线性算子是泛函分析的核心研究对象。与有限维情形不同，无限维空间上的线性算子可能无界（不连续），这给理论带来了丰富的结构和挑战。有界线性算子具有良好的性质，构成了Banach代数的基础。
本章将系统介绍有界线性算子的基本理论，包括算子范数、Banach代数、以及三大基本定理中的逆算子定理。
定义 8.1（线性算子）设\\(X, Y\\)是同一数域\\(\\mathbb{K}\\)上的线性空间。映射\\(T: X \\to Y\\)称为线性算子，如果对任意\\(x_1, x_2 \\in X\\)和\\(\\alpha \\in \\mathbb{K}\\)：
- \\(T(x_1 + x_2) = Tx_1 + Tx_2\\)（可加性） - \\(T(\\alpha x_1) = \\alpha Tx_1\\)（齐次性）
等价地，\\(T(\\alpha x_1 + \\beta x_2) = \\alpha Tx_1 + \\beta Tx_2\\)。
定义 8.2（有界线性算子）设\\(X, Y\\)是赋范空间。线性算子\\(T: X \\to Y\\)称为有界的，如果存在\\(M > 0\\)使得对所有\\(x \\in X\\)：
$$\\|Tx\\| \\leq M \\|x\\|$$
等价地，\\(T\\)将\\(X\\)中的有界集映为\\(Y\\)中的有界集。
定义 8.3（算子范数）有界线性算子\\(T\\)的范数定义为：
$$\\|T\\| = \\sup_{x \\neq 0} \\frac{\\|Tx\\|}{\\|x\\|} = \\sup_{\\|x\\| = 1} \\|Tx\\| = \\sup_{\\|x\\| \\leq 1} \\|Tx\\|$$
定理 8.1 设\\(T: X \\to Y\\)是线性算子，以下条件等价：
(1) \\(T\\)有界；
(2) \\(T\\)在某一点连续；
(3) \\(T\\)在\\(X\\)上连续（一致连续）；
(4) \\(T\\)将\\(X\\)的单位球映为有界集。
证明：
\\((1) \\Rightarrow (3)\\)：若\\(\\|Tx\\| \\leq M\\|x\\|\\)，则对\\(x_n \\to x\\)：
$$\\|Tx_n - Tx\\| = \\|T(x_n - x)\\| \\leq M\\|x_n - x\\| \\to 0$$
\\((3) \\Rightarrow (2)\\)：显然。
\\((2) \\Rightarrow (1)\\)：设\\(T\\)在\\(x_0\\)连续。存在\\(\\delta > 0\\)使得当\\(\\|x - x_0\\| < \\delta\\)时\\(\\|Tx - Tx_0\\| < 1\\)。
对\\(\\|y\\| < \\delta\\)，\\(\\|(x_0 + y) - x_0\\| = \\|y\\| < \\delta\\)，故：
$$\\|Ty\\| = \\|T(x_0 + y) - Tx_0\\| < 1$$
对任意\\(x \\neq 0\\)，\\(\\|\\frac{\\delta x}{2\\|x\\|}\\| = \\frac{\\delta}{2} < \\delta\\)，故：
$$\\left\\|T\\left(\\frac{\\delta x}{2\\|x\\|}\\right)\\right\\| < 1 \\Rightarrow \\|Tx\\| < \\frac{2}{\\delta}\\|x\\|$$
\\(\\square\\)
注记：在无限维空间中，存在线性但无界的算子。
例 8.1（微分算子）设\\(X = C^1[0,1]\\)（连续可微函数），\\(Y = C[0,1]\\)，都赋予上确界范数。定义：
$$(Tf)(t) = f'(t)$$
考虑\\(f_n(t) = \\sin(nt)\\)，则\\(\\|f_n\\|_\\infty = 1\\)，但\\(\\|Tf_n\\|_\\infty = n\\)。故\\(T\\)无界。
若将\\(X\\)的范数改为\\(\\|f\\| = \\|f\\|_\\infty + \\|f'\\|_\\infty\\)，则\\(T\\)有界且\\(\\|T\\| \\leq 1\\)。
定义 8.4 记\\(\\mathcal{B}(X, Y)\\)为从\\(X\\)到\\(Y\\)的所有有界线性算子构成的集合。
定理 8.2 \\(\\mathcal{B}(X, Y)\\)是线性空间，\\(\\|\\cdot\\|\\)是其上的范数。
定理 8.3 若\\(Y\\)是Banach空间，则\\(\\mathcal{B}(X, Y)\\)是Banach空间。
证明：设\\(\\{T_n\\}\\)是\\(\\mathcal{B}(X, Y)\\)中的Cauchy列。对每个\\(x \\in X\\)：
