第十一章 覆盖空间 (Covering Spaces)

连续满射 $p: \\tilde{X} \\to X$ 称为覆盖映射（covering map），如果对每个 $x \\in X$，存在开邻域 $U$ 使得 $p^{-1}(U)$ 是 $\\tilde{X}$ 中不交开集的并，每个开集被 $p$ 同胚地映到 $U$。

这样的 $U$ 称为均匀覆盖邻域（evenly covered neighborhood）。

1. $p: \\mathbb{R} \\to S^1$，$p(t) = e^{2\\pi i t}$ 是覆叠映射
2. $p_n: S^1 \\to S^1$，$p_n(z) = z^n$ 是 $n$ 叶覆叠
3. 商映射 $S^n \\to \\mathbb{R}P^n$（对径点等同）是2叶覆叠

设 $p: \\tilde{X} \\to X$ 是覆叠映射，$f: Y \\to X$ 连续。映射 $\\tilde{f}: Y \\to \\tilde{X}$ 称为 $f$ 的提升（lifting），如果 $p \\circ \\tilde{f} = f$。

设 $p: \\tilde{X} \\to X$ 是覆叠映射，$\\gamma: [0,1] \\to X$ 是道路，$\\tilde{x}_0 \\in p^{-1}(\\gamma(0))$。则存在唯一的提升 $\\tilde{\\gamma}: [0,1] \\to \\tilde{X}$ 使得 $\\tilde{\\gamma}(0) = \\tilde{x}_0$。

证明概要：用 $[0,1]$ 的紧致性，将道路分成小段，每段在均匀覆盖邻域中，逐段提升。

设 $p: \\tilde{X} \\to X$ 是覆叠映射，$H: [0,1] \\times [0,1] \\to X$ 是同伦，$\\tilde{x}_0 \\in p^{-1}(H(0,0))$。则存在唯一的提升 $\\tilde{H}$ 使得 $\\tilde{H}(0,0) = \\tilde{x}_0$。

覆叠映射 $p: \\tilde{X} \\to X$ 的覆叠变换（deck transformation）是满足 $p \\circ \\phi = p$ 的同胚 $\\phi: \\tilde{X} \\to \\tilde{X}$。

所有覆叠变换构成群 $\\text{Deck}(\\tilde{X}/X)$ 或 $\\text{Aut}(\\tilde{X}/X)$。

设 $X$ 道路连通、局部道路连通、半局部单连通。则：

$X$ 的连通覆叠空间（同构类）$\\leftrightarrow$ $\\pi_1(X, x_0)$ 的子群（共轭类）

具体对应：$p: \\tilde{X} \\to X$ 对应 $p_*(\\pi_1(\\tilde{X}, \\tilde{x}_0)) \\subseteq \\pi_1(X, x_0)$。

1. 万有覆叠（universal covering）对应平凡子群 $\\{e\\}$
2. 万有覆叠是单连通的，且是任何其他连通覆叠的覆叠

覆叠 $p: \\tilde{X} \\to X$ 称为万有覆叠，如果 $\\tilde{X}$ 单连通。

1. $\\mathbb{R} \\to S^1$ 是 $S^1$ 的万有覆叠
2. $S^n \\to \\mathbb{R}P^n$（$n \\geq 2$）是万有覆叠
3. 高亏格曲面的万有覆叠是双曲平面（Poincaré圆盘）

若 $X$ 道路连通、局部道路连通、半局部单连通，则 $X$ 有万有覆叠。

设 $p: \\tilde{X} \\to X$ 是覆叠映射，$\\tilde{x}_0 \\in \\tilde{X}$，$x_0 = p(\\tilde{x}_0)$。则：

(1) $p_*: \\pi_1(\\tilde{X}, \\tilde{x}_0) \\to \\pi_1(X, x_0)$ 是单射

(2) $p_*(\\pi_1(\\tilde{X}, \\tilde{x}_0))$ 对应于保持 $\\tilde{x}_0$ 不动的回路

(3) $[\\pi_1(X, x_0) : p_*(\\pi_1(\\tilde{X}, \\tilde{x}_0))]$ = 覆叠的叶数

确定 $S^1 \\vee S^1$ 的所有连通2叶覆叠。

解答：$\\pi_1(S^1 \\vee S^1) = \\mathbb{Z} * \\mathbb{Z} = \\langle a, b \\rangle$。2叶子群对应于指数2的子群。由群论，指数2的子群是正规的，商群是 $\\mathbb{Z}/2$。

这样的子群由 $a^2, b^2, aba^{-1}b^{-1}$ 等生成。具体构造：

1. 两个圆周，各覆叠2次：8字形覆叠8字形
2. 一个圆周覆叠2次，另一个保持：8字形覆叠另一形状

证明 $\\pi_1(S^1) \\cong \\mathbb{Z}$。

证明：用覆叠 $p: \\mathbb{R} \\to S^1$。$\\pi_1(\\mathbb{R}) = 0$，故 $p_*$ 是单射。

回路 $\\gamma_n(t) = e^{2\\pi i n t}$（绕 $n$ 次）提升为从0到 $n$ 的道路。不同 $n$ 给出不同同伦类，故 $\\pi_1(S^1) \\cong \\mathbb{Z}$。

习题 11.1 证明道路提升的唯一性。

习题 11.2 证明覆叠映射是开映射。

习题 11.3 构造 $S^1 \\vee S^1$ 的所有3叶覆叠。

习题 11.4 证明：$p: \\tilde{X} \\to X$ 是覆叠，$\\tilde{X}$ 道路连通，则叶数处处相同。

习题 11.5 证明：若 $X$ 有万有覆叠，则 $\\pi_1(X)$ 在 $p^{-1}(x_0)$ 上的作用是传递的。

习题 11.6 计算 $\\pi_1(\\mathbb{R}P^n)$（$n \\geq 2$）。

习题 11.7 证明：连通覆叠的自同构群作用在纤维上是自由的。

习题 11.8 研究透镜空间的覆叠结构。

习题 11.9 证明：紧致流形的万有覆叠非紧致（除非原空间有限）。

习题 11.10 用覆叠理论证明代数基本定理。