内积空间是欧几里得几何在无限维空间的自然推广。与一般的赋范空间不同，内积空间具有“角度”的概念，可以定义正交性，这使得其结构更加丰富和类似于有限维欧几里得空间。
本章介绍内积空间的基本理论，包括内积公理、由内积诱导的范数、以及内积空间特有的极化恒等式和平行四边形公式。
定义 9.1（内积）设\\(X\\)是数域\\(\\mathbb{K}\\)（\\(\\mathbb{R}\\)或\\(\\mathbb{C}\\)）上的线性空间。映射\\(\\langle \\cdot, \\cdot \\rangle: X \\times X \\to \\mathbb{K}\\)称为内积，如果对任意\\(x, y, z \\in X\\)和\\(\\alpha, \\beta \\in \\mathbb{K}\\)：
(IP1) 共轭对称性：\\(\\langle x, y \\rangle = \\overline{\\langle y, x \\rangle}\\)；
(IP2) 对第一变元的线性：\\(\\langle \\alpha x + \\beta y, z \\rangle = \\alpha \\langle x, z \\rangle + \\beta \\langle y, z \\rangle\\)；
(IP3) 正定性：\\(\\langle x, x \\rangle \\geq 0\\)，且\\(\\langle x, x \\rangle = 0\\)当且仅当\\(x = 0\\)。
\\((X, \\langle \\cdot, \\cdot \\rangle)\\)称为内积空间。
注记： - 当\\(\\mathbb{K} = \\mathbb{R}\\)时，(IP1)变为对称性：\\(\\langle x, y \\rangle = \\langle y, x \\rangle\\) - 由(IP1)和(IP2)，内积对第二变元是共轭线性的：
$$\\langle x, \\alpha y + \\beta z \\rangle = \\bar{\\alpha}\\langle x, y \\rangle + \\bar{\\beta}\\langle x, z \\rangle$$
例 9.1（欧几里得空间）在\\(\\mathbb{R}^n\\)上：
$$\\langle x, y \\rangle = \\sum_{i=1}^n x_i y_i$$
在\\(\\mathbb{C}^n\\)上：
$$\\langle x, y \\rangle = \\sum_{i=1}^n x_i \\bar{y}_i$$
例 9.2（\\(l^2\\)空间）
$$\\langle x, y \\rangle = \\sum_{n=1}^\\infty x_n \\bar{y}_n$$
由Cauchy-Schwarz不等式，级数绝对收敛。
例 9.3（\\(L^2\\)空间）
$$\\langle f, g \\rangle = \\int_\\Omega f(x)\\overline{g(x)}d\\mu(x)$$
例 9.4（连续函数空间）在\\(C[a,b]\\)上：
$$\\langle f, g \\rangle = \\int_a^b f(t)\\overline{g(t)}dt$$
这不是Hilbert空间（不完备）。
定理 9.1（Cauchy-Schwarz不等式）设\\((X, \\langle \\cdot, \\cdot \\rangle)\\)是内积空间。则对任意\\(x, y \\in X\\)：
$$|\\langle x, y \\rangle|^2 \\leq \\langle x, x \\rangle \\langle y, y \\rangle$$
等号成立当且仅当\\(x\\)与\\(y\\)线性相关。
证明：不妨设\\(y \\neq 0\\)。对任意\\(\\lambda \\in \\mathbb{K}\\)：
$$0 \\leq \\langle x - \\lambda y, x - \\lambda y \\rangle = \\langle x, x \\rangle - \\lambda \\langle y, x \\rangle - \\bar{\\lambda}\\langle x, y \\rangle + |\\lambda|^2\\langle y, y \\rangle$$
取\\(\\lambda = \\frac{\\langle x, y \\rangle}{\\langle y, y \\rangle}\\)：
$$0 \\leq \\langle x, x \\rangle - \\frac{|\\langle x, y \\rangle|^2}{\\langle y, y \\rangle}$$
即得结论。等号成立当且仅当\\(x = \\lambda y\\)。\\(\\square\\)
定义 9.2 在内积空间上定义：
$$\\|x\\| = \\sqrt{\\langle x, x \\rangle}$$
定理 9.2 上述定义的\\(\\|\\cdot\\|\\)是范数。
证明：
(N1) \\(\\|x\\| = \\sqrt{\\langle x, x \\rangle} \\geq 0\\)，且\\(\\|x\\| = 0 \\Leftrightarrow \\langle x, x \\rangle = 0 \\Leftrightarrow x = 0\\)
(N2) \\(\\|\\alpha x\\| = \\sqrt{\\langle \\alpha x, \\alpha x \\rangle} = \\sqrt{|\\alpha|^2\\langle x, x \\rangle} = |\\alpha|\\|x\\|\\)
(N3) 由Cauchy-Schwarz：
