度量空间为我们提供了“距离”的概念，但在数学中，我们还需要“代数运算”——特别是加法和数乘。将度量结构与代数结构结合起来，就得到了赋范线性空间——泛函分析的主要研究对象。
赋范线性空间既是向量空间（具有线性结构），又是度量空间（具有拓扑结构），并且这两种结构通过范数相容地联系在一起。本章将介绍赋范线性空间的基本理论，包括范数公理、Banach空间以及收敛性等核心概念。
定义 5.1（范数）设\\(X\\)是数域\\(\\mathbb{K}\\)（\\(\\mathbb{R}\\)或\\(\\mathbb{C}\\)）上的线性空间。映射\\(\\|\\cdot\\|: X \\to \\mathbb{R}\\)称为范数，如果对任意\\(x, y \\in X\\)和\\(\\alpha \\in \\mathbb{K}\\)，满足：
(N1) 正定性：\\(\\|x\\| \\geq 0\\)，且\\(\\|x\\| = 0\\)当且仅当\\(x = 0\\)；
(N2) 齐次性：\\(\\|\\alpha x\\| = |\\alpha| \\cdot \\|x\\|\\)；
(N3) 三角不等式：\\(\\|x + y\\| \\leq \\|x\\| + \\|y\\|\\)。
\\((X, \\|\\cdot\\|)\\)称为赋范线性空间（简称赋范空间）。
注记： - 范数是向量“长度”或“大小”的抽象 - 由范数可诱导度量：\\(d(x, y) = \\|x - y\\|\\) - 赋范空间自动成为度量空间，具有拓扑结构
定理 5.1 设\\((X, \\|\\cdot\\|)\\)是赋范空间。定义\\(d(x, y) = \\|x - y\\|\\)，则\\(d\\)是\\(X\\)上的度量。
证明：
(M1) \\(d(x, y) = \\|x - y\\| \\geq 0\\)，且\\(d(x, y) = 0 \\Leftrightarrow \\|x - y\\| = 0 \\Leftrightarrow x - y = 0 \\Leftrightarrow x = y\\)
(M2) \\(d(x, y) = \\|x - y\\| = \\|-(y - x)\\| = |-1| \\cdot \\|y - x\\| = \\|y - x\\| = d(y, x)\\)
(M3) \\(d(x, z) = \\|x - z\\| = \\|(x - y) + (y - z)\\| \\leq \\|x - y\\| + \\|y - z\\| = d(x, y) + d(y, z)\\)
\\(\\square\\)
定义 5.2（Banach空间）完备的赋范线性空间称为Banach空间。
例 5.1（欧几里得空间\\(\\mathbb{K}^n\\)）对\\(x = (x_1, \\ldots, x_n) \\in \\mathbb{K}^n\\)，定义：
$$\\|x\\|_p = \\left(\\sum_{i=1}^n |x_i|^p\\right)^{1/p}, \\quad 1 \\leq p < \\infty$$
$$\\|x\\|_\\infty = \\max_{1 \\leq i \\leq n} |x_i|$$
\\((\\mathbb{K}^n, \\|\\cdot\\|_p)\\)都是Banach空间。
验证\\(p = 2\\)时的三角不等式：
$$\\|x + y\\|_2^2 = \\sum_{i=1}^n |x_i + y_i|^2 \\leq \\sum_{i=1}^n (|x_i| + |y_i|)^2$$
$$= \\|x\\|_2^2 + 2\\sum_{i=1}^n |x_i||y_i| + \\|y\\|_2^2$$
由Cauchy-Schwarz不等式：
$$\\sum_{i=1}^n |x_i||y_i| \\leq \\left(\\sum_{i=1}^n |x_i|^2\\right)^{1/2}\\left(\\sum_{i=1}^n |y_i|^2\\right)^{1/2} = \\|x\\|_2 \\|y\\|_2$$
故：
$$\\|x + y\\|_2^2 \\leq \\|x\\|_2^2 + 2\\|x\\|_2\\|y\\|_2 + \\|y\\|_2^2 = (\\|x\\|_2 + \\|y\\|_2)^2$$
例 5.2（序列空间\\(l^p\\)）对\\(1 \\leq p < \\infty\\)：
$$l^p = \\left\\{x = (x_n) : x_n \\in \\mathbb{K}, \\sum_{n=1}^\\infty |x_n|^p < \\infty\\right\\}$$
$$\\|x\\|_p = \\left(\\sum_{n=1}^\\infty |x_n|^p\\right)^{1/p}$$
\\(l^\\infty\\)定义为有界序列空间，范数\\(\\|x\\|_\\infty = \\sup_n |x_n|\\)。
验证\\(l^p\\)是Banach空间需要Minkowski不等式。
例 5.3（连续函数空间\\(C[a,b]\\)）
$$\\|f\\|_\\infty = \\max_{t \\in [a,b]} |f(t)|$$
\\(C[a,b]\\)在此范数下是Banach空间（由第三章）。
