拓扑学研究的中心问题是连续性。在数学分析中，我们研究 $\\mathbb{R}$ 和 $\\mathbb{R}^n$ 上的连续函数，依赖于距离的概念。然而，许多重要的数学结构（如函数空间、代数簇）并没有自然的度量。拓扑空间的概念提供了一个更一般的框架来研究连续性。
历史背景：拓扑学起源于欧拉对七桥问题的研究（1736年），经历了从直观几何到抽象公理化体系的发展。20世纪初，Hausdorff（1914年）和Kuratowski（1922年）建立了现代拓扑学的公理体系。
设 $X$ 是一个非空集合，$\\mathcal{T}$ 是 $X$ 的子集族。如果 $\\mathcal{T}$ 满足以下条件：
(1) 空集和全集：$\\emptyset \\in \\mathcal{T}$，$X \\in \\mathcal{T}$
(2) 任意并封闭：若 $\\{U_\\alpha\\}_{\\alpha \\in I} \\subseteq \\mathcal{T}$，则 $\\bigcup_{\\alpha \\in I} U_\\alpha \\in \\mathcal{T}$
(3) 有限交封闭：若 $U_1, U_2, \\ldots, U_n \\in \\mathcal{T}$，则 $\\bigcap_{i=1}^n U_i \\in \\mathcal{T}$
则称 $\\mathcal{T}$ 为 $X$ 上的拓扑（topology），称 $(X, \\mathcal{T})$ 为拓扑空间，$\\mathcal{T}$ 中的元素称为开集（open sets）。
设 $X$ 是任意集合，令 $\\mathcal{T} = \\{\\emptyset, X\\}$。则 $\\mathcal{T}$ 是 $X$ 上的拓扑，称为平凡拓扑（trivial topology）或密着拓扑。
验证：
设 $X$ 是任意集合，令 $\\mathcal{T} = \\mathcal{P}(X)$（$X$ 的幂集）。则 $\\mathcal{T}$ 是 $X$ 上的拓扑，称为离散拓扑（discrete topology）。
验证：幂集对任意并和有限交封闭。
注：离散拓扑是 $X$ 上最细的拓扑，平凡拓扑是最粗的拓扑。
设 $X$ 是无限集合，令 $$\\mathcal{T}_f = \\{U \\subseteq X : X \\setminus U \\text{ 是有限集}\\} \\cup \\{\\emptyset\\}$$
则 $\\mathcal{T}_f$ 是 $X$ 上的拓扑，称为余有限拓扑（cofinite topology）。
验证：
设 $(X, \\mathcal{T})$ 是拓扑空间，$F \\subseteq X$。如果 $X \\setminus F \\in \\mathcal{T}$（即补集是开集），则称 $F$ 为闭集（closed set）。
设 $(X, \\mathcal{T})$ 是拓扑空间：
(1) $\\emptyset$ 和 $X$ 都是闭集
(2) 任意闭集的交是闭集
(3) 有限个闭集的并是闭集
证明：由De Morgan律和开集的性质直接得到。
在余有限拓扑 $\\mathcal{T}_f$ 中，闭集恰好是有限集和 $X$ 本身。
设 $\\mathcal{T}_1$ 和 $\\mathcal{T}_2$ 是 $X$ 上的两个拓扑。如果 $\\mathcal{T}_1 \\subseteq \\mathcal{T}_2$，则称 $\\mathcal{T}_1$ 粗于（coarser）$\\mathcal{T}_2$，或 $\\mathcal{T}_2$ 细于（finer）$\\mathcal{T}_1$。
设 $(X, \\mathcal{T})$ 是拓扑空间，$x \\in X$，$N \\subseteq X$。如果存在开集 $U$ 使得 $x \\in U \\subseteq N$，则称 $N$ 为 $x$ 的邻域（neighborhood）。
注：有些教材定义邻域为包含 $x$ 的开集。我们采用更一般的定义。
设 $A \\subseteq X$，$x \\in X$。如果存在 $x$ 的邻域 $N$ 使得 $N \\subseteq A$，则称 $x$ 为 $A$ 的内点。$A$ 的所有内点组成的集合称为 $A$ 的内部（interior），记作 $A^\\circ$ 或 $\\text{int}(A)$。
