概率论

概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，是统计学、物理学、金融学、计算机科学等众多学科的理论基础。本课程系统介绍概率论的基本概念、理论方法和应用技巧。

• 理解概率论的公理化体系
• 掌握随机变量及其分布的性质
• 熟练运用数字特征分析随机现象
• 理解大数定律和中心极限定理的本质
• 具备基本的统计推断能力

1. 第一章 概率论基础
   • 样本空间与随机事件
   • 事件的关系与运算
   • 概率的公理化定义
   • 古典概型与几何概型
   • 条件概率与全概率公式
   • 贝叶斯公式
   • 事件的独立性

1. 第二章 随机变量及其分布
   • 随机变量的概念
   • 离散型随机变量及其分布
   • 连续型随机变量及其分布
   • 随机变量函数的分布

1. 第三章 多维随机变量
   • 二维随机变量及其分布
   • 边缘分布与条件分布
   • 随机变量的独立性
   • 两个随机变量函数的分布

1. 第四章 数字特征
   • 数学期望
   • 方差与标准差
   • 协方差与相关系数
   • 矩、协方差矩阵

1. 第五章 大数定律与中心极限定理
   • 切比雪夫不等式
   • 大数定律
   • 中心极限定理

1. 第六章 数理统计基础
   • 总体与样本
   • 统计量及其分布
   • 三大抽样分布

1. 第七章 参数估计
   • 点估计方法
   • 估计量的评价标准
   • 区间估计

• 注重概念理解，建立概率直觉
• 多做练习，熟练掌握计算方法
• 理解各章节之间的联系
• 尝试将理论应用于实际问题

• 盛骤等，《概率论与数理统计》，高等教育出版社
• 何书元，《概率论》，北京大学出版社
• Ross, S. M., 《A First Course in Probability》
• 茆诗松等，《概率论与数理统计教程》

基本公式：

• 条件概率：$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}, P(B) > 0$
• 全概率公式：$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i)P(B_i)$
• 贝叶斯公式：$P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A|B_j)P(B_j)}$

期望与方差：

• 数学期望：$E(X) = \sum x_i p_i$ 或 $E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx$
• 方差：$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
• 切比雪夫不等式：$P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2}$

重要分布：

• 二项分布：$X \sim B(n,p)$，$P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$
• 正态分布：$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
• 泊松分布：$X \sim P(\lambda)$，$P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$