第八章 度量空间 (Metric Spaces)

设 $X$ 是集合，$d: X \\times X \\to [0, +\\infty)$ 满足：

(1) $d(x,y) = 0 \\Leftrightarrow x = y$（正定性）

(2) $d(x,y) = d(y,x)$（对称性）

(3) $d(x,z) \\leq d(x,y) + d(y,z)$（三角不等式）

则 $(X,d)$ 称为度量空间。

1. $\\mathbb{R}^n$ 上的欧氏度量：$d_2(x,y) = \\sqrt{\\sum (x_i-y_i)^2}$
2. $\\ell^p$ 度量：$d_p(x,y) = (\\sum |x_i-y_i|^p)^{1/p}$
3. $\\ell^\\infty$ 度量：$d_\\infty(x,y) = \\sup |x_i-y_i|$
4. 离散度量：$d(x,y) = 1$ 若 $x \\neq y$，$0$ 若 $x = y$

开球 $B(x, \\epsilon) = \\{y : d(x,y) < \\epsilon\\}$ 构成拓扑基，诱导的拓扑称为度量拓扑。

1. Hausdorff：分离 $x, y$ 用半径 $< d(x,y)/2$ 的球
2. 第一可数：$\\{B(x, 1/n)\\}$ 是邻域基
3. 正规：事实上是完美正规

度量空间是第一可数、正规、完美正规的。

序列 $\\{x_n\\}$ 称为 Cauchy 序列，如果对任意 $\\epsilon > 0$，存在 $N$ 使得 $m, n \\geq N$ 时 $d(x_m, x_n) < \\epsilon$。

度量空间 $(X,d)$ 称为 完备的，如果每个Cauchy序列都收敛。

1. $\\mathbb{R}^n$：完备
2. $\\mathbb{Q}$：不完备
3. $C[0,1]$（上确界范数）：完备（Banach空间）

任意度量空间 $(X,d)$ 都可等距嵌入到一个完备度量空间 $\\tilde{X}$ 中，使得 $X$ 在 $\\tilde{X}$ 中稠密。

构造：$\\tilde{X}$ 为Cauchy序列的等价类，$[(x_n)] \\sim [(y_n)]$ 若 $\\lim d(x_n, y_n) = 0$。

$(X,d)$ 称为 完全有界的，如果对任意 $\\epsilon > 0$，存在有限集 $\\{x_1, \\ldots, x_n\\}$ 使得 $X = \\bigcup B(x_i, \\epsilon)$。

度量空间中：紧致 $\\Leftrightarrow$ 完备且完全有界 $\\Leftrightarrow$ 列紧

证明概要：

1. 紧致 $\\Rightarrow$ 列紧：标准结果
2. 列紧 $\\Rightarrow$ 完全有界：取不存在有限 $\\epsilon$-网序列，无收敛子列
3. 列紧 $\\Rightarrow$ 完备：Cauchy列有收敛子列，故收敛
4. 完备+完全有界 $\\Rightarrow$ 列紧：完全有界允许构造收敛子列

$f: (X,d_X) \\to (Y,d_Y)$ 称为 一致连续，如果对任意 $\\epsilon > 0$，存在 $\\delta > 0$ 使得 $d_X(x,y) < \\delta \\Rightarrow d_Y(f(x), f(y)) < \\epsilon$。

定义域紧致时，连续蕴含一致连续。

证明：同第四章例题。

1. $A \\subseteq X$ 无处稠密：$\\bar{A}^\\circ = \\emptyset$（闭包无内点）
2. $A$ 是第一纲（meager）：可数个无处稠密集的并
3. $A$ 是第二纲：非第一纲

完备度量空间是第二纲的（作为自身的子集）。

等价表述：完备度量空间中，可数个稠密开集的交稠密。

证明：设 $\\{U_n\\}$ 稠密开，$x \\in X$，$\\epsilon > 0$。归纳构造球列：

1. $\\bar{B}_1 \\subseteq B(x, \\epsilon) \\cap U_1$
2. $\\bar{B}_{n+1} \\subseteq B_n \\cap U_{n+1}$，半径 $\\to 0$

中心是Cauchy列，收敛于 $y \\in \\bigcap U_n \\cap B(x, \\epsilon)$。

1. $\\mathbb{R}^n$ 不能写成可数个真闭子空间的并
2. 完备度量空间无孤立点时是不可数的

第二可数的正则空间可度量化。

等价地，第二可数的T3空间可嵌入到Hilbert立方体 $[0,1]^\\mathbb{N}$。

证明概要：利用Urysohn引理构造分离点的连续函数族，嵌入到积空间。

空间可度量化当且仅当它是正则的且具有 $\\sigma$-局部有限基。

证明：$\\mathbb{R}$ 完备。

证明：设 $\\{x_n\\}$ Cauchy。则 $\\{x_n\\}$ 有界（取 $\\epsilon = 1$，则某尾部在有限区间内）。由Bolzano-Weierstrass，有收敛子列。Cauchy列有收敛子列则自身收敛。

证明：$[0,1]$ 不可数（用Baire纲）。

证明：设 $[0,1] = \\{x_1, x_2, \\ldots\\}$。则 $[0,1] = \\bigcup \\{x_n\\}$，每个单点闭且无处稠密（在 $\\mathbb{R}$ 中）。这与Baire纲定理矛盾。

习题 8.1 证明：度量空间正规。

习题 8.2 证明：紧致度量空间可分。

习题 8.3 证明：Cauchy序列有界。

习题 8.4 证明：完备度量空间的闭子集完备。

习题 8.5 证明：$\\mathbb{Q}$ 不完备，并描述其完备化。

习题 8.6 证明：一致连续映射将Cauchy序列映为Cauchy序列。

习题 8.7 证明：$C[0,1]$（上确界范数）完备。

习题 8.8 用Baire纲定理证明：存在处处连续但处处不可微的函数。

习题 8.9 证明：第二可数+正则 $\\Rightarrow$ 可度量化（Urysohn）。

习题 8.10 研究 $\\ell^p$ 空间的性质（$1 \\leq p \\leq \\infty$）。