设 $(X, \\mathcal{T}_X)$ 和 $(Y, \\mathcal{T}_Y)$ 是拓扑空间，$f: X \\to Y$ 是映射。如果对于 $Y$ 中每个开集 $V$，原像 $f^{-1}(V)$ 是 $X$ 中的开集，则称 $f$ 是连续映射（continuous map）。
注：这是连续性最一般的定义，推广了分析中的 $\\epsilon-\\delta$ 定义。
以下条件等价：
(1) $f$ 连续（开集原像开）
(2) 闭集的原像是闭集
(3) 对任意 $A \\subseteq X$，$f(\\bar{A}) \\subseteq \\overline{f(A)}$
(4) 对任意 $x \\in X$ 和 $f(x)$ 的每个邻域 $N$，存在 $x$ 的邻域 $M$ 使得 $f(M) \\subseteq N$
(5) 存在 $Y$ 的拓扑基 $\\mathcal{B}$，使得对所有 $B \\in \\mathcal{B}$，$f^{-1}(B)$ 开
证明：
(1) $\\Leftrightarrow$ (2)：由 $f^{-1}(Y \\setminus V) = X \\setminus f^{-1}(V)$。
(1) $\\Rightarrow$ (3)：设 $x \\in \\bar{A}$，$N$ 是 $f(x)$ 的邻域。则 $f^{-1}(N)$ 是 $x$ 的邻域，故 $f^{-1}(N) \\cap A \\neq \\emptyset$，即 $N \\cap f(A) \\neq \\emptyset$。因此 $f(x) \\in \\overline{f(A)}$。
(3) $\\Rightarrow$ (1)：设 $V$ 开，$A = X \\setminus f^{-1}(V)$。需证 $A$ 闭，即 $\\bar{A} = A$。设 $x \\in \\bar{A}$，则 $f(x) \\in f(\\bar{A}) \\subseteq \\overline{f(A)}$。但 $f(A) \\cap V = \\emptyset$，故 $f(x) \\notin V$，即 $x \\in A$。
(1) $\\Leftrightarrow$ (4)：直接验证。
(1) $\\Leftrightarrow$ (5)：若 $f$ 连续，则对基中元素也连续。反之，任意开集是基元素的并，原像保持并。
若 $f: X \\to Y$ 和 $g: Y \\to Z$ 都连续，则 $g \\circ f: X \\to Z$ 连续。
证明：$(g \\circ f)^{-1}(W) = f^{-1}(g^{-1}(W))$，两次取原像保持开性。
映射 $f: X \\to Y$ 称为同胚（homeomorphism），如果：
(1) $f$ 是双射
(2) $f$ 连续
(3) $f^{-1}$ 连续
等价地，$f$ 是双射且 $V \\subseteq Y$ 开当且仅当 $f^{-1}(V)$ 开。
如果存在 $X$ 到 $Y$ 的同胚，称 $X$ 与 $Y$ 同胚（homeomorphic），记作 $X \\cong Y$。
同胚是等价关系：
(1) 自反性：$X \\cong X$（恒等映射）
(2) 对称性：$X \\cong Y \\Rightarrow Y \\cong X$
(3) 传递性：$X \\cong Y, Y \\cong Z \\Rightarrow X \\cong Z$
证明：直接验证。
$\\mathbb{R} \\cong (0,1)$，通过 $f(x) = \\frac{1}{\\pi}\\arctan(x) + \\frac{1}{2}$ 或其变形。
更简单地，$f(x) = \\frac{x}{1+|x|}$ 是 $\\mathbb{R}$ 到 $(-1,1)$ 的同胚。
$(0,1) \\not\\cong [0,1]$。
证明：假设 $f: [0,1] \\to (0,1)$ 是同胚。则 $f|_{(0,1)}: (0,1) \\to (0,1) \\setminus \\{f(0), f(1)\\}$ 也是同胚。但 $(0,1)$ 连通，$(0,1) \\setminus \\{两点\\}$ 不连通，矛盾。
拓扑空间的一个性质 $P$ 称为拓扑不变量（topological invariant），如果 $X \\cong Y$ 且 $X$ 具有性质 $P$，则 $Y$ 也具有性质 $P$。
等价地，拓扑不变量在同胚下保持不变。
映射 $f: X \\to Y$ 称为：
注：连续、开、闭是三个独立的概念。
若 $f: X \\to Y$ 是双射，则以下等价：
(1) $f$ 是同胚
(2) $f$ 连续且开
(3) $f$ 连续且闭
证明：$f$ 开等价于 $f^{-1}$ 连续（因为 $(f^{-1})^{-1}(U) = f(U)$）。
投影 $\\pi: \\mathbb{R}^2 \\to \\mathbb{R}$，$\\pi(x,y) = x$ 是连续开映射，但不是闭映射（双曲线 $xy=1$ 的像为 $\\mathbb{R} \\setminus \\{0\\}$）。
