设 $S_n(X)$ 是奇异链群。上链群 $S^n(X; G) = \\text{Hom}(S_n(X), G)$，即同态 $\\varphi: S_n(X) \\to G$。
上边缘算子 $\\delta^n: S^n(X) \\to S^{n+1}(X)$： $$(\\delta \\varphi)(\\sigma) = \\varphi(\\partial \\sigma)$$
即 $\\delta = \\partial^*$（对偶）。
$\\delta \\circ \\delta = 0$
证明：$\\delta^2 = (\\partial^*)^2 = (\\partial^2)^* = 0$。
$$H^n(X; G) = \\ker(\\delta^n) / \\text{im}(\\delta^{n-1})$$
$$0 \\to \\text{Ext}(H_{n-1}(X), G) \\to H^n(X; G) \\to \\text{Hom}(H_n(X), G) \\to 0$$
对 $\\varphi \\in S^p(X)$，$\\psi \\in S^q(X)$，定义杯积 $\\varphi \\smile \\psi \\in S^{p+q}(X)$： $$(\\varphi \\smile \\psi)(\\sigma) = \\varphi(\\sigma|_{[v_0, \\ldots, v_p]}) \\cdot \\psi(\\sigma|_{[v_p, \\ldots, v_{p+q}]})$$
杯积诱导 $H^p(X) \\otimes H^q(X) \\to H^{p+q}(X)$，使 $H^*(X)$ 成为分次环。
$$[\\alpha] \\smile [\\beta] = (-1)^{pq} [\\beta] \\smile [\\alpha]$$
$H^*(S^n) = \\mathbb{Z}[x]/(x^2)$，$|x| = n$。
$H^*(\\mathbb{C}P^n) = \\mathbb{Z}[y]/(y^{n+1})$，$|y| = 2$。
设 $M$ 是 $n$ 维闭可定向流形。则： $$H^k(M) \\cong H_{n-k}(M)$$
习题 17.1 验证 $\\delta^2 = 0$。
习题 17.2 计算 $H^*(S^1 \\vee S^1)$。
习题 17.3 证明杯积的分次交换性。
习题 17.4 计算 $H^*(T^2)$。
习题 17.5 证明Poincaré对偶蕴含欧拉示性数为零（奇数维可定向流形）。
习题 17.6 研究 $\\mathbb{R}P^n$ 的上同调环。
习题 17.7 计算 $H^*(S^p \\times S^q)$。
习题 17.8 证明杯积可检测映射度。
习题 17.9 研究Leray-Hirsch定理。
习题 17.10 计算 $\\mathbb{C}P^n$ 和 $\\mathbb{H}P^n$ 的上同调环。