本章研究度量空间之间的映射，特别是保持某种结构或性质的映射。连续映射是最基本的类型，它是拓扑学的核心概念。等距映射保持距离结构，是度量空间之间的“同构”。利普希茨映射是一类重要的映射，它不仅连续，而且具有更强的正则性。
理解这些映射的性质对于研究泛函分析中的算子理论至关重要。
定义 4.1（连续性）设\\1) < \\epsilon$$
(2) \\(f\\)在\\(X\\)上连续，如果\\(f\\)在\\(X\\)的每一点都连续。
(3) \\(f\\)一致连续，如果对任意\\(\\epsilon > 0\\)，存在\\(\\delta > 0\\)，使得对所有\\(x_1, x_2 \\in X\\)，当\\(d_X(x_1, x_2) < \\delta\\)时：
$$d_Y(f(x_1), f(x_2)) < \\epsilon$$
注记：一致连续性中\\(\\delta\\)仅依赖于\\(\\epsilon\\)，与点的位置无关；而普通连续性中\\(\\delta\\)可能依赖于\\(\\epsilon\\)和点\\(x_0\\)。
例 4.1 \\(f(x) = x^2\\)在\\(\\mathbb{R}\\)上连续但非一致连续。
证明：连续性显然。对\\(\\epsilon = 1\\)，假设存在\\(\\delta > 0\\)。取\\(x = n\\)，\\(y = n + \\delta/2\\)，则\\(|x - y| = \\delta/2 < \\delta\\)，但：
$$|f(y) - f(x)| = |y^2 - x^2| = |y+x||y-x| = (2n + \\delta/2)(\\delta/2) > n\\delta$$
当\\(n\\)足够大时，\\(n\\delta > 1\\)。
例 4.2 \\(f(x) = \\sqrt{x}\\)在\\([0, \\infty)\\)上一致连续。
证明：\\(|\\sqrt{x} - \\sqrt{y}| = \\frac{|x-y|}{\\sqrt{x} + \\sqrt{y}}\\)。当\\(|x-y| < \\delta\\)时： - 若\\(x, y \\geq 1\\)，则\\(|\\sqrt{x} - \\sqrt{y}| \\leq |x-y|/2 < \\delta/2\\) - 若\\(x, y \\in [0, 2]\\)，由Cantor定理，一致连续 - 综合得一致连续性
定理 4.1（连续性的等价条件）设\\(f: X \\to Y\\)，以下条件等价：
(1) \\(f\\)在\\(x_0\\)处连续；
(2) 对\\(f(x_0)\\)的任意邻域\\(V\\)，存在\\(x_0\\)的邻域\\(U\\)使得\\(f(U) \\subseteq V\\)；
(3) 对任意\\(\\epsilon > 0\\)，\\(f^{-1}(B(f(x_0), \\epsilon))\\)是\\(x_0\\)的邻域；
(4) 若\\(x_n \\to x_0\\)，则\\(f(x_n) \\to f(x_0)\\)。
定理 4.2（整体连续性的等价条件）设\\(f: X \\to Y\\)，以下条件等价：
(1) \\(f\\)在\\(X\\)上连续；
(2) 对\\(Y\\)的任意开集\\(G\\)，\\(f^{-1}(G)\\)是\\(X\\)的开集；
(3) 对\\(Y\\)的任意闭集\\(F\\)，\\(f^{-1}(F)\\)是\\(X\\)的闭集；
(4) 对任意\\(A \\subseteq X\\)，\\(f(\\bar{A}) \\subseteq \\overline{f(A)}\\)。
证明（\\2) \\subseteq B(f(x_0), \\epsilon) \\subseteq G\\)，故\\(B(x_0, \\delta) \\subseteq f^{-1}(G)\\)，\\(f^{-1}(G)\\)开。
\\3)\\)是开集且含\\(x_0\\)。存在\\(\\delta > 0\\)使得\\(B(x_0, \\delta) \\subseteq f^{-1}(B(f(x_0), \\epsilon))\\)，即\\(f(B(x_0, \\delta)) \\subseteq B(f(x_0), \\epsilon)\\)。\\(\\square\\)
