第二章 随机变量及其分布

在第一章中，我们用随机事件描述随机现象，但这种方法有局限性： - 不易进行定量分析 - 难以使用数学工具深入研究

随机变量是将随机试验结果数量化的工具，使得我们可以用数学方法（微积分等）研究随机现象。

例 2.1 - $E_1$：掷骰子，定义 $X$ = “出现的点数”，则 $X \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ - $E_2$：检测产品，定义 $X$ = “次品个数”，则 $X \in \{0, 1, 2, \ldots, n\}$ - $E_3$：测量身高，定义 $X$ = “身高值”，则 $X \in [0, 300]$（单位：cm）

定义 2.1（随机变量） 设随机试验的样本空间为 $\Omega$，若对每个样本点 $\omega \in \Omega$，都有唯一的实数 $X(\omega)$ 与之对应，则称实值函数 $X = X(\omega)$ 为定义在 $\Omega$ 上的随机变量。

随机变量的特点： 1. 随机性：试验前不知道取何值 2. 统计规律性：取值有确定的概率分布

注： 随机变量通常用大写字母 $X, Y, Z$ 表示，取值用小写字母 $x, y, z$ 表示。

定义 2.2（离散型随机变量） 若随机变量 $X$ 的所有可能取值为有限个或可列无限个，则称 $X$ 为离散型随机变量。

定义 2.3（分布律） 设离散型随机变量 $X$ 的所有可能取值为 $x_k$（$k = 1, 2, \ldots$），$X$ 取各个值的概率为 $$P(X = x_k) = p_k, \quad k = 1, 2, \ldots$$

称上式为 $X$ 的分布律或概率分布。

分布律的性质： 1. $p_k \geq 0$（非负性） 2. $\sum_{k} p_k = 1$（规范性）

分布律常用表格表示：

1. 0-1 分布（两点分布）

若随机变量 $X$ 只取 0 和 1 两个值，分布律为： $$P(X = 1) = p, \quad P(X = 0) = 1 - p \quad (0 < p < 1)$$

记为 $X \sim B(1, p)$ 或 $X \sim (0-1)$。

应用： 一次伯努利试验（成功/失败）。

2. 二项分布

若随机变量 $X$ 的分布律为 $$P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n$$ 其中 $0 < p < 1$，则称 $X$ 服从参数为 $n, p$ 的二项分布，记为 $X \sim B(n, p)$。

应用： $n$ 重伯努利试验中成功的次数。

例 2.2 某射手命中率为 0.8，独立射击 10 次，求恰好命中 7 次的概率。

解： $X \sim B(10, 0.8)$ $$P(X = 7) = C_{10}^7 (0.8)^7 (0.2)^3 = 120 \times 0.2097 \times 0.008 \approx 0.201$$

3. 泊松分布

若随机变量 $X$ 的分布律为 $$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots$$ 其中 $\lambda > 0$ 为常数，则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，记为 $X \sim P(\lambda)$ 或 $X \sim \pi(\lambda)$。

验证规范性： $$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda} \cdot e^{\lambda} = 1$$

应用： - 电话交换台接到的呼叫次数 - 放射性物质单位时间内检测到的粒子数 - 某路段单位时间内通过的车辆数

定理 2.1（泊松定理） 设 $\lambda > 0$ 是常数，$n$ 是任意正整数，$np_n = \lambda$，则对任意固定的非负整数 $k$： $$\lim_{n \to \infty} C_n^k p_n^k (1-p_n)^{n-k} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$

意义： 当 $n$ 很大，$p$ 很小时，$B(n, p) \approx P(\lambda)$，其中 $\lambda = np$。

例 2.3 某产品次品率为 0.01，抽取 500 件，求至少 2 件次品的概率。

解： $X \sim B(500, 0.01)$，$\lambda = 500 \times 0.01 = 5$

近似有 $X \sim P(5)$： $$\begin{aligned} P(X \geq 2) &= 1 - P(X = 0) - P(X = 1)
&\approx 1 - e^{-5} - 5e^{-5}
&= 1 - 6e^{-5} \approx 0.9596 \end{aligned}$$

4. 几何分布

若随机变量 $X$ 的分布律为 $$P(X = k) = (1-p)^{k-1}p, \quad k = 1, 2, 3, \ldots$$ 其中 $0 < p < 1$，则称 $X$ 服从参数为 $p$ 的几何分布，记为 $X \sim G(p)$。

应用： 首次成功所需的试验次数。

5. 超几何分布

若随机变量 $X$ 的分布律为 $$P(X = k) = \frac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, \min(n, M)$$ 则称 $X$ 服从参数为 $N, M, n$ 的超几何分布。

应用： 不放回抽样中某类个体的个数。

定义 2.4（分布函数） 设 $X$ 是随机变量，$x$ 是任意实数，函数 $$F(x) = P(X \leq x)$$ 称为 $X$ 的分布函数。

分布函数的意义： - 描述了随机变量 $X$ 的概率分布规律 - 对任意实数 $x_1 < x_2$：$P(x_1 < X \leq x_2) = F(x_2) - F(x_1)$