$$\\|x + y\\|^2 = \\langle x+y, x+y \\rangle = \\|x\\|^2 + 2\\text{Re}\\langle x, y \\rangle + \\|y\\|^2$$
$$\\leq \\|x\\|^2 + 2|\\langle x, y \\rangle| + \\|y\\|^2 \\leq \\|x\\|^2 + 2\\|x\\|\\|y\\| + \\|y\\|^2 = (\\|x\\| + \\|y\\|)^2$$
\\(\\square\\)
极化恒等式揭示了内积与范数之间的深刻联系：内积可以由范数恢复。
定理 9.3（极化恒等式）
(实情形) 若\\(\\mathbb{K} = \\mathbb{R}\\)：
$$\\langle x, y \\rangle = \\frac{1}{4}(\\|x+y\\|^2 - \\|x-y\\|^2)$$
(复情形) 若\\(\\mathbb{K} = \\mathbb{C}\\)：
$$\\langle x, y \\rangle = \\frac{1}{4}(\\|x+y\\|^2 - \\|x-y\\|^2 + i\\|x+iy\\|^2 - i\\|x-iy\\|^2)$$
证明（复情形）：
展开\\(\\|x+y\\|^2 = \\|x\\|^2 + 2\\text{Re}\\langle x, y \\rangle + \\|y\\|^2\\)
\\(\\|x-y\\|^2 = \\|x\\|^2 - 2\\text{Re}\\langle x, y \\rangle + \\|y\\|^2\\)
故\\(\\|x+y\\|^2 - \\|x-y\\|^2 = 4\\text{Re}\\langle x, y \\rangle\\)
同理，\\(\\|x+iy\\|^2 - \\|x-iy\\|^2 = 4\\text{Re}\\langle x, iy \\rangle = 4\\text{Im}\\langle x, y \\rangle\\)
组合即得结论。\\(\\square\\)
注记：极化恒等式说明：内积空间结构完全由其范数结构决定。
定理 9.4（平行四边形公式）在内积空间中，对任意\\(x, y\\)：
$$\\|x+y\\|^2 + \\|x-y\\|^2 = 2(\\|x\\|^2 + \\|y\\|^2)$$
证明：直接展开：
$$\\|x+y\\|^2 = \\|x\\|^2 + 2\\text{Re}\\langle x, y \\rangle + \\|y\\|^2$$
$$\\|x-y\\|^2 = \\|x\\|^2 - 2\\text{Re}\\langle x, y \\rangle + \\|y\\|^2$$
相加即得。\\(\\square\\)
几何意义：平行四边形对角线平方和等于四边平方和。
定理 9.5（Jordan-von Neumann定理）赋范空间\\(X\\)是内积空间（范数可由某内积诱导）当且仅当范数满足平行四边形公式。
证明概要：必要性已证。充分性：用极化恒等式定义内积，验证其满足内积公理。关键是用平行四边形公式验证可加性。
例 9.5 \\(l^p\\)（\\(p \\neq 2\\)）不是内积空间。
取\\(x = (1, 0, 0, \\ldots)\\)，\\(y = (0, 1, 0, \\ldots)\\)：
$$\\|x+y\\|_p^2 + \\|x-y\\|_p^2 = 2^{2/p} + 2^{2/p} = 2^{1+2/p}$$
$$2(\\|x\\|_p^2 + \\|y\\|_p^2) = 2(1 + 1) = 4$$
当\\(p \\neq 2\\)时，\\(2^{1+2/p} \\neq 4\\)。
习题 9.1 验证\\(\\mathbb{C}^n\\)上的标准内积满足内积公理。
习题 9.2 在内积空间中，证明：
$$\\|x+y\\|^2 = \\|x\\|^2 + \\|y\\|^2 \\Leftrightarrow \\text{Re}\\langle x, y \\rangle = 0$$
习题 9.3 证明：若\\(\\|x+y\\|^2 = \\|x\\|^2 + \\|y\\|^2\\)对所有\\(x, y\\)成立，则内积空间是实的。
习题 9.4 设\\(\\{x_n\\}\\)是内积空间中的序列，\\(\\|x_n\\| \\to \\|x\\|\\)且\\(\\langle x_n, x \\rangle \\to \\|x\\|^2\\)。证明\\(x_n \\to x\\)。
习题 9.5 证明：内积\\(\\langle \\cdot, \\cdot \\rangle: X \\times X \\to \\mathbb{K}\\)是连续映射。
习题 9.6 设\\(T: X \\to Y\\)是内积空间之间的线性算子且保持内积（\\(\\langle Tx, Ty \\rangle = \\langle x, y \\rangle\\)）。证明\\(\\|Tx\\| = \\|x\\|\\)。
习题 9.7 证明Appolonius恒等式：
$$\\|z-x\\|^2 + \\|z-y\\|^2 = \\frac{1}{2}\\|x-y\\|^2 + 2\\left\\|z - \\frac{x+y}{2}\\right\\|^2$$
习题 9.8 设\\(X\\)是实内积空间，\\(x, y \\neq 0\\)。证明：\\(\\|x+y\\| = \\|x\\| + \\|y\\|\\)当且仅当\\(y = tx\\)（\\(t > 0\\)）。
习题 9.9 验证\\(C[0,1]\\)在上确界范数下不满足平行四边形公式。
习题 9.10 设\\(\\{e_1, \\ldots, e_n\\}\\)是内积空间中的规范正交集。证明对任意\\(x\\)：
$$\\sum_{i=1}^n |\\langle x, e_i \\rangle|^2 \\leq \\|x\\|^2$$
本章介绍了内积空间的基础理论：