定义 4.1（正交多项式） 设 $[a, b]$ 是有限或无限区间，$\rho(x)$ 是定义在 $[a, b]$ 上的权函数（$\rho(x) \geq 0$ 且不恒为零），若多项式序列 $\{g_n(x)\}_{n=0}^{\infty}$ 满足：
$$(g_m, g_n)_\rho = \int_a^b \rho(x) g_m(x) g_n(x) dx = \begin{cases} 0, & m \neq n
\gamma_n > 0, & m = n \end{cases}$$
则称 $\{g_n(x)\}$ 为关于权函数 $\rho(x)$ 的 正交多项式系，$g_n(x)$ 称为 $n$ 次正交多项式。
性质 4.1（线性无关性） 正交多项式系 $\{g_n(x)\}$ 中任意有限个多项式线性无关。
性质 4.2（完备性） 任何次数不超过 $n$ 的多项式 $P_n(x)$ 均可表示为 $g_0(x), g_1(x), \ldots, g_n(x)$ 的线性组合。
性质 4.3（零点性质） $n$ 次正交多项式 $g_n(x)$（$n \geq 1$）在 $(a, b)$ 内有 $n$ 个互异实零点。
性质 4.4（递推关系） 正交多项式满足三项递推公式： $$g_{n+1}(x) = (\alpha_n x + \beta_n) g_n(x) + \gamma_n g_{n-1}(x), \quad n = 1, 2, \ldots$$
其中： $$\alpha_n = \frac{a_{n+1}}{a_n}, \quad \beta_n = -\alpha_n \frac{(xg_n, g_n)}{(g_n, g_n)}, \quad \gamma_n = -\frac{a_{n+1} a_{n-1}}{a_n^2} \frac{(g_n, g_n)}{(g_{n-1}, g_{n-1})}$$
$a_n$ 是 $g_n(x)$ 的首项系数。
Legendre多项式是区间 $[-1, 1]$ 上关于权函数 $\rho(x) = 1$ 的正交多项式。
定义 4.2（Legendre多项式） $$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} (x^2 - 1)^n, \quad n = 0, 1, 2, \ldots$$
这就是 Rodrigues公式。
前几项Legendre多项式：
$$\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x) dx = \begin{cases} 0, & m \neq n
\frac{2}{2n+1}, & m = n \end{cases}$$
$$(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x), \quad n = 1, 2, \ldots$$
$$P_n(-x) = (-1)^n P_n(x)$$
即 $P_n(x)$ 当 $n$ 为偶数时是偶函数，$n$ 为奇数时是奇函数。
$P_n(x)$ 的 $n$ 个零点都在 $(-1, 1)$ 内，关于原点对称分布。
$P_n(x)$ 的首项系数为： $$a_n = \frac{(2n)!}{2^n (n!)^2} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{n!}$$
首项系数为1的Legendre多项式： $$\tilde{P}_n(x) = \frac{n!}{(2n)!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$$
是所有首项系数为1的 $n$ 次多项式中与零的平方偏差最小者。
Chebyshev多项式是区间 $[-1, 1]$ 上关于权函数 $\rho(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 的正交多项式。
定义 4.3（Chebyshev多项式） $$T_n(x) = \cos(n \arccos x), \quad x \in [-1, 1], \quad n = 0, 1, 2, \ldots$$
由定义，利用三角恒等式：
一般表达式： $$T_n(x) = \frac{n}{2} \sum_{k=0}^{[n/2]} (-1)^k \frac{(n-k-1)!}{k!(n-2k)!} (2x)^{n-2k}$$
$$T_{n+1}(x) = 2x T_n(x) - T_{n-1}(x), \quad n = 1, 2, \ldots$$
$$\int_{-1}^{1} \frac{T_m(x) T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx = \begin{cases} 0, & m \neq n
\pi, & m = n = 0
\frac{\pi}{2}, & m = n \neq 0 \end{cases}$$
零点：$T_n(x)$ 在 $(-1, 1)$ 内有 $n$ 个零点： $$x_k = \cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right), \quad k = 1, 2, \ldots, n$$
极值点： $$x'_k = \cos\left(\frac{k\pi}{n}\right), \quad k = 0, 1, \ldots, n$$
在这些点上，$T_n(x'_k) = (-1)^k$。
定理 4.1 在所有首项系数为1的 $n$ 次多项式中，$\tilde{T}_n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} T_n(x)$ 在 $[-1, 1]$ 上与零的偏差最小，且： $$\max_{-1 \leq x \leq 1} |\tilde{T}_n(x)| = \frac{1}{2^{n-1}}$$
这是Chebyshev多项式在逼近论中最重要的性质。
为减小Runge现象和插值误差，应选择Chebyshev点作为插值节点： $$x_k = \cos\left(\frac{2k+1}{2n+2}\pi\right), \quad k = 0, 1, \ldots, n$$
此时 $|\omega_{n+1}(x)|$ 在 $[-1, 1]$ 上的最大值最小。
区间：$[0, +\infty)$，权函数：$\rho(x) = e^{-x}$
$$L_n(x) = e^x \frac{d^n}{dx^n}(x^n e^{-x})$$
正交性：