性质 1（有界性）： $0 \leq F(x) \leq 1$，且 $F(-\infty) = 0$，$F(+\infty) = 1$

性质 2（单调性）： $F(x)$ 是单调不减函数，即若 $x_1 < x_2$，则 $F(x_1) \leq F(x_2)$

性质 3（右连续性）： $F(x+0) = F(x)$，即 $\lim_{t \to x^+} F(t) = F(x)$

性质 4： 对任意 $x$，$P(X = x) = F(x) - F(x-0)$

注： - 离散型随机变量：$F(x)$ 是阶梯函数 - 连续型随机变量：$F(x)$ 是连续函数

例 2.4 设 $X$ 服从 0-1 分布，$P(X=1) = p$，$P(X=0) = 1-p$，求 $F(x)$。

解： $$F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0
1-p, & 0 \leq x < 1
1, & x \geq 1 \end{cases}$$

定义 2.5（连续型随机变量） 设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$，若存在非负可积函数 $f(x)$，使得对任意实数 $x$： $$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)dt$$ 则称 $X$ 为连续型随机变量，$f(x)$ 称为 $X$ 的概率密度函数（简称密度函数）。

性质 1（非负性）： $f(x) \geq 0$

性质 2（规范性）： $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = 1$

性质 3： $P(x_1 < X \leq x_2) = F(x_2) - F(x_1) = \int_{x_1}^{x_2} f(x)dx$

性质 4： 若 $f(x)$ 在 $x$ 处连续，则 $F'(x) = f(x)$

性质 5： 对连续型随机变量，$P(X = x) = 0$（任意单点概率为零）

注： $P(X = x) = 0$ 不意味着 $\{X = x\}$ 是不可能事件！

1. 均匀分布

若随机变量 $X$ 的密度函数为 $$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a < x < b
0, & \text{其他} \end{cases}$$ 则称 $X$ 服从区间 $(a, b)$ 上的均匀分布，记为 $X \sim U(a, b)$。

分布函数： $$F(x) = \begin{cases} 0, & x < a
\frac{x-a}{b-a}, & a \leq x < b
1, & x \geq b \end{cases}$$

应用： 等可能取值的连续随机变量（如舍入误差、等车时间等）。

2. 指数分布

若随机变量 $X$ 的密度函数为 $$f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x > 0
0, & x \leq 0 \end{cases}$$ 其中 $\lambda > 0$ 为常数，则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，记为 $X \sim E(\lambda)$。

分布函数： $$F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x}, & x > 0
0, & x \leq 0 \end{cases}$$

无记忆性： 对任意 $s, t > 0$： $$P(X > s + t | X > s) = P(X > t)$$

应用： - 电子元件的寿命 - 顾客的服务时间 - 等待时间

例 2.5 某元件寿命 $X \sim E(0.001)$（单位：小时），求： (1) 寿命超过 1000 小时的概率 (2) 已使用 500 小时，还能使用 1000 小时的概率

解： (1) $P(X > 1000) = e^{-0.001 \times 1000} = e^{-1} \approx 0.368$

(2) 由无记忆性：$P(X > 1500 | X > 500) = P(X > 1000) = e^{-1} \approx 0.368$

3. 正态分布

若随机变量 $X$ 的密度函数为 $$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad -\infty < x < +\infty$$ 其中 $\mu, \sigma$（$\sigma > 0$）为常数，则称 $X$ 服从参数为 $\mu, \sigma^2$ 的正态分布，记为 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$。

密度函数的性质： - 关于 $x = \mu$ 对称 - 在 $x = \mu$ 处取得最大值 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$ - 拐点在 $x = \mu \pm \sigma$ 处 - $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0$

标准正态分布： 当 $\mu = 0$，$\sigma = 1$ 时，称为标准正态分布，记为 $X \sim N(0, 1)$。

其密度函数：$\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$

其分布函数：$\Phi(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}} dt$

标准正态分布的性质： - $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$（对称性） - $\Phi(0) = 0.5$

一般正态分布的标准化： 若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$

3σ 原则： $$P(|X - \mu| < \sigma) \approx 0.6826$$ $$P(|X - \mu| < 2\sigma) \approx 0.9544$$ $$P(|X - \mu| < 3\sigma) \approx 0.9974$$

例 2.6 设 $X \sim N(1, 4)$，求： (1) $P(X < 3)$ (2) $P(0 < X < 1.6)$

解： $\mu = 1$，$\sigma = 2$

(1) $P(X < 3) = P\left(\frac{X-1}{2} < 1\right) = \Phi(1) \approx 0.8413$

(2) $P(0 < X < 1.6) = \Phi\left(\frac{1.6-1}{2}\right) - \Phi\left(\frac{0-1}{2}\right) = \Phi(0.3) - \Phi(-0.5)$