定理 4.3 连续映射的复合是连续的。即若\\(f: X \\to Y\\)和\\(g: Y \\to Z\\)都连续，则\\(g \\circ f: X \\to Z\\)连续。
定理 4.4（Cantor定理）紧度量空间上的连续映射是一致连续的。
证明：设\\(f: K \\to Y\\)连续，\\(K\\)紧。对\\(\\epsilon > 0\\)，对每个\\(x \\in K\\)，存在\\(\\delta_x > 0\\)使得\\(f(B(x, \\delta_x)) \\subseteq B(f(x), \\epsilon/2)\\)。
\\(\\{B(x, \\delta_x/2)\\}_{x \\in K}\\)是\\(K\\)的开覆盖，有有限子覆盖\\(\\{B(x_i, \\delta_{x_i}/2)\\}_{i=1}^n\\)。取\\(\\delta = \\min_{1 \\leq i \\leq n} \\delta_{x_i}/2\\)。
当\\(d(x, y) < \\delta\\)时，存在\\(i\\)使得\\(x \\in B(x_i, \\delta_{x_i}/2)\\)。则：
$$d(y, x_i) \\leq d(y, x) + d(x, x_i) < \\delta + \\frac{\\delta_{x_i}}{2} \\leq \\delta_{x_i}$$
故\\(x, y \\in B(x_i, \\delta_{x_i})\\)，\\(f(x), f(y) \\in B(f(x_i), \\epsilon/2)\\)。因此：
$$d(f(x), f(y)) \\leq d(f(x), f(x_i)) + d(f(x_i), f(y)) < \\epsilon$$
\\(\\square\\)
定理 4.5 紧集上的连续实值函数必达到最大值和最小值。
证明：\\(f(K)\\)是\\(\\mathbb{R}\\)中的紧集，故有界闭。\\(\\sup f(K) \\in f(K)\\)，\\(\\inf f(K) \\in f(K)\\)。\\(\\square\\)
定义 4.2（同胚）设\\(f: X \\to Y\\)是双射。如果\\(f\\)和\\(f^{-1}\\)都连续，则称\\(f\\)为同胚映射，\\(X\\)和\\(Y\\)同胚。
注记：同胚是拓扑学的基本等价关系。同胚的空间具有相同的拓扑性质（开集、闭集、收敛性、紧性等）。
例 4.3 \\4) = B(Tx, r)\\)；
(2) 闭球映为闭球：\\(T(\\bar{B}(x, r)) = \\bar{B}(Tx, r)\\)；
(3) Cauchy列映为Cauchy列；
(4) 收敛列映为收敛列。
证明：直接由定义验证。\\(\\square\\)
定理 4.8 设\\(X\\)完备，\\(Y\\)是度量空间，\\(T: X \\to Y\\)是等距映射。则\\(T(X)\\)是\\(Y\\)的完备子空间。
证明：设\\(\\{y_n\\}\\)\\(\\subseteq T(X)\\)是Cauchy列，\\(y_n = Tx_n\\)。由\\(T\\)等距，\\(\\{x_n\\}\\)是\\(X\\)中的Cauchy列。由\\(X\\)完备，\\(x_n \\to x\\)。由\\(T\\)连续，\\(y_n = Tx_n \\to Tx \\in T(X)\\)。\\(\\square\\)
定义 4.4（利普希茨映射）设\\5) \\leq L \\cdot d_X(x_1, x_2)$$
最小的这样的\\(L\\)称为利普希茨常数，记作\\(\\text{Lip}(f)\\)。
定义 4.5（压缩映射回顾）若\\(\\text{Lip}(f) < 1\\)，则\\(f\\)称为压缩映射。
注记： - 利普希茨映射必是一致连续的（取\\(\\delta = \\epsilon/L\\)） - 压缩映射是利普希茨映射的特殊情形 - 利普希茨常数\\(\\text{Lip}(f)\\)可定义为：
$$\\text{Lip}(f) = \\sup_{x_1 \\neq x_2} \\frac{d_Y(f(x_1), f(x_2))}{d_X(x_1, x_2)}$$