$$\\|T_n x - T_m x\\| \\leq \\|T_n - T_m\\| \\|x\\| \\to 0$$
故\\(\\{T_n x\\}\\)是\\(Y\\)中的Cauchy列，收敛于某点，记为\\(Tx\\)。
可验证\\(T\\)线性。对\\(\\|x\\| \\leq 1\\)：
$$\\|Tx\\| = \\lim_{n \\to \\infty} \\|T_n x\\| \\leq \\limsup_{n \\to \\infty} \\|T_n\\| < \\infty$$
故\\(T\\)有界。\\(\\square\\)
例 8.2（矩阵算子）设\\(T: \\mathbb{R}^n \\to \\mathbb{R}^m\\)，\\(Tx = Ax\\)（\\(A\\)是\\(m \\times n\\)矩阵）。则：
$$\\|T\\| = \\sup_{\\|x\\|_2 = 1} \\|Ax\\|_2 = \\sqrt{\\lambda_{\\max}(A^TA)}$$
即\\(A\\)的最大奇异值。
例 8.3（积分算子）设\\(K \\in C([a,b] \\times [a,b])\\)，
$$(Tf)(x) = \\int_a^b K(x,y)f(y)dy$$
则\\(T: C[a,b] \\to C[a,b]\\)（上确界范数）有界，且：
$$\\|T\\| \\leq \\max_{x \\in [a,b]} \\int_a^b |K(x,y)|dy$$
若\\(K(x,y) \\geq 0\\)，则等号成立。
例 8.4（移位算子）在\\(l^2\\)上定义右移算子：
$$S(x_1, x_2, x_3, \\ldots) = (0, x_1, x_2, \\ldots)$$
则\\(\\|S\\| = 1\\)（\\(\\|Sx\\|_2 = \\|x\\|_2\\)），但\\(S\\)不是满射。
左移算子：
$$T(x_1, x_2, x_3, \\ldots) = (x_2, x_3, x_4, \\ldots)$$
\\(\\|T\\| = 1\\)，\\(T\\)是满射但不是单射。
定义 8.5（Banach代数）赋范代数\\(\\mathcal{A}\\)称为Banach代数，如果：
(1) \\(\\mathcal{A}\\)是Banach空间；
(2) \\(\\|xy\\| \\leq \\|x\\|\\|y\\|\\)对所有\\(x, y \\in \\mathcal{A}\\)。
若存在单位元\\(e\\)满足\\(ex = xe = x\\)且\\(\\|e\\| = 1\\)，称为含单位元的Banach代数。
例 8.5 \\(\\mathcal{B}(X) = \\mathcal{B}(X, X)\\)是含单位元的Banach代数，单位元是恒等算子\\(I\\)。
例 8.6 \\(C(K)\\)（紧Hausdorff空间\\(K\\)上的连续函数）是上确界范数下的Banach代数，乘法为逐点相乘。
例 8.7 \\(L^\\infty(\\Omega)\\)是本质有界可测函数构成的Banach代数。
定义 8.6（谱）设\\(\\mathcal{A}\\)是含单位元的Banach代数，\\(x \\in \\mathcal{A}\\)。
(1) 预解集：\\(\\rho(x) = \\{\lambda \\in \\mathbb{C} : \\lambda e - x \\text{ 可逆}\\}\\)
(2) 谱：\\(\\sigma(x) = \\mathbb{C} \\setminus \\rho(x)\\)
(3) 谱半径：\\(r(x) = \\sup\\{|\\lambda| : \\lambda \\in \\sigma(x)\\}\\)
定理 8.4（谱的非空性）设\\(\\mathcal{A}\\)是含单位元的复Banach代数，\\(x \\in \\mathcal{A}\\)。则\\(\\sigma(x)\\)是非空紧集，且：
$$r(x) = \\lim_{n \\to \\infty} \\|x^n\\|^{1/n}$$
注记：这是Gelfand谱理论的基础，将在第十六章详细讨论。
定理 8.5（逆算子定理/Banach定理）设\\(X, Y\\)是Banach空间，\\(T \\in \\mathcal{B}(X, Y)\\)是双射。则\\(T^{-1} \\in \\mathcal{B}(Y, X)\\)。
注记：这意味着从Banach空间到Banach空间的连续线性双射，其逆也自动连续。这是有限维情形的推广，但证明需要深刻的工具（Baire纲定理）。
定理 8.6（等价范数定理）设\\(X\\)是线性空间，\\(\\|\\cdot\\|_1\\)和\\(\\|\\cdot\\|_2\\)是\\(X\\)上的范数，都使\\(X\\)成为Banach空间。若存在\\(c > 0\\)使得\\(\\|x\\|_2 \\leq c\\|x\\|_1\\)，则两范数等价。
