\text{Im}T)^\perp)_\perp = (\ker T^*)_\perp$。 ∎
定理 15.4 设 $X, Y$ 是Banach空间，$T \in \mathcal{B}(X, Y)$。则 $T$ 可逆（有有界逆）当且仅当 $T^*$ 可逆。
===== 15.2 二次共轭算子 =====
定义 15.2 设 $T \in \mathcal{B}(X, Y)$，$T^{}: X^{} \to Y^{}$ 定义为 $T^{} = (T^*)^*$，称为 $T$ 的二次共轭算子。
定理 15.5 设 $J_X: X \to X^{}$，$J_Y: Y \to Y^{}$ 是自然嵌入，则
$$T^{} \circ J_X = J_Y \circ T$$
即下图交换：
$$\begin{array}{ccc}
X & \xrightarrow{T} & Y
J_X \downarrow & & \downarrow J_Y
X^{} & \xrightarrow{T^{}} & Y^{}
\end{array}$$
证明 对 $x \in X$，$h \in Y^*$：
$$(T^{}(J_X x))(h) = (J_X x)(T^* h) = (T^* h)(x) = h(Tx) = (J_Y(Tx))(h)$$ ∎
推论 15.6 若将 $X$ 与 $J_X(X)$ 等同，$Y$ 与 $J_Y(Y)$ 等同，则 $T^{}$ 是 $T$ 的延拓。
定理 15.7 设 $T \in \mathcal{B}(X, Y)$，则
(1) $T$ 单射 $\Leftrightarrow$ $T^*$ 有稠值域
(2) $T^*$ 单射 $\Leftrightarrow$ $T$ 有稠值域
(3) 若 $T$ 满射，则 $T^*$ 有有界逆
(4) 若 $T^*$ 满射，则 $T$ 有有界逆
===== 15.3 Hilbert空间上的伴随算子 =====
定义 15.3 设 $H$ 是Hilbert空间，$T \in \mathcal{B}(H)$。$T$ 的Hilbert空间伴随算子 $T^\dagger: H \to H$ 定义为
$$(T^\dagger x, y) = (x, Ty), \quad \forall x, y \in H$$
由Riesz表示定理，$T^\dagger$ 存在唯一且 $T^\dagger \in \mathcal{B}(H)$，$\|T^\dagger\| = \|T\|$。
注 Hilbert空间伴随与共轭算子的关系：通过Riesz同构 $\tau: H \to H^*$，$\tau(x)(y) = (y, x)$，有 $\tau \circ T^\dagger = T^* \circ \tau$。
定理 15.8 Hilbert空间伴随算子满足：
(1) $(S + T)^\dagger = S^\dagger + T^\dagger$
(2) $(\alpha T)^\dagger = \bar{\alpha} T^\dagger$（注意共轭！）
(3) $(ST)^\dagger = T^\dagger S^\dagger$
(4) $(T^\dagger)^\dagger = T$
(5) $\|T^\dagger T\| = \|T\|^2$
定义 15.4 设 $T \in \mathcal{B}(H)$：
- $T$ 称为自伴算子（或Hermite算子），若 $T = T^\dagger$
- $T$ 称为正规算子，若 $TT^\dagger = T^\dagger T$
- $T$ 称为酉算子，若 $T^\dagger = T^{-1}$
定理 15.9 自伴算子的特征值都是实数，且不同特征值对应的特征向量正交。
证明 设 $Tx = \lambda x$，$x \neq 0$：
$$\lambda(x,x) = (Tx, x) = (x, Tx) = \bar{\lambda}(x,x)$$
故 $\lambda = \bar{\lambda} \in \mathbb{R}$。
设 $Tx = \lambda x$，$Ty = \mu y$，$\lambda \neq \mu$：
$$\lambda(x,y) = (Tx, y) = (x, Ty) = \mu(x,y)$$
故 $(\lambda - \mu)(x,y) = 0$，即 $(x,y) = 0$。 ∎
===== 15.4 紧算子 =====
定义 15.5 设 $X, Y$ 是Banach空间，$T: X \to Y$ 是线性算子。若 $T$ 将 $X$ 中任何有界集映为 $Y$ 中的相对紧集，则称 $T$ 为紧算子（或全连续算子）。全体紧算子记为 $\mathcal{K}(X, Y)$（或 $\mathcal{K}(X)$ 当 $X = Y$ 时）。
等价条件 $T$ 紧 $\Leftrightarrow$ $T(B_X)$ 相对紧，其中 $B_X$ 是 $X$ 的单位闭球。
命题 15.10 紧算子是有界算子，即 $\mathcal{K}(X, Y) \subset \mathcal{B}(X, Y)$。
证明 相对紧集有界，故 $T(B_X)$ 有界，$\|T\| = \sup_{\|x\| \leq 1}\|Tx\| < \infty$。 ∎
定理 15.11 $\mathcal{K}(X, Y)$ 是 $\mathcal{B}(X, Y)$ 的闭子空间。
证明 设 $T_n \in \mathcal{K}(X, Y)$，$T_n \to T$。对任意 $\varepsilon > 0$，取 $n$ 使得 $\|T_n - T\| < \varepsilon/3$。
$T_n(B_X)$ 相对紧，故完全有界，存在有限 $\varepsilon/3$-网 $\{y_1, …, y_m\}$。对任意 $Tx \in T(B_X)$，取 $y_i$ 使得 $\|T_n x - y_i\| < \varepsilon/3$，则
$$\|Tx - y_i\| \leq \|Tx - T_n x\| + \|T_n x - y_i\| < \varepsilon/3 + \varepsilon/3 = 2\varepsilon/3 < \varepsilon$$
（需修正：应用三角形不等式得 $\|Tx - y_i\| < \|T - T_n\| + \varepsilon/3 < 2\varepsilon/3$，实际上 $\|Tx - T_n x\| \leq \|T - T_n\| \cdot \|x\| < \varepsilon/3$）
故 $\{y_1, …, y_m\}$ 是 $T(B_X)$ 的 $\varepsilon$-网，$T(B_X)$ 完全有界，从而相对紧。 ∎
定理 15.12 若 $T \in \mathcal{K}(X, Y)$，$S \in \mathcal{B}(Y, Z)$，则 $ST \in \mathcal{K}(X, Z)$。若 $S \in \mathcal{B}(W, X)$，则 $TS \in \mathcal{K}(W, Y)$。
证明 $T(B_X)$ 相对紧，$S$ 连续，故 $S(T(B_X