对\\(1 \\leq p < \\infty\\)：
$$\\|f\\|_p = \\left(\\int_a^b |f(t)|^p dt\\right)^{1/p}$$
\\(C[a,b]\\)在此范数下不完备，完备化得到\\(L^p[a,b]\\)。
例 5.4（\\(L^p\\)空间）设\\((\\Omega, \\mathcal{F}, \\mu)\\)是测度空间：
$$L^p(\\Omega) = \\left\\{f: \\Omega \\to \\mathbb{K} : \\int_\\Omega |f|^p d\\mu < \\infty\\right\\} / \\sim$$
其中\\(f \\sim g\\)当且仅当\\(f = g\\) a.e.。
$$\\|f\\|_p = \\left(\\int_\\Omega |f|^p d\\mu\\right)^{1/p}$$
\\(L^p(\\Omega)\\)是Banach空间（Riesz-Fischer定理）。
定理 5.2（范数的连续性）范数映射\\(x \\mapsto \\|x\\|\\)是连续的。即若\\(x_n \\to x\\)，则\\(\\|x_n\\| \\to \\|x\\|\\)。
证明：由反向三角不等式：
$$|\\|x\\| - \\|y\\|| \\leq \\|x - y\\|$$
若\\(x_n \\to x\\)，则\\(|\\|x_n\\| - \\|x\\|| \\leq \\|x_n - x\\| \\to 0\\)。\\(\\square\\)
定理 5.3（线性运算的连续性）在赋范空间中：
(1) 加法\\((x, y) \\mapsto x + y\\)是\\(X \\times X \\to X\\)的连续映射；
(2) 数乘\\((\\alpha, x) \\mapsto \\alpha x\\)是\\(\\mathbb{K} \\times X \\to X\\)的连续映射。
证明：
(1) 若\\(x_n \\to x\\)，\\(y_n \\to y\\)，则：
$$\\|(x_n + y_n) - (x + y)\\| \\leq \\|x_n - x\\| + \\|y_n - y\\| \\to 0$$
(2) 若\\(\\alpha_n \\to \\alpha\\)，\\(x_n \\to x\\)，则：
$$\\|\\alpha_n x_n - \\alpha x\\| = \\|\\alpha_n(x_n - x) + (\\alpha_n - \\alpha)x\\|$$
$$\\leq |\\alpha_n| \\|x_n - x\\| + |\\alpha_n - \\alpha| \\|x\\| \\to 0$$
\\(\\square\\)
定义 5.3 设\\((X, \\|\\cdot\\|)\\)是赋范空间，\\(x_0 \\in X\\)，\\(r > 0\\)。
(1) 开球：\\(B(x_0, r) = \\{x \\in X : \\|x - x_0\\| < r\\}\\)
(2) 闭球：\\(\\bar{B}(x_0, r) = \\{x \\in X : \\|x - x_0\\| \\leq r\\}\\)
(3) 单位球：\\(B_X = B(0, 1) = \\{x : \\|x\\| < 1\\}\\)
(4) 单位球面：\\(S_X = \\{x : \\|x\\| = 1\\}\\)
定义 5.4（有界集）子集\\(A \\subseteq X\\)称为有界的，如果存在\\(M > 0\\)使得对所有\\(x \\in A\\)，\\(\\|x\\| \\leq M\\)。
等价地，\\(A\\)有界当且仅当\\(A\\)包含在某个球中。
定义 5.5（等价范数）设\\(\\|\\cdot\\|_1\\)和\\(\\|\\cdot\\|_2\\)是线性空间\\(X\\)上的两个范数。如果存在常数\\(c_1, c_2 > 0\\)，使得对所有\\(x \\in X\\)：
$$c_1 \\|x\\|_1 \\leq \\|x\\|_2 \\leq c_2 \\|x\\|_1$$
则称\\(\\|\\cdot\\|_1\\)与\\(\\|\\cdot\\|_2\\)等价。
注记：等价范数诱导相同的拓扑（相同的开集、收敛性等）。
定理 5.4 有限维线性空间上的任意两个范数都等价。
证明：设\\(X\\)是\\(n\\)维空间，\\(\\{e_1, \\ldots, e_n\\}\\)是一组基。
对\\(x = \\sum_{i=1}^n \\xi_i e_i\\)，定义\\(\\|x\\|_0 = \\sum_{i=1}^n |\\xi_i|\\)（\\(l^1\\)范数）。
设\\(\\|\\cdot\\|\\)是\\(X\\)上任意范数。则：
$$\\|x\\| = \\left\\|\\sum_{i=1}^n \\xi_i e_i\\right\\| \\leq \\sum_{i=1}^n |\\xi_i| \\|e_i\\| \\leq M \\sum_{i=1}^n |\\xi_i| = M \\|x\\|_0$$
其中\\(M = \\max_i \\|e_i\\|\\)。
