前面介绍的检验方法大多假设总体服从正态分布，这类方法称为参数检验。当总体分布未知或不满足正态假设时，需要使用非参数检验（Nonparametric Test）或分布自由检验（Distribution-free Test）。
非参数检验的特点：
目的：检验观测数据是否来自某个特定的理论分布。
基本思想：将数据分组，比较各组的观测频数与理论频数的差异。
检验步骤：
1. 将数据分成 $k$ 个互不相交的组
2. 计算每组的观测频数 $O_i$（$i = 1, 2, \\ldots, k$）
3. 计算每组的理论频数 $E_i = np_i$，其中 $p_i$ 是第 $i$ 组的理论概率
4. 计算检验统计量：
$$\\chi^2 = \\sum_{i=1}^{k}\\frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$$
5. 若 $H_0$ 成立，当 $n \\to \\infty$ 时，$\\chi^2 \\sim \\chi^2(k-r-1)$，其中 $r$ 是估计的参数个数
6. 拒绝域：$\\chi^2 \\geq \\chi^2_{\\alpha}(k-r-1)$
使用条件：一般要求 $E_i \\geq 5$（或至少 $E_i \\geq 1$ 且不超过20%的组 $E_i < 5$）。
例 8.1：掷一枚骰子60次，得到各点出现的次数为：
| 点数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| — | — | — | — | — | — | — |
| 频数 | 8 | 12 | 9 | 11 | 7 | 13 |
检验该骰子是否均匀（$\\alpha = 0.05$）。
解：
$H_0$：骰子均匀（各点出现概率均为1/6）
理论频数：$E_i = 60 \\times 1/6 = 10$（$i = 1, 2, \\ldots, 6$）
$$\\chi^2 = \\frac{(8-10)^2}{10} + \\frac{(12-10)^2}{10} + \\cdots + \\frac{(13-10)^2}{10} = \\frac{4+4+1+1+9+9}{10} = 2.8$$
$\\chi^2_{0.05}(5) = 11.070$
因为 $2.8 < 11.070$，不拒绝 $H_0$。
结论：没有证据表明骰子不均匀。
可用$\\chi^2$检验检验数据是否来自正态分布。
步骤：
1. 用样本估计 $\\mu$ 和 $\\sigma$ 2. 将数据分组 3. 计算各组的理论概率（基于正态分布） 4. 计算 $\\chi^2$ 统计量 5. 自由度为 $k - 2 - 1 = k - 3$（估计了2个参数）
K-S检验是比较经验分布函数与理论分布函数的差别。
检验统计量： $$D_n = \\sup_{x}|F_n(x) - F_0(x)|$$
其中 $F_n(x)$ 是经验分布函数，$F_0(x)$ 是理论分布函数。
拒绝域：$D_n \\geq D_{n,\\alpha}$
K-S检验的优点：
列联表用于分析两个分类变量是否独立。
$r \\times c$ 列联表：
| $B_1$ | $B_2$ | $\\cdots$ | $B_c$ | 合计 | |
| — | — | — | — | — | — |
| $A_1$ | $O_{11}$ | $O_{12}$ | $\\cdots$ | $O_{1c}$ | $O_{1\\cdot}$ |
| $A_2$ | $O_{21}$ | $O_{22}$ | $\\cdots$ | $O_{2c}$ | $O_{2\\cdot}$ |
| $\\vdots$ | $\\vdots$ | $\\vdots$ | $\\ddots$ | $\\vdots$ | $\\vdots$ |
| $A_r$ | $O_{r1}$ | $O_{r2}$ | $\\cdots$ | $O_{rc}$ | $O_{r\\cdot}$ |
| 合计 | $O_{\\cdot 1}$ | $O_{\\cdot 2}$ | $\\cdots$ | $O_{\\cdot c}$ | $n$ |
假设：
理论频数： $$E_{ij} = \\frac{O_{i\\cdot} \\cdot O_{\\cdot j}}{n}$$
检验统计量： $$\\chi^2 = \\sum_{i=1}^{r}\\sum_{j=1}^{c}\\frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}} \\sim \\chi^21)$$
拒绝域：$\\chi^2 \\geq \\chi^2_{\\alpha}2)$
例 8.2：调查200人对某政策的看法，按性别分类：
| 支持 | 反对 | 中立 | 合计 | |
| — | — | — | — | — |
| 男性 | 45 | 35 | 20 | 100 |
| 女性 | 55 | 25 | 20 | 100 |
| 合计 | 100 | 60 | 40 | 200 |
检验性别与态度是否独立（$\\alpha = 0.05$）。
解：
理论频数：
| 支持 | 反对 | 中立 | |
| — | — | — | — |
