破”(blow-up)。

例 3.3 初值问题 <math>y' = \frac{y}{x}, y(0) = 1</math>。

方程在 <math>x = 0</math> 处无定义。实际上，该初值问题无解。

这些例子说明：

• 解可能不存在（例3.3）
• 解可能存在但不唯一（例3.1）
• 解可能只在有限区间上存在（例3.2）

定义 3.1 设函数 <math>f(x, y)</math> 在区域 <math>D</math> 内有定义。如果存在常数 <math>L > 0</math>，使得对任意 <math>(x, y_1), (x, y_2) \in D</math>，有 <math>|f(x, y_1) - f(x, y_2)| \leq L|y_1 - y_2|</math> 则称 <math>f</math> 在 <math>D</math> 内关于 <math>y</math> 满足Lipschitz条件，<math>L</math> 称为Lipschitz常数。

定理 3.1 若 <math>f(x, y)</math> 在凸区域 <math>D</math> 内关于 <math>y</math> 的偏导数 <math>\frac{\partial f}{\partial y}</math> 有界，即 <math>|\frac{\partial f}{\partial y}| \leq L</math>，则 <math>f</math> 在 <math>D</math> 内关于 <math>y</math> 满足Lipschitz条件。

证明： 由微分中值定理，存在 <math>\xi</math> 在 <math>y_1, y_2</math> 之间使得： <math>|f(x, y_1) - f(x, y_2)| = |\frac{\partial f}{\partial y}(x, \xi)| \cdot |y_1 - y_2| \leq L|y_1 - y_2|</math>

例 3.4 验证 <math>f(x, y) = xy</math> 在矩形区域 <math>R: |x| \leq a, |y| \leq b</math> 上满足Lipschitz条件。

解： <math>\frac{\partial f}{\partial y} = x</math>，在 <math>R</math> 上 <math>|\frac{\partial f}{\partial y}| = |x| \leq a</math>。

故满足Lipschitz条件，可取 <math>L = a</math>。

例 3.5 <math>f(x, y) = y^{2/3}</math> 在包含 <math>y = 0</math> 的区域上不满足Lipschitz条件。

解： <math>\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2}{3}y^{-1/3}</math>，当 <math>y \to 0</math> 时无界。

定理 3.2 (Picard存在唯一性定理) 设函数 <math>f(x, y)</math> 在矩形区域 <math>R = \{(x, y) : |x - x_0| \leq a, |y - y_0| \leq b\}</math> 上连续，且关于 <math>y</math> 满足Lipschitz条件，则初值问题 <math>\begin{cases} \frac{dy}{dx} = f(x, y)
y(x_0) = y_0 \end{cases}</math> 在区间 <math>|x - x_0| \leq h</math> 上存在唯一的解，其中 <math>h = \min\{a, \frac{b}{M}\}, \quad M = \max_{(x,y) \in R} |f(x, y)|</math>。

第一步：等价积分方程

初值问题等价于积分方程： <math>y(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f(t, y(t))dt</math>

第二步：构造逐次逼近序列

定义序列（Picard迭代）： <math>\varphi_0(x) = y_0</math> <math>\varphi_{n+1}(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f(t, \varphi_n(t))dt, \quad n = 0, 1, 2, \ldots</math>

第三步：证明序列收敛

引理 3.1 对 <math>|x - x_0| \leq h</math>，所有 <math>\varphi_n(x)</math> 有定义且满足 <math>|\varphi_n(x) - y_0| \leq b</math>。

证明（归纳法）：

• <math>n = 0</math>：显然成立
• 假设对 <math>n = k</math> 成立，则

<math>|\varphi_{k+1}(x) - y_0| = |\int_{x_0}^{x} f(t, \varphi_k(t))dt| \leq M|x - x_0| \leq Mh \leq b</math>

引理 3.2 序列 <math>\{\varphi_n(x)\}</math> 在 <math>|x - x_0| \leq h</math> 上一致收敛。

证明： 令 <math>M_n = \max_{|x-x_0|\leq h}|\varphi_{n+1}(x) - \varphi_n(x)|</math>

可证 <math>M_n \leq \frac{ML^n h^{n+1}}{(n+1)!}</math>

由Weierstrass判别法，级数 <math>\sum M_n</math> 收敛，故 <math>\{\varphi_n\}</math> 一致收敛。

第四步：证明极限函数是解

设 <math>\varphi_n \to \varphi</math> 一致收敛。在Picard迭代式中令 <math>n \to \infty</math>： <math>\varphi(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f(t, \varphi(t))dt</math>

故 <math>\varphi</math> 是积分方程的解，从而是初值问题的解。

第五步：证明唯一性

设 <math>\varphi, \psi</math> 都是解。令 <math>d = \max_{|x-x_0|\leq h}|\varphi(x) - \psi(x)|</math>。

则：<math>|\varphi(x) - \psi(x)| \leq L\int_{x_0}^{x}|\varphi(t) - \psi(t)|dt \leq Lh \cdot d</math>

若 <math>Lh < 1</math>，则 <math>d \leq Lh \cdot d</math> 推出 <math>d = 0</math>。

一般情形需要更精细的估计（Gronwall不等式）。

Picard迭代不仅是证明工具，也是求解初值问题的数值方法。

<math>\varphi_0(x) = y_0</math> <math>\varphi_{n+1}(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f(t, \varphi_n(t))dt</math>

