第六章 假设检验的基本概念

假设检验是统计推断的另一重要内容。与参数估计不同，假设检验是对总体分布或参数提出某种假设，然后利用样本信息判断该假设是否成立。

例：某工厂生产的零件标准长度为10cm。现随机抽取一批零件，测得平均长度为10.2cm。问：该批零件的平均长度是否仍为10cm？

定义 6.1（统计假设）：关于总体分布或总体参数的假设称为统计假设（Statistical Hypothesis）。

假设分为：

• 原假设（Null Hypothesis）：记为 $H_0$，通常表示“无差异”、“无效应”、“现状不变”
• 备择假设（Alternative Hypothesis）：记为 $H_1$ 或 $H_a$，表示与原假设对立的假设

假设检验的一般步骤：

1. **提出假设**：明确原假设 $H_0$ 和备择假设 $H_1$
2. **选择检验统计量**：构造一个不含未知参数的统计量 $T$，且当 $H_0$ 成立时，$T$ 的分布已知
3. **确定拒绝域**：对于给定的显著性水平 $\\alpha$，确定拒绝域 $W$
4. **计算与决策**：根据样本计算检验统计量的值，若落入拒绝域则拒绝 $H_0$，否则不拒绝 $H_0$

(1) 简单假设 vs 复合假设：

• 简单假设：完全确定总体分布的假设，如 $H_0: \\theta = \\theta_0$
• 复合假设：部分确定总体分布的假设，如 $H_1: \\theta \\neq \\theta_0$、$H_1: \\theta > \\theta_0$ 等

(2) 双边检验 vs 单边检验：

• 双边检验：$H_0: \\theta = \\theta_0$ vs $H_1: \\theta \\neq \\theta_0$
• 左边检验：$H_0: \\theta \\geq \\theta_0$ vs $H_1: \\theta < \\theta_0$
• 右边检验：$H_0: \\theta \\leq \\theta_0$ vs $H_1: \\theta > \\theta_0$

由于样本的随机性，假设检验可能犯两种错误：

(1) 第一类错误（Type I Error）：$H_0$ 为真时拒绝 $H_0$（“弃真”错误） $$\\alpha = P(\\text{拒绝 } H_0 | H_0 \\text{ 为真}) = P(X \\in W | H_0)$$

(2) 第二类错误（Type II Error）：$H_0$ 为假时接受 $H_0$（“取伪”错误） $$\\beta = P(\\text{接受 } H_0 | H_1 \\text{ 为真}) = P(X \\notin W | H_1)$$

在样本容量 $n$ 固定时，$\\alpha$ 和 $\\beta$ 不能同时减小：

• 减小 $\\alpha$（使拒绝域变小）→ 增大 $\\beta$
• 减小 $\\beta$（使拒绝域变大）→ 增大 $\\alpha$

要同时减小两类错误，必须增加样本容量。

定义 6.2（显著性水平）：给定一个很小的正数 $\\alpha$（通常取0.05、0.01或0.10），要求检验满足： $$P(\\text{拒绝 } H_0 | H_0 \\text{ 为真}) \\leq \\alpha$$

则称 $\\alpha$ 为显著性水平（Significance Level），称该检验为显著性水平 $\\alpha$ 的检验。

定义 6.3（功效函数）：设 $W$ 是检验的拒绝域，称函数： $$\\beta(\\theta) = P_\\theta(X \\in W)$$ 为检验的功效函数（Power Function）或势函数。

功效函数表示当真实参数为 $\\theta$ 时，拒绝 $H_0$ 的概率。

• 当 $\\theta \\in H_0$ 时，$\\beta(\\theta) = P(\\text{第一类错误})$
• 当 $\\theta \\in H_1$ 时，$\\beta(\\theta) = 1 - P(\\text{第二类错误}) = 1 - \\beta$ 称为功效（Power）

一个好的检验应该：

• 当 $\\theta \\in H_0$ 时，$\\beta(\\theta) \\leq \\alpha$
• 当 $\\theta \\in H_1$ 时，$\\beta(\\theta)$ 尽可能大

定义 6.4（p值）：p值是在原假设 $H_0$ 成立的条件下，得到当前样本结果或更极端结果的概率。

p值可以看作是拒绝 $H_0$ 的“最小显著性水平”。

• 右边检验：$p = P(T \\geq t | H_0)$
• 左边检验：$p = P(T \\leq t | H_0)$
• 双边检验：$p = 2 \\min\\{P(T \\geq t | H_0), P(T \\leq t | H_0)\\}$

• 若 $p \\leq \\alpha$，拒绝 $H_0$
• 若 $p > \\alpha$，不拒绝 $H_0$

使用p值的优点：

• 提供更精细的信息
• 不需要预先确定 $\\alpha$
• 便于比较不同研究的结果

定义 6.5（UMP检验）：对于检验问题 $H_0: \\theta \\in \\Theta_0$ vs $H_1: \\theta \\in \\Theta_1$，若检验的功效函数 $\\beta(\\theta)$ 满足：