证明：考虑恒等映射\\(I: (X, \\|\\cdot\\|_1) \\to (X, \\|\\cdot\\|_2)\\)。\\(I\\)有界，由逆算子定理\\(I^{-1}\\)有界，故存在\\(c' > 0\\)使得\\(\\|x\\|_1 \\leq c'\\|x\\|_2\\)。\\(\\square\\)
定理 8.7（开映射定理）设\\(X, Y\\)是Banach空间，\\(T \\in \\mathcal{B}(X, Y)\\)是满射。则\\(T\\)是开映射（将开集映为开集）。
注记：逆算子定理是开映射定理的推论：若\\(T\\)双射，则\\(T\\)将开集映为开集，故\\(T^{-1}\\)连续。
定义 8.7（闭算子）线性算子\\(T: D(T) \\subseteq X \\to Y\\)称为闭算子，如果其图像
$$G(T) = \\{(x, Tx) : x \\in D(T)\\}$$
是\\(X \\times Y\\)中的闭集。
等价地，若\\(x_n \\to x\\)，\\(Tx_n \\to y\\)，则\\(x \\in D(T)\\)且\\(Tx = y\\)。
定理 8.8（闭图像定理）设\\(X, Y\\)是Banach空间，\\(T: X \\to Y\\)是线性算子。若\\(T\\)是闭算子，则\\(T\\)有界。
证明：\\(G(T)\\)是Banach空间\\(X \\times Y\\)的闭子空间，故是Banach空间。投影\\(P: G(T) \\to X\\)，\\(P(x, Tx) = x\\)是有界双射。由逆算子定理，\\(P^{-1}\\)有界，故\\(T\\)有界。\\(\\square\\)
定理 8.9（共鸣定理/一致有界原理）设\\(X\\)是Banach空间，\\(Y\\)是赋范空间，\\(\\{T_\\alpha\\}_{\\alpha \\in I} \\subseteq \\mathcal{B}(X, Y)\\)。如果对每个\\(x \\in X\\)，
$$\\sup_{\\alpha \\in I} \\|T_\\alpha x\\| < \\infty$$
则
$$\\sup_{\\alpha \\in I} \\|T_\\alpha\\| < \\infty$$
注记：逐点有界\\(\\Rightarrow\\)一致有界。这是Baire纲定理的重要应用。
推论 8.1 设\\(\\{T_n\\} \\subseteq \\mathcal{B}(X, Y)\\)，对每个\\(x \\in X\\)，\\(\\{T_n x\\}\\)收敛。则存在\\(T \\in \\mathcal{B}(X, Y)\\)使得\\(T_n \\to T\\)（强算子拓扑）。
习题 8.1 设\\(T: l^2 \\to l^2\\)，\\(T(x_1, x_2, \\ldots) = (x_1, x_2/2, x_3/3, \\ldots)\\)。求\\(\\|T\\|\\)。
习题 8.2 证明\\(\\|T\\| = \\sup_{\\|x\\|=\\|y\\|=1} |\\langle Tx, y\\rangle|\\)（Hilbert空间情形）。
习题 8.3 设\\(T \\in \\mathcal{B}(X, Y)\\)。证明\\(\\|T\\| = \\inf\\{M : \\|Tx\\| \\leq M\\|x\\|, \\forall x\\}\\)。
习题 8.4 设\\(X\\)是Banach空间，\\(T \\in \\mathcal{B}(X)\\)，\\(\\|I - T\\| < 1\\)。证明\\(T\\)可逆。
习题 8.5 构造一个无界闭算子的例子。
习题 8.6 证明：有限维空间之间的线性算子必是有界的。
习题 8.7 设\\(T \\in \\mathcal{B}(X, Y)\\)，\\(S \\in \\mathcal{B}(Y, Z)\\)。证明\\(\\|ST\\| \\leq \\|S\\|\\|T\\|\\)。
习题 8.8 设\\(\\{T_n\\} \\subseteq \\mathcal{B}(X, Y)\\)使得对每个\\(x\\)，\\(\\{T_n x\\}\\)是Cauchy列。若\\(Y\\)完备，证明存在\\(T \\in \\mathcal{B}(X, Y)\\)使得\\(T_n x \\to Tx\\)。
习题 8.9 证明：若\\(T: X \\to Y\\)是线性等距（\\(\\|Tx\\| = \\|x\\|\\)）且满射，则\\(T\\)是等距同构。
习题 8.10 设\\(X\\)是Banach空间，\\(P \\in \\mathcal{B}(X)\\)是投影（\\(P^2 = P\\)）。证明\\(R(P)\\)闭且\\(X = R(P) \\oplus N(P)\\)。
本章是有界线性算子的理论基础：