设 $(X, \\mathcal{T})$ 是拓扑空间，$A \\subseteq X$。则 $$\\mathcal{T}_A = \\{U \\cap A : U \\in \\mathcal{T}\\}$$ 是 $A$ 上的拓扑，称为子空间拓扑（subspace topology）或相对拓扑。
子空间拓扑是使包含映射 $i: A \\hookrightarrow X$ 连续的最粗拓扑。
证明：$i^{-1}(U) = U \\cap A$，故 $i$ 连续要求 $U \\cap A$ 对开 $U$ 都开。
映射 $f: X \\to Y$ 称为嵌入（embedding），如果 $f: X \\to f(X)$（赋子空间拓扑）是同胚。
等价地，$f$ 是连续单射且 $U \\subseteq X$ 开当且仅当 $f(U) = V \\cap f(X)$ 对某开 $V \\subseteq Y$。
$[0,1) \\to \\mathbb{R}^2$，$t \\mapsto (\\cos(2\\pi t), \\sin(2\\pi t))$ 是连续单射但不是嵌入（像非同胚于定义域）。
$f: X \\to Y$ 称为序列连续（sequentially continuous），如果对任意收敛序列 $x_n \\to x$，有 $f(x_n) \\to f(x)$。
连续映射必序列连续。在度量空间中，序列连续等价于连续。
证明：第一部分的证明与数学分析中相同。第二部分：在度量空间中，若 $f$ 不连续于 $x$，则存在 $\\epsilon > 0$ 使得对每个 $n$，存在 $x_n$ 满足 $d(x_n, x) < 1/n$ 但 $d(f(x_n), f(x)) \\geq \\epsilon$。这样 $x_n \\to x$ 但 $f(x_n) \\not\\to f(x)$。
证明：$f: X \\to Y$ 连续当且仅当对所有 $A \\subseteq X$，$f(\\bar{A}) \\subseteq \\overline{f(A)}$。
证明：($\\Rightarrow$) 已证。
($\\Leftarrow$) 设 $F \\subseteq Y$ 闭，令 $A = f^{-1}(F)$。则 $f(\\bar{A}) \\subseteq \\overline{f(A)} \\subseteq \\bar{F} = F$，故 $\\bar{A} \\subseteq f^{-1}(F) = A$，即 $A$ 闭。
证明 $[0,1]$ 与 $S^1 = \\{(x,y) : x^2+y^2=1\\}$ 不同胚。
证明：假设 $f: [0,1] \\to S^1$ 是同胚。取 $f^{-1}1) = a$。则 $f|_{[0,1]\\setminus\\{a\\}}: [0,1]\\setminus\\{a\\} \\to S^1\\setminus\\{(1,0)\\}$ 是同胚。但 $[0,1]\\setminus\\{a\\}$ 不连通（当 $a \\in (0,1)$）或连通（当 $a \\in \\{0,1\\}$），而 $S^1\\setminus\\{一点\\} \\cong \\mathbb{R}$ 连通，矛盾。
证明任何连续双射 $f: [0,1] \\to [0,1]$ 是同胚。
证明：只需证 $f^{-1}$ 连续，即 $f$ 开（或闭）。由于 $[0,1]$ 紧致Hausdorff，$f$ 将闭集映为闭集（紧集的连续像是紧集，紧集在Hausdorff空间中是闭的）。故 $f$ 是闭映射，从而是同胚。
习题 2.1 证明：$f: X \\to Y$ 连续当且仅当对 $Y$ 的某个子基 $\\mathcal{S}$，所有 $f^{-1}(S)$（$S \\in \\mathcal{S}$）都开。
习题 2.2 设 $f: X \\to Y$，$g: Y \\to Z$。若 $g \\circ f$ 连续，能否推出 $f$ 或 $g$ 连续？给出证明或反例。
习题 2.3 证明：$f: X \\to Y$ 是开映射当且仅当对任意 $A \\subseteq X$，$f(A^\\circ) \\subseteq f(A)^\\circ$。
习题 2.4 设 $f: X \\to Y$ 连续，$A \\subseteq X$。证明 $f|_A: A \\to Y$ 连续（$A$ 赋子空间拓扑）。
习题 2.5 证明 $\\mathbb{R}^n$ 与 $\\mathbb{R}^m$ 同胚当且仅当 $n = m$（提示：用代数拓扑工具，或本课程后续内容）。
习题 2.6 设 $f: X \\to Y$ 是同胚，$A \\subseteq X$。证明 $f|_A: A \\to f(A)$ 也是同胚。
习题 2.7 构造一个连续双射但不是同胚的例子。
习题 2.8 证明：包含映射 $i: A \\hookrightarrow X$ 是嵌入。
习题 2.9 设 $\\{f_\\alpha\\}: X \\to Y$ 是一族连续映射，$Y$ 具有积拓扑。证明 $f: X \\to \\prod Y_\\alpha$，$f(x) = (f_\\alpha(x))$ 连续当且仅当每个 $f_\\alpha$ 连续。
习题 2.10 证明：$X$ 是离散空间当且仅当任意映射 $f: X \\to Y$ 都连续。