$= \Phi(0.3) - (1 - \Phi(0.5)) \approx 0.6179 - (1 - 0.6915) = 0.3094$

设 $X$ 是离散型随机变量，$Y = g(X)$，则 $Y$ 也是离散型随机变量。

求法： 1. 列出 $X$ 的所有取值 $x_k$ 及概率 $P(X = x_k)$ 2. 计算 $y_k = g(x_k)$ 3. 合并相同值的概率

例 2.7 设 $X$ 的分布律为

求 $Y = X^2$ 的分布律。

解：

$P(Y = 0) = P(X = 0) = 0.3$

$P(Y = 1) = P(X = -1) + P(X = 1) = 0.2 + 0.1 = 0.3$

$P(Y = 4) = P(X = 2) = 0.4$

分布函数法： 1. 求 $Y = g(X)$ 的分布函数 $F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(g(X) \leq y)$ 2. 通过反解得到关于 $X$ 的概率 3. 对 $F_Y(y)$ 求导得密度函数 $f_Y(y)$

例 2.8 设 $X \sim N(0, 1)$，求 $Y = X^2$ 的密度函数。

解： 对 $y > 0$： $$\begin{aligned} F_Y(y) &= P(X^2 \leq y) = P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y})
&= \Phi(\sqrt{y}) - \Phi(-\sqrt{y}) = 2\Phi(\sqrt{y}) - 1 \end{aligned}$$

$$f_Y(y) = F_Y'(y) = 2\varphi(\sqrt{y}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi y}} e^{-\frac{y}{2}}$$

即 $Y$ 服从自由度为 1 的 χ² 分布。

定理 2.2（单调函数情形） 设 $X$ 是连续型随机变量，密度函数为 $f_X(x)$，$y = g(x)$ 是严格单调可导函数，则 $Y = g(X)$ 的密度函数为： $$f_Y(y) = f_X(h(y)) \cdot |h'(y)|$$ 其中 $x = h(y)$ 是 $y = g(x)$ 的反函数。

例 2.9 设 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，求 $Y = aX + b$（$a \neq 0$）的分布。

解： $y = ax + b$ 的反函数为 $x = \frac{y-b}{a}$

$$f_Y(y) = f_X\left(\frac{y-b}{a}\right) \cdot \frac{1}{|a|} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}|a|\sigma} \exp\left(-\frac{(y - (a\mu+b))^2}{2a^2\sigma^2}\right)$$

故 $Y \sim N(a\mu + b, a^2\sigma^2)$。

例题 2.1 设随机变量 $X$ 的密度函数为 $$f(x) = \begin{cases} Ax, & 0 \leq x \leq 1
A(2-x), & 1 < x \leq 2
0, & \text{其他} \end{cases}$$

(1) 求常数 $A$；(2) 求分布函数 $F(x)$；(3) 求 $P(0.5 < X < 1.5)$。

解： (1) 由规范性：$\int_0^1 Ax dx + \int_1^2 A(2-x) dx = 1$

$\frac{A}{2} + \frac{A}{2} = A = 1$，故 $A = 1$。

(2) 当 $0 \leq x < 1$：$F(x) = \int_0^x t dt = \frac{x^2}{2}$

当 $1 \leq x < 2$：$F(x) = \frac{1}{2} + \int_1^x (2-t) dt = \frac{1}{2} + 2(x-1) - \frac{x^2-1}{2} = 2x - \frac{x^2}{2} - 1$

(3) $P(0.5 < X < 1.5) = F(1.5) - F(0.5) = (3 - 1.125 - 1) - 0.125 = 0.75$

例题 2.2 设 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，证明：对任意 $s, t > 0$，$P(X > s + t | X > s) = P(X > t)$。

证明： $$P(X > x) = \int_x^{\infty} \lambda e^{-\lambda u} du = e^{-\lambda x}$$

$$P(X > s + t | X > s) = \frac{P(X > s + t)}{P(X > s)} = \frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = P(X > t)$$

基础题 1. 设 $X$ 的分布律为 $P(X = k) = \frac{c}{k(k+1)}$（$k = 1, 2, \ldots$），求常数 $c$ 和 $P(X \geq 3)$。

2. 设 $X \sim B(4, 0.5)$，求 $P(X \geq 1)$ 和 $P(1 \leq X < 3)$。

3. 设 $X \sim U(0, 1)$，求 $Y = -2\ln X$ 的密度函数。

提高题 4. 某商店每月销售的某商品数 $X \sim P(4)$，求：

 (a) 至少售出 2 件的概率
 (b) 已知至少售出 1 件，求至少售出 2 件的概率

5. 设 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，求 $Y = e^X$ 的密度函数（对数正态分布）。

挑战题 6. 设 $X$ 的密度函数为 $f(x) = \frac{1}{2}e^{-|x|}$（$-\infty < x < +\infty$），求 $X$ 的分布函数和 $P(-1 < X < 2)$。

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