泛函分析是20世纪初从变分法、微分方程、积分方程和量子物理等领域的研究中发展起来的一个数学分支。它综合地运用分析的、代数的和几何的观点和方法，研究无限维线性拓扑空间（特别是无穷维线性赋范空间）及其上的映射（主要是线性映射）的一般性质。

泛函分析的主要研究对象包括： - 度量空间（Metric Spaces）：研究抽象空间中的距离概念 - 赋范线性空间（Normed Linear Spaces）：具有范数结构的向量空间 - Banach空间：完备的赋范线性空间 - 内积空间与Hilbert空间：具有内积结构的空间，是欧几里得空间的自然推广 - 线性算子与线性泛函：空间之间的线性映射 - 对偶理论：研究空间的共轭结构 - 谱理论：研究线性算子的特征值问题

通过本课程的学习，学生将能够： - 掌握度量空间、赋范空间、内积空间的基本理论 - 理解完备性、紧性、可分性等重要拓扑概念 - 掌握Hahn-Banach定理、开映射定理、闭图像定理、共鸣定理四大基本定理 - 理解对偶空间和弱收敛理论 - 掌握紧算子和自伴算子的谱理论 - 了解广义函数和Sobolev空间的基本概念

1. 第一章 度量空间的基本概念
   1. 距离函数与度量空间的定义
   2. 开集、闭集与邻域
   3. 极限与连续性
   4. 常见的度量空间例子

1. 第二章 度量空间中的点集
   1. 稠密性与可分空间
   2. 列紧性与紧性
   3. 全有界性
   4. Arzelà-Ascoli定理

1. 第三章 完备度量空间
   1. 柯西列与完备性
   2. 度量空间的完备化
   3. 压缩映射原理
   4. 不动点定理及其应用

1. 第四章 度量空间上的映射
   1. 连续映射的性质
   2. 等距映射
   3. 利普希茨映射
   4. 一致连续性

1. 第五章 赋范线性空间
   1. 范数公理与赋范空间
   2. Banach空间的定义与例子
   3. 收敛性与完备性
   4. 有限维与无限维赋范空间

1. 第六章 有限维赋范空间
   1. 范数等价性
   2. 有限维赋范空间的性质
   3. Minkowski泛函
   4. 凸集分离定理

1. 第七章 商空间与积空间
   1. 商空间的构造与商范数
   2. 积空间与积范数
   3. 投影算子
   4. 直和分解

1. 第八章 有界线性算子
   1. 有界线性算子与算子范数
   2. Banach代数
   3. 逆算子定理
   4. 开映射定理与闭图像定理

1. 第九章 内积空间
   1. 内积公理与基本性质
   2. 极化恒等式
   3. 平行四边形公式
   4. 由内积诱导的范数

1. 第十章 Hilbert空间
   1. Hilbert空间的完备性
   2. 最佳逼近定理
   3. 正交投影定理
   4. 正交补空间

1. 第十一章 正交系与Fourier展开
   1. 正交系与规范正交系
   2. Bessel不等式
   3. Parseval等式
   4. 完全正交系与Fourier展开

1. 第十二章 内积空间上的算子
   1. 伴随算子
   2. 自伴算子
   3. 酉算子
   4. 正规算子

1. 第十三章 线性泛函
   1. 有界线性泛函
   2. Hahn-Banach定理（实形式与复形式）
   3. 对偶空间的定义与例子
   4. 共轭双线性形式

1. 第十四章 自反空间与弱收敛
   1. 自反空间的定义与性质
   2. 弱收敛与弱*收敛
   3. 一致凸空间
   4. Eberlein-Smulian定理

1. 第十五章 共轭算子
   1. 共轭算子的定义与性质
   2. 二次对偶与典范嵌入
   3. 紧算子
   4. Fredholm理论初步

1. 第十六章 谱理论基础
   1. 谱与预解集
   2. 点谱、连续谱、剩余谱
   3. 预解式与谱半径
   4. 有界线性算子的谱性质

1. 第十七章 紧算子的谱理论
   1. Riesz-Schauder理论
   2. 紧算子谱的结构
   3. Fredholm择一定理
   4. 谱定理与特征展开

1. 第十八章 自伴算子的谱分解
   1. 谱测度
   2. 谱积分
   3. 自伴算子的谱分解定理
   4. 无界自伴算子简介

1. 第十九章 广义函数
   1. 试验函数空间D(Ω)
   2. 分布与广义函数的定义
   3. 广义函数的运算（微分、乘法、卷积）
   4. 缓增广义函数与Fourier变换

1. 第二十章 Sobolev空间
   1. 弱导数
   2. Sobolev空间W^{k,p}(Ω)
   3. Sobolev嵌入定理
   4. 迹定理与应用

主要教材：

1. 夏道行、吴卓人、严绍宗、舒五昌，《实变函数论与泛函分析》（上、下册），高等教育出版社
2. 张恭庆、林源渠，《泛函分析讲义》（上册），北京大学出版社
3. 江泽坚、孙善利，《泛函分析》，高等教育出版社
4. 郑维行、王声望，《实变函数与泛函分析概要》（第四版），高等教育出版社

参考书籍：

1. W. Rudin, Functional Analysis, 2nd Edition, McGraw-Hill
2. H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer
3. K. Yosida, Functional Analysis, 6th Edition, Springer
4. E. Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley
5. 吉田耕作，《泛函分析》，人民教育出版社

学习本课程需要具备以下基础： - 数学分析：极限理论、连续性、级数、微积分 - 实变函数论：Lebesgue测度与积分理论 - 线性代数：向量空间、线性映射、矩阵理论 - 点集拓扑：拓扑空间、开集、闭集、连续性等基本概念

泛函分析在现代数学和科学技术中有着广泛的应用： - 偏微分方程：Sobolev空间与弱解理论 - 量子力学：Hilbert空间与算子理论 - 控制理论：最优控制与算子半群 - 数值分析：有限元方法与逼近理论 - 概率论：随机过程与测度论 - 信号处理：Fourier分析与滤波器设计 - 经济学：均衡理论与优化 - 机器学习：再生核Hilbert空间与核方法

1. 注重理解概念的几何直观和代数结构
2. 熟练掌握各类空间的典型例子
3. 重视定理的证明方法和技巧
4. 多做习题以加深理解
5. 关注泛函分析在其他学科中的应用

• 2024年2月：创建本课程体系

分析学|高等数学|研究生课程