(1) $A^\\circ$ 是包含于 $A$ 的最大开集，即 $A^\\circ = \\bigcup\\{U \\in \\mathcal{T} : U \\subseteq A\\}$
(2) $A$ 是开集当且仅当 $A = A^\\circ$
(3) $A \\subseteq B \\Rightarrow A^\\circ \\subseteq B^\\circ$
(4) $(A \\cap B)^\\circ = A^\\circ \\cap B^\\circ$
(5) $(A \\cup B)^\\circ \\supseteq A^\\circ \\cup B^\\circ$
证明：
(1) 显然 $A^\\circ$ 是开集的并，故开。若 $U \\subseteq A$ 开，则 $U$ 中每点都是内点，故 $U \\subseteq A^\\circ$。
(2) 若 $A = A^\\circ$，则 $A$ 开。反之若 $A$ 开，则 $A$ 中每点都是内点。
(3)-(5) 直接验证。
设 $A \\subseteq X$，$x \\in X$。如果 $x$ 的每个邻域都与 $A$ 相交，则称 $x$ 为 $A$ 的接触点或闭包点。$A$ 的所有接触点组成的集合称为 $A$ 的闭包（closure），记作 $\\bar{A}$ 或 $\\text{cl}(A)$。
(1) $\\bar{A}$ 是包含 $A$ 的最小闭集，即 $\\bar{A} = \\bigcap\\{F : F \\supseteq A, F \\text{ 闭}\\}$
(2) $A$ 是闭集当且仅当 $A = \\bar{A}$
(3) $A \\subseteq B \\Rightarrow \\bar{A} \\subseteq \\bar{B}$
(4) $\\overline{A \\cup B} = \\bar{A} \\cup \\bar{B}$
(5) $\\overline{A \\cap B} \\subseteq \\bar{A} \\cap \\bar{B}$
证明：
(1) $X \\setminus \\bar{A} = (X \\setminus A)^\\circ$，故 $\\bar{A}$ 闭。若 $F \\supseteq A$ 闭，则 $X \\setminus F \\subseteq X \\setminus A$ 开，故 $X \\setminus F \\subseteq (X \\setminus A)^\\circ = X \\setminus \\bar{A}$，即 $\\bar{A} \\subseteq F$。
$A$ 的边界定义为 $\\partial A = \\bar{A} \\setminus A^\\circ$。
设 $(X, \\mathcal{T})$ 是拓扑空间，$\\mathcal{B} \\subseteq \\mathcal{T}$。如果每个开集都能表示为 $\\mathcal{B}$ 中元素的并，则称 $\\mathcal{B}$ 为 $\\mathcal{T}$ 的一个基（basis）。
等价地，$\\mathcal{B}$ 是基当且仅当：对每个 $x \\in U \\in \\mathcal{T}$，存在 $B \\in \/mathcal{B}$ 使得 $x \\in B \\subseteq U$。
子集族 $\\mathcal{B} \\subseteq \\mathcal{P}(X)$ 是某个拓扑的基当且仅当：
(1) $\\bigcup_{B \\in \\mathcal{B}} B = X$
(2) 对任意 $B_1, B_2 \\in \\mathcal{B}$ 和 $x \\in B_1 \\cap B_2$，存在 $B_3 \\in \\mathcal{B}$ 使得 $x \\in B_3 \\subseteq B_1 \\cap B_2$
证明：必要性显然。充分性：定义 $\\mathcal{T} = \\{\\mathcal{B}\\text{ 中元素的任意并}\\}$，验证 $\\mathcal{T}$ 是拓扑。