$$\int_0^{+\infty} e^{-x} L_m(x) L_n(x) dx = \begin{cases} 0, & m \neq n
(n!)^2, & m = n \end{cases}$$
区间：$(-\infty, +\infty)$，权函数：$\rho(x) = e^{-x^2}$
$$H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})$$
前几项：
正交性：
$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} H_m(x) H_n(x) dx = \begin{cases} 0, & m \neq n
2^n n! \sqrt{\pi}, & m = n \end{cases}$$
递推关系： $$H_{n+1}(x) = 2x H_n(x) - 2n H_{n-1}(x)$$
设 $\{g_n(x)\}$ 是关于权函数 $\rho(x)$ 的正交多项式系，$f(x) \in C[a, b]$，则 $f(x)$ 可展开为： $$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} c_k g_k(x)$$
其中Fourier系数： $$c_k = \frac{(f, g_k)_\rho}{(g_k, g_k)_\rho} = \frac{\int_a^b \rho(x) f(x) g_k(x) dx}{\int_a^b \rho(x) [g_k(x)]^2 dx}$$
$n$ 次部分和： $$S_n(x) = \sum_{k=0}^{n} c_k g_k(x)$$
正是 $f(x)$ 在 $\text{span}\{g_0, \ldots, g_n\}$ 中的最佳平方逼近。
例题 4.1 将 $f(x) = x^3$ 用Legendre多项式展开。
解：设 $x^3 = c_0 P_0(x) + c_1 P_1(x) + c_2 P_2(x) + c_3 P_3(x)$。
由于 $x^3$ 是奇函数，$c_0 = c_2 = 0$。
由 $P_1(x) = x$，$P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x)$：
$x = c_1 x + c_3 \cdot \frac{1}{2}(5x^3 - 3x)$
比较系数：
因此： $$x^3 = \frac{3}{5}P_1(x) + \frac{2}{5}P_3(x)$$
验证：$\frac{3}{5}x + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2}(5x^3 - 3x) = \frac{3}{5}x + x^3 - \frac{3}{5}x = x^3$ ✓
例题 4.2 证明 $T_n(x)$ 满足微分方程：$(1-x^2)y - xy' + n^2 y = 0$。
证明：令 $x = \cos\theta$，$T_n(x) = \cos(n\theta)$。
$\frac{dT_n}{dx} = \frac{dT_n}{d\theta} \cdot \frac{d\theta}{dx} = -n\sin(n\theta) \cdot \left(-\frac{1}{\sin\theta}\right) = \frac{n\sin(n\theta)}{\sin\theta}$
$\frac{d^2T_n}{dx^2} = \frac{d}{d\theta}\left(\frac{n\sin(n\theta)}{\sin\theta}\right) \cdot \frac{d\theta}{dx} = \frac{n^2\cos(n\theta)\sin\theta - n\sin(n\theta)\cos\theta}{\sin^2\theta} \cdot \left(-\frac{1}{\sin\theta}\right)$
$= -\frac{n^2\cos(n\theta)\sin\theta - n\sin(n\theta)\cos\theta}{\sin^3\theta}$
代入方程左边：
$$(1-\cos^2\theta)y - \cos\theta \cdot y' + n^2 y$$
$$= \sin^2\theta \cdot \left(-\frac{n^2\cos(n\theta)\sin\theta - n\sin(n\theta)\cos\theta}{\sin^3\theta}\right) - \cos\theta \cdot \frac{n\sin(n\theta)}{\sin\theta} + n^2\cos(n\theta)$$
$$= -\frac{n^2\cos(n\theta)\sin\theta - n\sin(n\theta)\cos\theta}{\sin\theta} - \frac{n\sin(n\theta)\cos\theta}{\sin\theta} + n^2\cos(n\theta)$$
$$= -n^2\cos(n\theta) + \frac{n\sin(n\theta)\cos\theta}{\sin\theta} - \frac{n\sin(n\theta)\cos\theta}{\sin\theta} + n^2\cos(n\theta) = 0$$
证毕。
基础练习
1. 利用Rodrigues公式计算 $P_2(x)$ 和 $P_3(x)$。
2. 证明Legendre多项式的正交性：$\int_{-1}^1 P_m(x)P_n(x)dx = 0$（$m \neq n$）。
3. 用递推公式计算 $T_6(x)$。
4. 求 $T_4(x)$ 的所有零点。
进阶练习
5. 证明Legendre多项式满足递推关系：$(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x)$。
6. 证明：$\int_{-1}^1 x^n P_n(x) dx = \frac{2^{n+1}(n!)^2}{(2n+1)!}$。
7. 设 $x_0, x_1, \ldots, x_n$ 是 $T_{n+1}(x)$ 的零点，证明：$\sum_{k=0}^n T_m(x_k) = 0$（$1 \leq m \leq n$）。
编程实践
8. 编写程序生成前 $n$ 项Legendre多项式。
9. 用Python的numpy.polynomial.legendre进行函数展开实验。
1. 李庆扬等. 数值分析（第5版）. 清华大学出版社, 2008. 2. Szegő G. Orthogonal Polynomials. AMS, 1939.