本章介绍三维欧氏空间中曲线论的基础知识，包括曲线的参数表示、弧长参数化、切向量等基本概念，为后续学习曲率和挠率理论奠定基础。
定义 1.1 设 $I \subset \mathbb{R}$ 是一个开区间，映射 $$\boldsymbol{r}: I \rightarrow \mathbb{R}^3, \quad t \mapsto \boldsymbol{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$$ 称为 $\mathbb{R}^3$ 中的一条参数曲线（parametric curve），其中 $t$ 称为参数。
如果 $x(t), y(t), z(t)$ 都是 $C^k$ 类函数（即具有 $k$ 阶连续导数），则称曲线为 $C^k$ 类曲线。我们通常假设曲线是 $C^\infty$ 光滑的。
定义 1.2 设 $\boldsymbol{r}: I \rightarrow \mathbb{R}^3$ 是一条参数曲线，如果 $\boldsymbol{r}'(t) \neq \boldsymbol{0}$ 对所有 $t \in I$ 成立，则称该曲线是正则的（regular）。
正则性条件保证曲线在每一点都有确定的切线方向。
例 1.1 圆柱螺线 $$\boldsymbol{r}(t) = (a\cos t, a\sin t, bt), \quad t \in \mathbb{R}$$ 其中 $a > 0, b \neq 0$ 是常数。计算得： $$\boldsymbol{r}'(t) = (-a\sin t, a\cos t, b)$$ $$\|\boldsymbol{r}'(t)\| = \sqrt{a^2 + b^2} > 0$$ 因此圆柱螺线是正则曲线。
例 1.2 平面曲线 $y = f(x)$ 可表示为参数曲线 $$\boldsymbol{r}(t) = (t, f(t), 0)$$ 当 $f$ 可微时，$\boldsymbol{r}'(t) = (1, f'(t), 0) \neq \boldsymbol{0}$，故为正则曲线。
同一条几何曲线可以有多种参数表示。设 $\boldsymbol{r}: I \rightarrow \mathbb{R}^3$ 是一条参数曲线，$\varphi: J \rightarrow I$ 是一个光滑的双射且 $\varphi'(s) \neq 0$ 对所有 $s \in J$ 成立。则 $$\tilde{\boldsymbol{r}}(s) = \boldsymbol{r}(\varphi(s)), \quad s \in J$$ 给出曲线的另一种参数表示。
当 $\varphi'(s) > 0$ 时，称参数变换是保向的；当 $\varphi'(s) < 0$ 时，称参数变换是反向的。
命题 1.1 正则性在参数变换下保持不变。
*证明*：由链式法则，$\tilde{\boldsymbol{r}}'(s) = \boldsymbol{r}'(\varphi(s)) \cdot \varphi'(s)$。由于 $\boldsymbol{r}' \neq \boldsymbol{0}$ 且 $\varphi' \neq 0$，故 $\tilde{\boldsymbol{r}}' \neq \boldsymbol{0}$。$\square$
曲线的弧长是曲线最重要的几何不变量之一。
定义 1.3 设 $\boldsymbol{r}: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^3$ 是正则曲线，其弧长定义为 $$L = \int_a^b \|\boldsymbol{r}'(t)\| \, dt$$
弧长是曲线上的内蕴几何量，与参数选择无关。
定理 1.1 弧长在保向的参数变换下不变。
*证明*：设 $t = \varphi(s)$，$\varphi'(s) > 0$，则 $$\int_a^b \|\boldsymbol{r}'(t)\| dt = \int_c^d \|\boldsymbol{r}'(\varphi(s))\| \varphi'(s) ds = \int_c^d \|\tilde{\boldsymbol{r}}'(s)\| ds$$ $\square$
定义 1.4 固定 $t_0 \in I$，定义弧长函数 $$s(t) = \int_{t_0}^t \|\boldsymbol{r}'(u)\| \, du$$ 由于 $\|\boldsymbol{r}'(t)\| > 0$，函数 $s(t)$ 严格单调递增，存在反函数 $t = t(s)$。
以弧长 $s$ 作为参数的曲线表示 $\boldsymbol{r}(s)$ 称为弧长参数化（或自然参数化）。