例 3.6 用Picard迭代求 <math>y' = y, y(0) = 1</math> 的前几项逼近。

解： <math>\varphi_0(x) = 1</math>

<math>\varphi_1(x) = 1 + \int_0^x 1 \cdot dt = 1 + x</math>

<math>\varphi_2(x) = 1 + \int_0^x (1 + t)dt = 1 + x + \frac{x^2}{2}</math>

<math>\varphi_3(x) = 1 + \int_0^x (1 + t + \frac{t^2}{2})dt = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}</math>

归纳可得： <math>\varphi_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!}</math>

极限为 <math>\varphi(x) = e^x</math>，这正是精确解。

例 3.7 用Picard迭代求 <math>y' = x + y, y(0) = 0</math> 的近似解。

解： <math>\varphi_0(x) = 0</math>

<math>\varphi_1(x) = \int_0^x t dt = \frac{x^2}{2}</math>

<math>\varphi_2(x) = \int_0^x (t + \frac{t^2}{2})dt = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}</math>

<math>\varphi_3(x) = \int_0^x (t + \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{6})dt = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}</math>

精确解为 <math>y = e^x - x - 1</math>，展开后与上述结果一致。

Picard定理给出的是局部存在性，即解只在 <math>|x - x_0| \leq h</math> 上存在。

问题： 能否将解延拓到更大的区间？

定理 3.3 (解的延拓定理) 设 <math>f(x, y)</math> 在区域 <math>G</math> 内连续且关于 <math>y</math> 满足局部Lipschitz条件，则初值问题的解可以延拓到边界或无穷远。

推论： 若 <math>f(x, y)</math> 在全平面连续，且对任意有界闭集满足Lipschitz条件，则解要么在 <math>(-\infty, +\infty)</math> 上存在，要么在有限区间内趋于无穷。

例 3.8 <math>y' = y^2, y(0) = 1</math> 的解 <math>y = \frac{1}{1-x}</math> 在 <math>x = 1</math> 处有奇点，无法延拓超过 <math>x = 1</math>。

实际测量中初值 <math>y_0</math> 往往有误差。问题是：初值的微小变化是否导致解的微小变化？

定理 3.4 在Picard定理的条件下，设 <math>y = \varphi(x, x_0, y_0)</math> 是初值问题 <math>y' = f(x, y), y(x_0) = y_0</math> 的解，则 <math>\varphi</math> 关于 <math>x_0, y_0</math> 是连续的。

更精确地，若 <math>(\bar{x}_0, \bar{y}_0)</math> 充分接近 <math>(x_0, y_0)</math>，则对应的解 <math>\bar{\varphi}(x)</math> 在公共存在区间上满足： <math>|\bar{\varphi}(x) - \varphi(x)| < \varepsilon</math>

习题 3.1 验证下列函数在给定区域上是否满足Lipschitz条件：

a) <math>f(x, y) = xy</math> 在 <math>|x| \leq 1, |y| \leq 1</math>
b) <math>f(x, y) = \sqrt{y}</math> 在 <math>0 \leq y \leq 1</math>
c) <math>f(x, y) = |y|</math> 在全平面

习题 3.2 用Picard迭代求下列初值问题的前三项逼近：

a) <math>y' = x - y, y(0) = 1</math>
b) <math>y' = y^2, y(0) = 1</math>

习题 3.3 讨论初值问题 <math>y' = \sqrt{|y|}, y(0) = 0</math> 解的存在唯一性，并找出所有解。

习题 3.4 设 <math>f(x, y)</math> 在条形区域 <math>R: a \leq x \leq b, -\infty < y < +\infty</math> 上连续，且满足Lipschitz条件。证明：对任意 <math>x_0 \in [a, b], y_0 \in \mathbb{R}</math>，初值问题的解在 <math>[a, b]</math> 上存在唯一。

习题 3.5 (Gronwall不等式) 设 <math>u(x)</math> 在 <math>[x_0, x_1]</math> 上非负连续，且满足 <math>u(x) \leq C + K\int_{x_0}^{x} u(t)dt</math> 其中 <math>C, K \geq 0</math> 为常数。证明：<math>u(x) \leq Ce^{K(x-x_0)}</math>。

习题 3.1

a) 满足，<math>L = 1</math>
b) 不满足（在 <math>y = 0</math> 附近）
c) 满足，<math>L = 1</math>

习题 3.2

a) <math>\varphi_0 = 1, \varphi_1 = 1 - x + \frac{x^2}{2}, \varphi_2 = 1 - x + x^2 - \frac{x^3}{6}</math>
b) <math>\varphi_0 = 1, \varphi_1 = 1 + x, \varphi_2 = 1 + x + x^2 + \frac{x^3}{3}</math>

习题 3.3 不满足唯一性条件，有无穷多解：对任意 <math>a \geq 0</math>， <math>y_a(x) = \begin{cases} 0, & x \leq a
\frac{(x-a)^2}{4}, & x > a \end{cases}</math>

本章核心内容：

• Lipschitz条件：保证唯一性的关键条件
• Picard存在唯一性定理：在 <math>f</math> 连续且满足Lipschitz条件下，初值问题局部存在唯一解
• Picard迭代法：构造解的逐次逼近序列
• 解的延拓：局部解可以延拓到边界
• 连续依赖性：解对初值连续依赖，保证数值计算的稳定性

这些理论结果为常微分方程的数值求解和定性分析奠定了基础。