微分几何

微分几何是数学的一个重要分支，它运用微积分和微分方程等分析工具来研究曲线、曲面以及更一般的高维流形的几何性质。这门学科在理论物理、工程学、计算机图形学等领域都有广泛的应用。

本课程系统地介绍微分几何的基本理论和方法，从三维欧氏空间中的曲线论和曲面论出发，逐步深入到内蕴几何、张量分析、Riemann几何等现代微分几何的核心内容。

通过本课程的学习，学生将能够：

1. 掌握曲线和曲面的局部微分几何理论
2. 理解曲面的内蕴几何与Gauss绝妙定理
3. 熟练运用张量分析工具研究微分流形
4. 掌握Riemann几何的基本概念和方法
5. 了解复几何和李群的基础知识

1. 第一章 曲线的局部理论 - 参数曲线、弧长参数、切向量
2. 第二章 曲线的曲率与挠率 - Frenet标架、曲率、挠率、Frenet公式
3. 第三章 曲线论基本定理 - 存在唯一性定理、自然方程
4. 第四章 特殊曲线 - 平面曲线、球面曲线、螺线

1. 第五章 曲面的第一基本形式 - 曲面的参数表示、第一基本形式、弧长、面积
2. 第六章 曲面的第二基本形式 - 法曲率、主曲率、Gauss曲率、平均曲率
3. 第七章 曲面的结构方程 - Gauss方程、Codazzi方程、相容性条件
4. 第八章 曲面论基本定理 - 曲面论基本定理、存在唯一性
5. 第九章 曲面上的特殊曲线 - 测地线、渐近曲线、曲率线

1. 第十章 曲面的内蕴几何 - 等距变换、可展曲面
2. 第十一章 Gauss-Bonnet定理 - 测地曲率、Gauss-Bonnet公式、Euler示性数
3. 第十二章 曲面的完备性 - 指数映射、完备曲面、Hopf-Rinow定理

1. 第十三章 张量代数 - 张量、缩并、张量积、对称与反对称
2. 第十四章 微分流形 - 微分流形、切空间、切丛、向量场
3. 第十五章 Riemann度量 - Riemann度量、Levi-Civita联络、测地线
4. 第十六章 曲率张量 - Riemann曲率张量、Ricci张量、数量曲率
5. 第十七章 Sectional曲率 - 截面曲率、常曲率空间、空间形式
6. 第十八章 Einstein流形 - Einstein方程、Einstein流形、Yamabe问题

1. 第十九章 Kähler几何 - 近复结构、Kähler形式、Kähler流形
2. 第二十章 李群与李代数 - 李群、李代数、伴随表示、齐性空间

学习本课程需要具备以下数学基础：

1. 数学分析：极限、连续、微分、积分、级数
2. 线性代数：向量空间、线性变换、特征值、内积空间
3. 常微分方程：一阶方程组、存在唯一性定理
4. 拓扑学基础（第四部分起）：拓扑空间、连续映射、紧致性

1. do Carmo, M. P. Differential Geometry of Curves and Surfaces
2. O'Neill, B. Elementary Differential Geometry
3. 陈省身, 陈维桓. 《微分几何讲义》
4. 彭家贵, 陈卿. 《微分几何》
5. Lee, J. M. Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature
6. Petersen, P. Riemannian Geometry
7. 伍鸿熙, 沈纯理, 虞言林. 《黎曼几何初步》

本课程使用以下标准符号：

• $\mathbb{R}^n$：$n$维欧氏空间
• $\langle \cdot, \cdot \rangle$：欧氏内积
• $\|\cdot\|$：欧氏范数
• $\wedge$：外积（楔积）
• $T_pM$：流形$M$在点$p$的切空间
• $T_p^*M$：余切空间
• $\nabla$：协变导数（Levi-Civita联络）
• $R$：曲率张量
• $Ric$：Ricci张量
• $S$：数量曲率

• 2024年：创建课程页面
• 持续更新中…

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