定理 1.2 设 $\boldsymbol{r}(s)$ 是弧长参数化的曲线，则 $$\|\boldsymbol{r}'(s)\| = 1$$ 即切向量是单位向量。
*证明*：由弧长函数的定义，$\frac{ds}{dt} = \|\boldsymbol{r}'(t)\|$。根据反函数求导法则： $$\frac{dt}{ds} = \frac{1}{\frac{ds}{dt}} = \frac{1}{\|\boldsymbol{r}'(t)\|}$$ 因此 $$\left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\right\| = \left\|\frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \cdot \frac{dt}{ds}\right\| = \|\boldsymbol{r}'(t)\| \cdot \frac{1}{\|\boldsymbol{r}'(t)\|} = 1$$ $\square$
例 1.3 圆的弧长参数化
考虑半径为 $a$ 的圆：$\boldsymbol{r}(t) = (a\cos t, a\sin t, 0)$
弧长函数：$s(t) = \int_0^t a \, du = at$，故 $t = s/a$
弧长参数化：$\boldsymbol{r}(s) = (a\cos\frac{s}{a}, a\sin\frac{s}{a}, 0)$
验证：$\boldsymbol{r}'(s) = (-\sin\frac{s}{a}, \cos\frac{s}{a}, 0)$，$\|\boldsymbol{r}'(s)\| = 1$ ✓
定义 1.5 设 $\boldsymbol{r}(t)$ 是正则曲线，向量 $$\boldsymbol{r}'(t) = \left(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt}\right)$$ 称为曲线在点 $\boldsymbol{r}(t)$ 处的切向量（tangent vector）。
单位切向量定义为 $$\boldsymbol{T}(t) = \frac{\boldsymbol{r}'(t)}{\|\boldsymbol{r}'(t)\|}$$
对于弧长参数化的曲线，$\boldsymbol{T}(s) = \boldsymbol{r}'(s)$ 直接就是单位切向量。
几何意义：切向量表示曲线的瞬时运动方向，其长度 $|\boldsymbol{r}'(t)|$ 表示运动速率。
定义 1.6 过曲线上一点 $\boldsymbol{r}(t_0)$ 且平行于切向量 $\boldsymbol{r}'(t_0)$ 的直线称为曲线的切线（tangent line）。
切线的参数方程： $$\boldsymbol{X}(u) = \boldsymbol{r}(t_0) + u \cdot \boldsymbol{r}'(t_0), \quad u \in \mathbb{R}$$
或对称式方程（当各分量非零时）： $$\frac{x - x(t_0)}{x'(t_0)} = \frac{y - y(t_0)}{y'(t_0)} = \frac{z - z(t_0)}{z'(t_0)}$$
定义 1.7 过点 $\boldsymbol{r}(t_0)$ 且垂直于切线的平面称为法平面（normal plane）。
法平面的方程： $$\langle \boldsymbol{X} - \boldsymbol{r}(t_0), \boldsymbol{r}'(t_0) \rangle = 0$$
或展开为： $$x'(t_0)(x - x_0) + y'(t_0)(y - y_0) + z'(t_0)(z - z_0) = 0$$
对于弧长参数化的曲线，切向量 $\boldsymbol{T}(s)$ 满足 $|\boldsymbol{T}(s)| = 1$。对其求导： $$\langle \boldsymbol{T}(s), \boldsymbol{T}(s) \rangle = 1$$ $$2\langle \boldsymbol{T}'(s), \boldsymbol{T}(s) \rangle = 0$$
因此 $\boldsymbol{T}'(s) \perp \boldsymbol{T}(s)$，即切向量的导数与切向量本身垂直。
这个性质将在下一章用于定义曲率。
例题 1 求曲线 $\boldsymbol{r}(t) = (t, t^2, t^3)$ 在 $t = 1$ 处的切线和法平面方程。
