空间 $X$ 称为 第一可数（first countable），如果对每个 $x \\in X$，存在可数的邻域基。即存在可数族 $\\{U_n\\}_{n=1}^\\infty$ 使得对任意邻域 $N$ 包含 $x$，存在 $n$ 使 $U_n \\subseteq N$。
在第一可数空间中：
(1) $x \\in \\bar{A}$ 当且仅当存在 $A$ 中的序列收敛于 $x$
(2) $f: X \\to Y$ 连续当且仅当序列连续
空间 $X$ 称为 第二可数（second countable），如果它有可数的拓扑基。
第二可数空间必是第一可数、可分、Lindelöf。
证明：
空间 $X$ 称为 可分的（separable），如果存在可数稠密子集 $D$（即 $\\bar{D} = X$）。
第二可数 $\\Rightarrow$ 可分
证明：设 $\\mathcal{B} = \\{B_n\\}$ 可数基。取 $x_n \\in B_n$，则 $\\{x_n\\}$ 稠密。
注：逆命题不成立。存在可分但不第二可数的空间。
空间 $X$ 称为 Lindelöf的，如果每个开覆盖都有可数子覆盖。
第二可数空间是 Lindelöf。
证明：设 $\\mathcal{B} = \\{B_n\\}$ 可数基，$\\mathcal{U}$ 是开覆盖。对每个 $n$，若 $B_n$ 包含于某 $U \\in \\mathcal{U}$，选取一个这样的 $U_n$。则 $\\{U_n\\}$ 可数且覆盖 $X$。
正则的Lindelöf空间是正规空间。
证明：设 $A, B$ 不交闭。对每个 $x \\in A$，由正则性，存在开 $U_x$ 使 $x \\in U_x \\subseteq \\bar{U}_x \\subseteq X \\setminus B$。$\\{U_x\\}$ 覆盖 $A$，Lindelöf 给出可数子覆盖 $\\{U_n\\}$。类似得 $\\{V_n\\}$ 覆盖 $B$。
令 $U'_n = U_n \\setminus \\bigcup_{i=1}^n \\bar{V}_i$，$V'_n = V_n \\setminus \\bigcup_{i=1}^n \\bar{U}_i$。则 $U = \\bigcup U'_n$ 和 $V = \\bigcup V'_n$ 分离 $A, B$。
$$\\text{第二可数} \\Rightarrow \\begin{cases} \\text{第一可数} \\
\\text{可分} \\
\\text{Lindelöf} \\end{cases}$$
各箭头不可逆（需适当反例）。
$\\mathbb{R}$ 上取下极限拓扑：基为 $\\{[a, b) : a < b\\}$。
证明：紧致的度量空间是第二可数。
证明：对每个 $n$，$\\{B(x, 1/n) : x \\in X\\}$ 是开覆盖，取有限子覆盖对应球心 $\\{x_{n,1}, \\ldots, x_{n,k_n}\\}$。则 $\\{B(x_{n,i}, 1/n) : n \\in \\mathbb{N}, 1 \\leq i \\leq k_n\\}$ 是可数基。
验证：设 $U$ 开，$x \\in U$。存在 $\\epsilon > 0$ 使 $B(x, \\epsilon) \\subseteq U$。取 $n$ 使 $2/n < \\epsilon$。则某 $B(x_{n,i}, 1/n)$ 包含 $x$，且 $B(x_{n,i}, 1/n) \\subseteq B(x, 2/n) \\subseteq U$。
证明：可分度量空间是第二可数。
证明：设 $D = \\{d_n\\}$ 可数稠密。则 $\\{B(d_n, 1/m) : n, m \\in \\mathbb{N}\\}$ 是基。
习题 6.1 证明：子空间遗传性：第一可数、第二可数的子空间同性质。
习题 6.2 证明：可分度量空间是第二可数。
习题 6.3 证明：连续开映射保持第一可数性。
习题 6.4 证明：积空间 $\\prod_{i=1}^\\infty X_i$ 第一可数当且仅当每个 $X_i$ 第一可数。
习题 6.5 证明：$[0,1]^I$（$I$ 不可数）不是第一可数。
习题 6.6 证明：Lindelöf 的连续像是 Lindelöf。
习题 6.7 证明：正则的Lindelöf空间是正规的。
习题 6.8 构造一个第一可数但不第二可分的空间。
习题 6.9 证明：紧致Hausdorff空间可度量化当且仅当第二可数。
习题 6.10 研究 Sorgenfrey 平面的性质（$\\mathbb{R}_l \\times \\mathbb{R}_l$）。