• $\\sup_{\\theta \\in \\Theta_0}\\beta(\\theta) \\leq \\alpha$
• 对任意水平 $\\alpha$ 的其他检验，有 $\\beta(\\theta) \\geq \\beta^*(\\theta)$ 对所有 $\\theta \\in \\Theta_1$ 成立

则称该检验为一致最优势检验（Uniformly Most Powerful Test, UMP检验）。

对于简单假设检验问题 $H_0: \\theta = \\theta_0$ vs $H_1: \\theta = \\theta_1$，Neyman-Pearson引理给出了最优势检验的形式（详见第九章）。

例 6.1：设 $X_1, X_2, \\ldots, X_{25}$ 来自 $N(\\mu, 9)$，检验 $H_0: \\mu = 0$ vs $H_1: \\mu \\neq 0$，拒绝域为 $W = \\{|\\bar{X}| \\geq c\\}$。

(1) 求 $c$ 使得显著性水平为0.05； (2) 求当 $\\mu = 1$ 时，检验的功效。

解：

(1) 在 $H_0$ 下，$\\bar{X} \\sim N(0, 9/25) = N(0, 0.36)$，$\\bar{X}/0.6 \\sim N(0, 1)$。

$$P(|\\bar{X}| \\geq c | \\mu = 0) = 0.05$$

$$P\\left(\\left|\\frac{\\bar{X}}{0.6}\\right| \\geq \\frac{c}{0.6}\\right) = 0.05$$

查表得 $\\dfrac{c}{0.6} = 1.96$，所以 $c = 1.176$。

(2) 当 $\\mu = 1$ 时，$\\bar{X} \\sim N(1, 0.36)$。

功效 $= P(|\\bar{X}| \\geq 1.176 | \\mu = 1)$

$= P(\\bar{X} \\geq 1.176) + P(\\bar{X} \\leq -1.176)$

$= P(Z \\geq \\dfrac{1.176-1}{0.6}) + P(Z \\leq \\dfrac{-1.176-1}{0.6})$

$= P(Z \\geq 0.293) + P(Z \\leq -3.627) \\approx 0.385 + 0.0001 = 0.385$

1. 解释假设检验中两类错误的含义，并说明它们之间的关系。

2. 设检验的拒绝域为 $W$，写出功效函数 $\\beta(\\theta)$ 的定义，并说明 $\\beta(\\theta)$ 在 $H_0$ 和 $H_1$ 下的含义。

3. 什么是p值？如何根据p值做出决策？

4. 为什么当 $n$ 固定时，$\\alpha$ 和 $\\beta$ 不能同时任意小？

5. 设 $X_1, X_2, \\ldots, X_n$ 来自 $N(\\mu, \\sigma^2)$，$\\sigma^2$ 已知。考虑检验 $H_0: \\mu = \\mu_0$ vs $H_1: \\mu > \\mu_0$，拒绝域为 $W = \\{\\bar{X} > c\\}$。

 (a) 求 $c$ 使得检验水平为 $\\alpha$；
 (b) 求功效函数 $\\beta(\\mu)$；
 (c) 当 $n = 25$，$\\sigma = 5$，$\\alpha = 0.05$，$\\mu_0 = 10$，$\\mu = 12$ 时，计算功效。

6. 证明：对于简单假设检验，不存在一个检验使得 $\\alpha = \\beta = 0$（除非样本提供完全信息）。

7. 某药物公司声称其新药的有效率为80%。为了验证这一说法，随机抽取100名患者试用该药。

 (a) 建立适当的假设；
 (b) 设观察到75人有效，计算p值并做出结论（$\\alpha = 0.05$）；
 (c) 若要使检验的功效达到0.90（当真实有效率为70%时），至少需要多大的样本量？

8. 设 $X_1, X_2, \\ldots, X_n$ 来自 $Exp(\\lambda)$，考虑检验 $H_0: \\lambda = \\lambda_0$ vs $H_1: \\lambda \\neq \\lambda_0$。

 (a) 构造适当的检验统计量；
 (b) 确定拒绝域；
 (c) 求功效函数的表达式。

本章介绍了假设检验的基本概念：

• 统计假设：原假设 $H_0$ 和备择假设 $H_1$
• 两类错误：
  1. 第一类错误（弃真）：$\\alpha$
  2. 第二类错误（取伪）：$\\beta$
• 显著性水平：控制第一类错误概率
• 功效函数：$\\beta(\\theta) = P(\\text{拒绝 } H_0 | \\theta)$
• p值：拒绝 $H_0$ 的最小显著性水平
• 最佳检验：UMP检验的概念

理解这些基本概念是掌握各种具体检验方法的基础。