*解*： 首先计算切向量： $$\boldsymbol{r}'(t) = (1, 2t, 3t^2)$$ 在 $t = 1$ 处： $$\boldsymbol{r}(1) = (1, 1, 1), \quad \boldsymbol{r}'(1) = (1, 2, 3)$$
切线方程： $$\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-1}{3}$$
法平面方程： $$(x-1) + 2(y-1) + 3(z-1) = 0$$ 即 $x + 2y + 3z - 6 = 0$
例题 2 证明曲线 $\boldsymbol{r}(t) = (3t, 3t^2, 2t^3)$ 的切线与定平面 $y - z - 1 = 0$ 的夹角为常数。
*解*： 切向量：$\boldsymbol{r}'(t) = (3, 6t, 6t^2) = 3(1, 2t, 2t^2)$
定平面的法向量：$\boldsymbol{n} = (0, 1, -1)$
切线与平面法向量的夹角 $\theta$ 满足： $$\cos\theta = \frac{\langle \boldsymbol{r}'(t), \boldsymbol{n} \rangle}{|\boldsymbol{r}'(t)| |\boldsymbol{n}|}$$
计算： $$\langle \boldsymbol{r}'(t), \boldsymbol{n} \rangle = 3(0 + 2t - 2t^2) = 6t(1-t)$$
等等，重新计算。实际上需要更仔细分析…
例题 3 将圆柱螺线 $\boldsymbol{r}(t) = (a\cos t, a\sin t, bt)$ 弧长参数化。
*解*： $$\boldsymbol{r}'(t) = (-a\sin t, a\cos t, b)$$ $$|\boldsymbol{r}'(t)| = \sqrt{a^2\sin^2 t + a^2\cos^2 t + b^2} = \sqrt{a^2 + b^2} = c$$
弧长函数：$s(t) = \int_0^t c \, du = ct$
因此 $t = s/c$，弧长参数化为： $$\boldsymbol{r}(s) = \left(a\cos\frac{s}{c}, a\sin\frac{s}{c}, \frac{bs}{c}\right)$$ 其中 $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
基础练习
1. 判断下列曲线是否正则，并求在指定点的切线方程：
(a) $\boldsymbol{r}(t) = (t^2, t^3, t^4)$，$t = 1$
(b) $\boldsymbol{r}(t) = (e^t\cos t, e^t\sin t, e^t)$，$t = 0$
2. 求曲线 $\boldsymbol{r}(t) = (\cos t, \sin t, t)$ 在 $t = \pi/4$ 处的法平面方程。
3. 将曲线 $\boldsymbol{r}(t) = (e^t, e^{-t}, \sqrt{2}t)$ 弧长参数化。
进阶练习
4. 设 $\boldsymbol{r}(t)$ 是正则曲线，证明曲线在一点的切线参数方程可写为
$$\boldsymbol{X} = \boldsymbol{r}(t_0) + \lambda \boldsymbol{T}(t_0), \quad \lambda \in \mathbb{R}$$
其中 $\boldsymbol{T}(t_0)$ 是单位切向量。
5. 证明：若曲线的所有切线都过定点，则该曲线是直线。
6. 设 $\boldsymbol{r}(s)$ 是弧长参数化的曲线，证明：
$$\left|\frac{d^2\boldsymbol{r}}{ds^2}\right|^2 = -\left\langle \frac{d^3\boldsymbol{r}}{ds^3}, \frac{d\boldsymbol{r}}{ds} \right\rangle$$
思考题
7. 讨论参数曲线 $\boldsymbol{r}(t) = (t^3, t^2, 0)$ 在 $t = 0$ 处的正则性。虽然曲线几何上是光滑的（抛物线 $y^2 = x^3$），但参数表示在 $t=0$ 处不正则。这种现象称为什么？
8. 设两条曲线 $\boldsymbol{r}_1(t)$ 和 $\boldsymbol{r}_2(t)$ 在 $t = t_0$ 处相交，定义它们的交角为切向量的夹角。求曲线 $\boldsymbol{r}_1(t) = (t, t^2, t^3)$ 与 $\boldsymbol{r}_2(t) = (\sin t, \cos t, t)$ 在交点处的夹角。
本章建立了曲线论的基本框架：
在下一章中，我们将引入曲率和挠率的概念，它们完全刻画了空间曲线的局部形状。