考虑单位球面\\(S = \\{x : \\|x\\|_0 = 1\\}\\)（\\(\\mathbb{K}^n\\)中的紧集）。映射\\(\\phi: (\\xi_1, \\ldots, \\xi_n) \\mapsto \\|\\sum \\xi_i e_i\\|\\)连续，在紧集\\(S\\)上达到最小值\\(m > 0\\)（因范数正定）。
对任意\\(x \\neq 0\\)，\\(x/\\|x\\|_0 \\in S\\)，故\\(\\|x/\\|x\\|_0\\| \\geq m\\)，即\\(\\|x\\| \\geq m \\|x\\|_0\\)。
综上，\\(m \\|x\\|_0 \\leq \\|x\\| \\leq M \\|x\\|_0\\)，\\(\\|\\cdot\\|\\)与\\(\\|\\cdot\\|_0\\)等价。\\(\\square\\)
推论 5.1 有限维赋范空间是Banach空间。
推论 5.2 有限维赋范空间中的有界闭集是紧集。
定义 5.6（强收敛）设\\(\\{x_n\\}\\)\\(\\subseteq X\\)，\\(x \\in X\\)。如果\\(\\|x_n - x\\| \\to 0\\)（\\(n \\to \\infty\\)），则称\\(\\{x_n\\}\\)强收敛（或按范数收敛）于\\(x\\)，记作\\(x_n \\to x\\)或\\(x_n \\xrightarrow{s} x\\)。
定义 5.7（级数收敛）设\\(\\{x_n\\}\\)\\(\\subseteq X\\)。级数\\(\\sum_{n=1}^\\infty x_n\\)称为收敛的，如果部分和\\(S_N = \\sum_{n=1}^N x_n\\)收敛。
级数称为绝对收敛的，如果\\(\\sum_{n=1}^\\infty \\|x_n\\| < \\infty\\)。
定理 5.5 Banach空间中，绝对收敛\\(\\Rightarrow\\)收敛。
证明：设\\(\\sum_{n=1}^\\infty \\|x_n\\| < \\infty\\)。对\\(m > n\\)：
$$\\|S_m - S_n\\| = \\left\\|\\sum_{k=n+1}^m x_k\\right\\| \\leq \\sum_{k=n+1}^m \\|x_k\\| \\to 0$$
故\\(\\{S_N\\}\\)是Cauchy列，由完备性收敛。\\(\\square\\)
注记：反之，若空间中每个绝对收敛级数都收敛，则空间完备。
定义 5.8（Schauder基）设\\(X\\)是Banach空间。序列\\(\\{e_n\\}_{n=1}^\\infty \\subseteq X\\)称为\\(X\\)的Schauder基，如果对每个\\(x \\in X\\)，存在唯一的标量序列\\(\\{\\alpha_n\\}\\)使得：
$$x = \\sum_{n=1}^\\infty \\alpha_n e_n$$
注记： - 有Schauder基的空间必可分 - 不是所有可分Banach空间都有Schauder基（Enflo, 1973） - \\(l^p\\)（\\(1 \\leq p < \\infty\\)）有标准基\\(e_n = (0, \\ldots, 0, 1, 0, \\ldots)\\)
习题 5.1 验证\\(\\|x\\|_1 = \\sum_{i=1}^n |x_i|\\)和\\(\\|x\\|_\\infty = \\max_i |x_i|\\)是\\(\\mathbb{R}^n\\)上的范数。
习题 5.2 证明\\(C[0,1]\\)在\\(\\|f\\|_1 = \\int_0^1 |f(t)|dt\\)下不完备。
习题 5.3 设\\(X\\)是赋范空间，证明单位闭球\\(\\bar{B}(0,1)\\)是凸集。
习题 5.4 证明：赋范空间\\(X\\)完备当且仅当每个绝对收敛级数都收敛。
习题 5.5 设\\(\\|\\cdot\\|_1\\)和\\(\\|\\cdot\\|_2\\)是\\(X\\)上的等价范数。证明\\((X, \\|\\cdot\\|_1)\\)完备当且仅当\\((X, \\|\\cdot\\|_2)\\)完备。
习题 5.6 证明\\(l^p\\)（\\(1 \\leq p < \\infty\\)）可分。
习题 5.7 设\\(X\\)是赋范空间，\\(Y\\)是\\(X\\)的闭子空间。证明\\(Y\\)也是赋范空间（诱导范数），且若\\(X\\)完备则\\(Y\\)完备。
习题 5.8 构造一个不完备的赋范空间的例子。
习题 5.9 证明：\\(\\|x\\| = \\max(|x_1|, |x_2|)\\)和\\(\\|x\\|_1 = |x_1| + |x_2|\\)在\\(\\mathbb{R}^2\\)上等价，并求等价常数。
习题 5.10 设\\(\\{x_n\\}\\)是Banach空间\\(X\\)中的序列，\\(\\sum_{n=1}^\\infty \\|x_n\\| < \\infty\\)。证明\\(\\sum_{n=1}^\\infty x_n\\)收敛且\\(\\left\\|\\sum_{n=1}^\\infty x_n\\right\\| \\leq \\sum_{n=1}^\\infty \\|x_n\\|\\)。
本章介绍了赋范线性空间的基础理论：