拓扑空间 $X$ 称为连通的（connected），如果不能表示为两个非空不相交开集的并。等价地，$X$ 连通当且仅当：若 $X = U \\cup V$ 且 $U, V$ 开，$U \\cap V = \\emptyset$，则 $U = \\emptyset$ 或 $V = \\emptyset$。
等价刻画：
$\\mathbb{R}$ 的子集连通当且仅当它是区间。
证明：
($\\Rightarrow$) 设 $A \\subseteq \\mathbb{R}$ 连通。若 $A$ 不是区间，则存在 $a < b < c$ 使得 $a, c \\in A$ 但 $b \\notin A$。则 $A = (A \\cap (-\\infty, b)) \\cup (A \\cap (b, +\\infty))$ 是分离，矛盾。
($\\Leftarrow$) 设 $I$ 是区间，$I = U \\cup V$ 分离。取 $a \\in U, b \\in V$，不妨设 $a < b$。令 $c = \\sup(U \\cap [a,b])$。则 $c \\in \\bar{U} \\cap \\bar{V}$，但 $U, V$ 分离意味着 $\\bar{U} \\cap V = U \\cap \\bar{V} = \\emptyset$，矛盾。
若 $f: X \\to Y$ 连续且 $X$ 连通，则 $f(X)$ 连通。
证明：设 $f(X) = U \\cup V$ 分离，则 $X = f^{-1}(U) \\cup f^{-1}(V)$ 是 $X$ 的分离，矛盾。
设 $f: [a,b] \\to \\mathbb{R}$ 连续，$f(a) < c < f(b)$，则存在 $x \\in (a,b)$ 使 $f(x) = c$。
证明：$[a,b]$ 连通，故 $f([a,b])$ 是 $\\mathbb{R}$ 的连通子集，即是区间，包含 $c$。
设 $\\{A_\\alpha\\}$ 是 $X$ 的一族连通子集，且 $\\bigcap A_\\alpha \\neq \\emptyset$，则 $\\bigcup A_\\alpha$ 连通。
证明：设 $\\bigcup A_\\alpha = U \\cup V$ 分离，$p \\in \\bigcap A_\\alpha$。不妨设 $p \\in U$。对每个 $\\alpha$，$A_\\alpha = (A_\\alpha \\cap U) \\cup (A_\\alpha \\cap V)$。由于 $A_\\alpha$ 连通且 $p \\in A_\\alpha \\cap U$，有 $A_\\alpha \\subseteq U$。因此 $\\bigcup A_\\alpha \\subseteq U$，即 $V = \\emptyset$。
若 $A$ 连通且 $A \\subseteq B \\subseteq \\bar{A}$，则 $B$ 连通。
证明：设 $B = U \\cup V$ 分离。则 $A = (A \\cap U) \\cup (A \\cap V)$。由于 $A$ 连通，不妨设 $A \\subseteq U$。则 $\\bar{A} \\subseteq \\bar{U}$，但 $\\bar{U} \\cap V = \\emptyset$，故 $B \\cap V = \\emptyset$。
设 $X$ 是拓扑空间，$x, y \\in X$。从 $x$ 到 $y$ 的道路（path）是连续映射 $\\gamma: [0,1] \\to X$ 满足 $\\gamma(0) = x$，$\\gamma(1) = y$。
空间 $X$ 称为道路连通的（path-connected），如果对任意 $x, y \\in X$，存在从 $x$ 到 $y$ 的道路。
道路连通空间必连通。
证明：设 $X$ 道路连通，$x \\in X$。对每个 $y \\in X$，存在道路 $\\gamma_y$ 从 $x$ 到 $y$，其像 $\\gamma_y([0,1])$ 连通且包含 $x$。由定理 3.2.3，$X = \\bigcup_y \\gamma_y([0,1])$ 连通。