在 $\\mathbb{R}$ 上，$\\mathcal{B} = \\{(a,b) : a < b\\}$ 是标准拓扑的基。
$\\mathcal{S} \\subseteq \\mathcal{T}$ 称为子基（subbasis），如果 $\\mathcal{S}$ 中元素的所有有限交构成一个基。
对任意 $\\mathcal{S} \\subseteq \\mathcal{P}(X)$ 满足 $\\bigcup_{S \\in \\mathcal{S}} S = X$，存在唯一的拓扑 $\\mathcal{T}$ 以 $\\mathcal{S}$ 为子基。
设 $X$ 是集合，$d: X \\times X \\to [0, +\\infty)$ 满足：
(1) 正定性：$d(x,y) = 0 \\Leftrightarrow x = y$
(2) 对称性：$d(x,y) = d(y,x)$
(3) 三角不等式：$d(x,z) \\leq d(x,y) + d(y,z)$
则称 $d$ 为 $X$ 上的度量（metric），$(X,d)$ 为度量空间。
在度量空间 $(X,d)$ 中，定义开球： $$B(x, \\epsilon) = \\{y \\in X : d(x,y) < \\epsilon\\}$$
则 $\\mathcal{B} = \\{B(x, \\epsilon) : x \\in X, \\epsilon > 0\\}$ 构成拓扑基，诱导的拓扑称为度量拓扑。
$\\mathbb{R}^n$ 上的标准度量 $d(x,y) = \\sqrt{\\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}$ 诱导标准拓扑。
序列 $\\{x_n\\}$ 收敛于 $x$，记作 $x_n \\to x$，如果对 $x$ 的每个邻域 $N$，存在 $N_0$ 使得当 $n \\geq N_0$ 时 $x_n \\in N$。
在度量空间中，$x \\in \\bar{A}$ 当且仅当存在 $A$ 中的序列收敛于 $x$。
注：在一般拓扑空间中，序列收敛不足以刻画闭包（需要网或滤子）。
证明：$\\mathbb{R}$ 上的标准拓扑不能由有限度量诱导。
证明：假设 $d$ 诱导标准拓扑。考虑开区间 $(0,1)$，它应该是某些开球的并。但有限度量只能产生有限个开球，无法覆盖不可数集 $(0,1)$ 同时保持标准拓扑结构。更严格地，有限度量空间是离散的，而标准拓扑不是离散的。
设 $X = \\{a, b, c\\}$，求 $X$ 上所有可能的拓扑。
解：按开集个数分类：
共 29 个不同拓扑。
习题 1.1 验证例 1.2.4 中余有限拓扑确实是拓扑。
习题 1.2 证明：$\\overline{A \\cup B} = \\bar{A} \\cup \\bar{B}$。
习题 1.3 设 $\\mathcal{T}_1$ 和 $\\mathcal{T}_2$ 是 $X$ 上的拓扑，证明 $\\mathcal{T}_1 \\cap \\mathcal{T}_2$ 也是拓扑，但 $\\mathcal{T}_1 \\cup \\mathcal{T}_2$ 一般不是。
习题 1.4 证明 $\\partial A = \\bar{A} \\cap \\overline{X \\setminus A}$。
习题 1.5 设 $A \\subseteq B \\subseteq \\bar{A}$，证明 $\\bar{B} = \\bar{A}$。
习题 1.6 构造一个拓扑空间，其中有不可数多个开集但不可度量。
习题 1.7 证明：$(A^\\circ)^c = \\overline{A^c}$。
习题 1.8 设 $\\mathcal{B}$ 是拓扑基，证明 $U$ 开当且仅当对每个 $x \\in U$，存在 $B \\in \\mathcal{B}$ 使 $x \\in B \\subseteq U$。
习题 1.9 在余可数拓扑中（$U$ 开当 $U = \\emptyset$ 或 $X \\setminus U$ 可数），证明：序列收敛当且仅当最终常值。
习题 1.10 证明离散拓扑可度量化（用离散度量 $d(x,y) = 1$ 若 $x \\neq y$）。