数值分析

数值分析（Numerical Analysis）是研究用计算机求解数学问题的数值近似方法的科学。它是数学与计算机科学的交叉学科，在科学计算、工程技术、经济管理等领域有着广泛的应用。

本课程系统地介绍数值计算的基本理论、基本方法以及误差分析，使学生掌握常用的数值算法，具备分析算法收敛性和稳定性的能力，为后续专业课程学习和科学研究奠定基础。

1. 掌握数值计算的基本概念和误差分析方法
2. 熟练掌握插值、逼近、数值微积分等基本方法
3. 掌握线性方程组和非线性方程的数值解法
4. 理解常微分方程的数值解法及其稳定性分析
5. 具备编制数值计算程序和分析算法性能的能力

本课程共分为四大部分，十六章内容：

1. 第一章 插值法 - Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、分段插值
2. 第二章 样条插值 - 三次样条、B样条、样条逼近
3. 第三章 最佳逼近 - 范数、最佳一致逼近、最佳平方逼近
4. 第四章 正交多项式 - Legendre多项式、Chebyshev多项式、正交展开
5. 第五章 曲线拟合的最小二乘法 - 线性拟合、多项式拟合、非线性拟合

1. 第六章 数值积分 - Newton-Cotes公式、复化求积、Romberg积分、Gauss求积
2. 第七章 数值微分 - 差分公式、外推法、Richardson外推

1. 第八章 直接法 - Gauss消去、LU分解、Cholesky分解、追赶法
2. 第九章 迭代法 - Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代、SOR迭代、收敛性
3. 第十章 共轭梯度法 - 最速下降法、共轭梯度法、预处理

1. 第十一章 非线性方程求解 - 二分法、Newton法、割线法、迭代法
2. 第十二章 非线性方程组 - Newton迭代法、拟Newton法
3. 第十三章 矩阵特征值计算 - 幂法、反幂法、QR方法

1. 第十四章 Euler方法 - 显式Euler、隐式Euler、梯形法
2. 第十五章 Runge-Kutta方法 - 二阶、四阶RK方法、稳定性分析
3. 第十六章 线性多步法 - Adams方法、稳定性、收敛性

学习本课程需要具备以下数学基础：

1. 数学分析：极限、连续、微分、积分、级数
2. 线性代数：矩阵运算、行列式、特征值、向量空间
3. 常微分方程：基本概念和解法
4. 编程基础：至少掌握一种编程语言（如Python、MATLAB、C++等）

1. 李庆扬, 王能超, 易大义. 数值分析（第5版）. 清华大学出版社, 2008. 2. 关治, 陆金甫. 数值分析基础. 高等教育出版社, 1998. 3. Burden R L, Faires J D. Numerical Analysis (9th Edition). Cengage Learning, 2011. 4. Quarteroni A, Sacco R, Saleri F. Numerical Mathematics. Springer, 2007. 5. Stoer J, Bulirsch R. Introduction to Numerical Analysis. Springer, 2002.

1. 理论联系实际：既要理解算法的数学原理，又要通过编程实践加深理解 2. 重视误差分析：理解截断误差和舍入误差的来源及其影响 3. 比较不同方法：掌握各种算法的适用范围和优缺点 4. 多做习题：通过练习巩固所学知识

1. 数学基础
2. 科学计算
3. MATLAB教程
4. Python科学计算

最后更新: 2025年