令 $S = \\{(x, \\sin(1/x)) : 0 < x \\leq 1\\}$，$A = S \\cup (\\{0\\} \\times [-1,1])$。
$x \\in X$ 的连通分支（connected component）是包含 $x$ 的最大连通子集，即所有包含 $x$ 的连通子集的并。
(1) 连通分支是连通闭集
(2) 不同的连通分支不相交
(3) $X$ 是各连通分支的不交并
证明：
(1) 由定理 3.2.3，连通分支连通。由定理 3.2.4，其闭包连通，故等于自身。
(2) 若 $C_x \\cap C_y \\neq \\emptyset$，则 $C_x \\cup C_y$ 连通，由最大性 $C_x = C_y$。
类似定义道路连通分支（path component）。
注：道路连通分支是道路连通的最大子集，但未必闭。
空间 $X$ 称为局部连通的（locally connected），如果对任意 $x \\in X$ 和 $x$ 的邻域 $U$，存在连通的邻域 $V$ 使得 $x \\in V \\subseteq U$。
等价地，$X$ 有由连通开集构成的基。
类似定义局部道路连通（locally path-connected）。
$X$ 局部连通当且仅当任意开集的连通分支都开。
证明：($\\Rightarrow$) 设 $U$ 开，$C$ 是 $U$ 的连通分支，$x \\in C$。存在连通开邻域 $V$ 使 $x \\in V \\subseteq U$。则 $V \\subseteq C$，故 $C$ 开。
($\\Leftarrow$) 设 $U$ 是 $x$ 的开邻域，$C$ 是 $U$ 的含 $x$ 的连通分支。由假设 $C$ 开，即为所求的连通邻域。
连通且局部道路连通的空间道路连通。
证明：设 $X$ 连通且局部道路连通，$x \\in X$，$P$ 是 $x$ 的道路连通分支。对任意 $y \\in P$，存在道路连通开邻域 $U$。则 $U \\subseteq P$，故 $P$ 开。
$X \\setminus P$ 是其他道路连通分支的并，同样开。由于 $X$ 连通，$X \\setminus P = \\emptyset$。
证明 $\\mathbb{R}^n \\setminus \\{0\\}$（$n \\geq 2$）道路连通。
证明：任取 $x, y \\neq 0$。若 $x, y$ 不共线于过原点的直线，则线段 $[x,y]$ 不经过原点，即为所求道路。
若 $x, y$ 共线，取 $z$ 不在该直线上。则 $[x,z] \\cup [z,y]$ 是道路。
设 $A \\subseteq \\mathbb{R}^2$ 可数，证明 $\\mathbb{R}^2 \\setminus A$ 道路连通。
证明：任取 $x, y \\in \\mathbb{R}^2 \\setminus A$。过 $x$ 的直线有不可数多条，其中只有可数多条与 $A$ 相交。同理对 $y$。故存在过 $x$ 的直线 $l_x$ 和过 $y$ 的直线 $l_y$ 都不交 $A$ 且相交于某点 $z \\notin A$。则折线 $x \\to z \\to y$ 是道路。
习题 3.1 证明：$X$ 连通当且仅当任意连续映射 $f: X \\to \\mathbb{Z}$（离散拓扑）是常值映射。
习题 3.2 设 $A \\subseteq X$ 连通，$A \\subseteq B \\subseteq \\bar{A}$，证明 $B$ 连通。
习题 3.3 证明：积空间 $\\prod X_\\alpha$ 连通当且仅当每个 $X_\\alpha$ 连通。
习题 3.4 设 $f: S^1 \\to \\mathbb{R}$ 连续，证明存在 $x$ 使 $f(x) = f(-x)$。
习题 3.5 证明：拓扑学家的正弦曲线不道路连通。
习题 3.6 证明：$GL(n, \\mathbb{R})$ 有两个道路连通分支（行列式正负）。
习题 3.7 设 $X$ 局部连通，证明：开集的连通分支开，闭集的连通分支闭。
习题 3.8 构造一个连通但不局部连通的例子。
习题 3.9 证明：$\\mathbb{R}^n$ 的连通开集道路连通。
习题 3.10 设 $f: [0,1] \\to [0,1]$ 连续，证明存在不动点。