| 男性 | 50 | 30 | 20 |
| 女性 | 50 | 30 | 20 |
$$\\chi^2 = \\frac{(45-50)^2}{50} + \\frac{(35-30)^2}{30} + \\cdots + \\frac{(20-20)^2}{20} = 0.5 + 0.833 + 0 + 0.5 + 0.833 + 0 = 2.667$$
$\\chi^2_{0.05}(2) = 5.991$
因为 $2.667 < 5.991$，不拒绝 $H_0$。
结论：性别与态度无显著关联。
符号检验是最简单的非参数检验，用于检验中位数或比较两个相关样本。
检验中位数：设 $H_0: m_e = m_0$ vs $H_1: m_e \\neq m_0$
检验统计量：计算大于 $m_0$ 的个数 $S^+$ 和小于 $m_0$ 的个数 $S^-$（去掉等于 $m_0$ 的）。
在 $H_0$ 下，$S^+ \\sim B(n, 0.5)$。
用于成对数据的比较，只看差值的符号。
步骤：
1. 计算每对数据的差值 $D_i = X_i - Y_i$ 2. 去掉 $D_i = 0$ 的配对 3. 计算正号的个数 $S^+$ 和负号的个数 $S^-$ 4. 取 $S = \\min(S^+, S^-)$ 作为检验统计量 5. 查符号检验表或用大样本近似
符号检验只利用了差值的符号，Wilcoxon符号秩检验还利用了差值的大小信息（通过秩次）。
检验步骤：
1. 计算差值 $D_i = X_i - Y_i$，去掉 $D_i = 0$ 2. 按 $|D_i|$ 从小到大排序，给出秩次 3. 分别计算正差值的秩和 $W^+$ 和负差值的秩和 $W^-$ 4. 取 $W = \\min(W^+, W^-)$ 作为检验统计量 5. 查Wilcoxon符号秩检验表
大样本近似（$n > 20$）：
$$Z = \\frac{W - n(n+1)/4}{\\sqrt{n(n+1)(2n+1)/24}} \\approx N(0, 1)$$
Mann-Whitney U检验（也称Wilcoxon秩和检验）用于比较两个独立样本的位置参数。
检验步骤：
1. 将两样本合并，按大小排序，给出秩次
2. 计算第一组样本的秩和 $W_1$
3. 计算U统计量：
$$U_1 = n_1n_2 + \\frac{n_1(n_1+1)}{2} - W_1$$
$$U_2 = n_1n_2 + \\frac{n_2(n_2+1)}{2} - W_2 = n_1n_2 - U_1$$
4. 取 $U = \\min(U_1, U_2)$ 作为检验统计量
大样本近似（$n_1, n_2 > 10$）：
$$Z = \\frac{U - n_1n_2/2}{\\sqrt{n_1n_2(n_1+n_2+1)/12}} \\approx N(0, 1)$$
Kruskal-Wallis检验是单因素方差分析的非参数替代，用于比较多个独立样本。
检验统计量： $$H = \\frac{12}{N(N+1)}\\sum_{i=1}^{k}\\frac{R_i^2}{n_i} - 3(N+1)$$
其中 $N = \\sum n_i$，$R_i$ 是第 $i$ 组的秩和。
在 $H_0$ 下，当样本量较大时，$H \\sim \\chi^2(k-1)$。
1. 某工厂声称其产品合格率至少为95%。随机抽取200件产品，发现10件不合格。用符号检验的思想检验该说法（$\\alpha = 0.05$）。
2. 掷一枚硬币100次，得到正面45次，反面55次。检验硬币是否均匀（$\\alpha = 0.05$）。
3. 用Wilcoxon符号秩检验分析例7.5的数据，比较与成对t检验的结论。
4. 证明：在独立性检验中，若 $r = c = 2$（$2 \\times 2$列联表），检验统计量可简化为：
$$\\chi^2 = \\frac{n(O_{11}O_{22} - O_{12}O_{21})^2}{O_{1\\cdot}O_{2\\cdot}O_{\\cdot 1}O_{\\cdot 2}}$$
5. 比较Kolmogorov-Smirnov检验和$\\chi^2$拟合优度检验的优缺点。
6. 某医院记录了不同血型患者对某种药物的反应：
| 血型 | 有效 | 无效 | 合计 | |---|---|---|---| | A型 | 45 | 15 | 60 | | B型 | 30 | 20 | 50 | | O型 | 55 | 25 | 80 | | AB型 | 20 | 10 | 30 | 检验血型与药效是否独立（$\\alpha = 0.05$）。
7. 为比较三种教学方法的效果，将30名学生随机分成三组，每组10人，教学后的测试成绩如下：
方法A：78, 82, 75, 88, 90, 85, 79, 83, 87, 81 方法B：72, 75, 70, 78, 80, 76, 74, 77, 79, 73 方法C：85, 88, 82, 90, 92, 87, 86, 89, 91, 84 (a) 用Kruskal-Wallis检验比较三种方法； (b) 如果数据满足正态假设，用单因素方差分析比较结果。
本章介绍了常用的非参数检验方法：
非参数检验适用范围广，稳健性好，是参数检验的重要补充。