第十章 基本群 (The Fundamental Group)

设 $\\gamma, \\delta: [0,1] \\to X$ 是道路，且 $\\gamma(1) = \\delta(0)$。定义连接（concatenation）$\\gamma * \\delta$： $$(\\gamma * \\delta)(t) = \\begin{cases} \\gamma(2t) & 0 \\leq t \\leq 1/2 \\
\\delta(2t-1) & 1/2 \\leq t \\leq 1 \\end{cases}$$

道路 $\\gamma, \\delta$ 从 $x_0$ 到 $x_1$ 称为道路同伦，记作 $\\gamma \\simeq_p \\delta$，如果存在同伦 $H: [0,1] \\times [0,1] \\to X$ 使得：

1. $H(s, 0) = \\gamma(s)$，$H(s, 1) = \\delta(s)$
2. $H(0, t) = x_0$，$H(1, t) = x_1$（端点固定）

道路同伦是等价关系。$\\gamma$ 的等价类记作 $[\\gamma]$。

道路 $\\gamma: [0,1] \\to X$ 称为回路（loop），如果 $\\gamma(0) = \\gamma(1) = x_0$。$x_0$ 称为基点（basepoint）。

设 $x_0 \\in X$。在基点 $x_0$ 的基本群 $\\pi_1(X, x_0)$ 定义为回路道路同伦类的集合，运算为： $$[\\gamma] \\cdot [\\delta] = [\\gamma * \\delta]$$

$(\\pi_1(X, x_0), \\cdot)$ 是群。

证明：

1. 结合律：$([\\gamma][\\delta])[\\sigma] = [\\gamma]([\\delta][\\sigma])$（构造同伦）
2. 单位元：常值回路 $\\epsilon_{x_0}(t) = x_0$，$[\\epsilon_{x_0}][\\gamma] = [\\gamma][\\epsilon_{x_0}] = [\\gamma]$
3. 逆元：$\\gamma^{-1}(t) = \\gamma(1-t)$，$[\\gamma][\\gamma^{-1}] = [\\epsilon_{x_0}]$

设 $\\alpha$ 是从 $x_0$ 到 $x_1$ 的道路。定义 $$\\beta_\\alpha: \\pi_1(X, x_0) \\to \\pi_1(X, x_1), \\quad \\beta_\\alpha([\\gamma]) = [\\alpha^{-1} * \\gamma * \\alpha]$$

则 $\\beta_\\alpha$ 是群同构。

推论：道路连通空间的基本群与基点选取无关（同构意义下），可记作 $\\pi_1(X)$。

道路连通空间 $X$ 称为单连通的（simply connected），如果 $\\pi_1(X) = 0$（平凡群）。

设 $f: X \\to Y$ 连续，$f(x_0) = y_0$。定义 $$f_*: \\pi_1(X, x_0) \\to \\pi_1(Y, y_0), \\quad f_*([\\gamma]) = [f \\circ \\gamma]$$

$f_*$ 是群同态，且：

(1) $(\\text{id}_X)_* = \\text{id}_{\\pi_1(X, x_0)}$

(2) $(g \\circ f)_* = g_* \\circ f_*$

(3) 若 $f \\simeq g \\text{ rel } \\{x_0\\}$，则 $f_* = g_*$

同伦等价的空间有同构的基本群。

$\\pi_1(\\mathbb{R}^n) = 0$（可缩空间基本群平凡）。

$\\pi_1(S^1) \\cong \\mathbb{Z}$。

证明概要：覆叠映射 $p: \\mathbb{R} \\to S^1$，$p(t) = e^{2\\pi i t}$。回路提升为 $\\mathbb{R}$ 中从 $0$ 到 $n$ 的道路，$n$ 对应绕数。

$\\pi_1(X \\times Y, (x_0, y_0)) \\cong \\pi_1(X, x_0) \\times \\pi_1(Y, y_0)$。

$\\pi_1(T^n) \\cong \\mathbb{Z}^n$（$n$ 维环面）。

证明 $\\pi_1(S^n) = 0$ 对 $n \\geq 2$。

证明：回路可形变为不经过某点（若“一般位置”），故可视为 $\\mathbb{R}^n$ 中的回路，可缩为一点。

计算 $\\pi_1(S^1 \\vee S^1)$。

解答：由van Kampen定理，$\\pi_1(S^1 \\vee S^1) \\cong \\mathbb{Z} * \\mathbb{Z}$（两个无限循环群的自由积）。

习题 10.1 证明基本群良定义（道路同伦类的乘积良定义）。

习题 10.2 证明：$f \\simeq g: X \\to Y$ 且 $H$ 是基点间的道路同伦，则 $f_*$ 与 $g_*$ 通过共轭相关。

习题 10.3 计算 $\\pi_1(\\mathbb{R}^n \\setminus \\{0\\})$。

习题 10.4 证明：$X$ 单连通当且仅当任意两道路同伦当且仅当任意回路同伦于常值回路。

习题 10.5 证明 $S^1$ 不是 $D^2$ 的收缩核（用基本群）。

习题 10.6 计算 $\\pi_1(\\mathbb{R}P^2)$。

习题 10.7 证明：覆叠映射诱导单射的基本群同态。

习题 10.8 设 $X$ 是拓扑群，证明 $\\pi_1(X, e)$ 是交换群。

习题 10.9 研究 Möbius 带的基本群。

习题 10.10 证明 Brouwer 不动点定理：$f: D^2 \\to D^2$ 连续则有不动点。