拓扑学 (Topology)

拓扑学是现代数学的核心分支之一，研究在连续变形下保持不变的性质。它起源于对几何图形连续性的研究，现已发展成为具有广泛应用的基础数学学科。

本课程涵盖以下主要内容：

1. 点集拓扑：拓扑空间的基本结构、连续映射、连通性、紧致性、分离公理
2. 代数拓扑：同伦理论、基本群、覆盖空间、van Kampen定理
3. 同调论：单纯同调、奇异同调、上同调理论
4. 流形与高级主题：拓扑流形、微分形式、指标定理

1. 第一章 拓扑空间 - 拓扑的定义、开集、闭集、邻域、基
2. 第二章 连续映射与同胚 - 连续映射、同胚、拓扑不变量
3. 第三章 连通性 - 连通空间、道路连通、分支、局部连通
4. 第四章 紧致性 - 紧致空间、列紧性、可数紧致、局部紧致
5. 第五章 分离公理 - T0到T4空间、正规空间、Urysohn引理
6. 第六章 可数性公理 - 第一可数、第二可数、可分、Lindelöf
7. 第七章 乘积空间与商空间 - 乘积拓扑、商拓扑、粘合空间
8. 第八章 度量空间 - 度量诱导的拓扑、完备化、Baire纲定理

1. 第九章 同伦 - 同伦映射、形变收缩、同伦等价
2. 第十章 基本群 - 道路类、回路、基本群、计算方法
3. 第十一章 覆盖空间 - 覆盖映射、提升性质、覆盖空间分类
4. 第十二章 van Kampen定理 - 空间的基本群计算

1. 第十三章 单纯复形 - 单纯形、单纯复形、三角剖分
2. 第十四章 单纯同调 - 链复形、边缘算子、同调群
3. 第十五章 奇异同调 - 奇异单形、链复形、同调群
4. 第十六章 同调群的性质 - 正合序列、切除定理、Mayer-Vietoris序列
5. 第十七章 上同调 - 上链复形、上同调群、cup积

1. 第十八章 拓扑流形 - 流形定义、图册、可定向性
2. 第十九章 微分形式 - 切丛、余切丛、外微分、de Rham上同调
3. 第二十章 指标定理简介 - Euler示性数、Hirzebruch符号差定理

学习本课程需要以下数学基础：

1. 集合论基础
2. 实分析（特别是 $\\mathbb{R}^n$ 的拓扑性质）
3. 抽象代数（群论基础）
4. 线性代数

主要参考书目：

1. Munkres, J.R. “Topology” (2nd Edition), Prentice Hall, 2000
2. Hatcher, A. “Algebraic Topology”, Cambridge University Press, 2002
3. 尤承业, 《基础拓扑学讲义》, 北京大学出版社
4. 姜伯驹, 《同调论》, 北京大学出版社

完成本课程后，学生应能够： 1. 理解拓扑空间的抽象定义及相关基本概念 2. 掌握连续映射和同胚的核心性质 3. 运用代数工具（同伦、同调）研究拓扑问题 4. 理解并应用重要的拓扑不变量 5. 具备进一步学习微分几何和代数拓扑的基础

本课程采用严格的数学推导，配合大量例题和习题，帮助学习者深入理解拓扑学的核心概念和方法。每章包含详细的理论讲解、完整的推导过程、典型例题以及精选习题。

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