例 4.8 可微函数\\(f: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}\\)满足\\(|f'(x)| \\leq L\\)对所有\\(x\\)，则\\(f\\)是利普希茨映射，且\\(\\text{Lip}(f) \\leq L\\)。
证明：由中值定理，\\(|f(x) - f(y)| = |f'(\\xi)| |x - y| \\leq L|x - y|\\)。
例 4.9 投影映射\\(\\pi_i: \\mathbb{R}^n \\to \\mathbb{R}\\)，\\(\\pi_i(x_1, \\ldots, x_n) = x_i\\)是利普希茨映射：
$$|\\pi_i(x) - \\pi_i(y)| = |x_i - y_i| \\leq \\left(\\sum_{j=1}^n |x_j - y_j|^2\\right)^{1/2} = d_2(x, y)$$
定理 4.9
(1) 利普希茨映射的复合是利普希茨映射：
$$\\text{Lip}(g \\circ f) \\leq \\text{Lip}(g) \\cdot \\text{Lip}(f)$$
(2) 利普希茨映射的和是利普希茨映射（在适当条件下）。
证明：
(1) \\(d(g(f(x)), g(f(y))) \\leq \\text{Lip}(g) \\cdot d(f(x), f(y)) \\leq \\text{Lip}(g) \\cdot \\text{Lip}(f) \\cdot d(x, y)\\)
\\(\\square\\)
定理 4.10 设\\(K \\subseteq \\mathbb{R}^n\\)是凸集，\\(f: K \\to \\mathbb{R}^m\\)可微。则：
$$\\text{Lip}(f) = \\sup_{x \\in K} \\|f'(x)\\|$$
其中\\(f'(x)\\)是Jacobi矩阵，\\(\\|\\cdot\\|\\)是算子范数。
Picard-Lindelöf定理：考虑初值问题：
$$\\frac{dy}{dx} = f(x, y), \\quad y(x_0) = y_0$$
若\\(f\\)在矩形区域\\(R = \\{(x,y) : |x-x_0| \\leq a, |y-y_0| \\leq b\\}\\)上连续，且关于\\(y\\)满足利普希茨条件：
$$|f(x, y_1) - f(x, y_2)| \\leq L|y_1 - y_2|$$
则初值问题在\\(|x - x_0| \\leq h\\)（\\(h = \\min\\{a, b/M\\}\\)，\\(M = \\max_R |f|\\)）上存在唯一解。
证明概要：等价于积分方程：
$$y(x) = y_0 + \\int_{x_0}^x f(t, y(t))dt$$
定义\\6)dt\\)。证明\\(T\\)是适当空间上的压缩映射，应用不动点定理。\\(\\square\\)
定义 4.6（一致同胚）映射\\(f: X \\to Y\\)称为一致同胚，如果\\(f\\)是双射且\\(f\\)和\\(f^{-1}\\)都一致连续。
定义 4.7（拟等距）映射\\(f: X \\to Y\\)称为拟等距（或粗等距），如果存在常数\\(L \\geq 1\\)和\\(C \\geq 0\\)，使得对所有\\(x_1, x_2 \\in X\\)：
$$\\frac{1}{L}d_X(x_1, x_2) - C \\leq d_Y(f(x_1), f(x_2)) \\leq L \\cdot d_X(x_1, x_2) + C$$
且\\(f(X)\\)在\\(Y\\)中是C-稠密的（即每个\\(y \\in Y\\)与\\(f(X)\\)的距离不超过\\(C\\)）。
注记：拟等距在大规模几何（geometric group theory）中很重要，它保持了空间的“大尺度”结构。
习题 4.1 证明\\(f(x) = \\frac{1}{x}\\)在\\7) \\leq \\text{Lip}(f) \\cdot \\text{diam}(A)$$
习题 4.6 设\\(f_n: X \\to Y\\)是一列连续映射，\\(f_n \\rightrightarrows f\\)（一致收敛）。证明\\(f\\)连续。
习题 4.7 证明\\(C[0,1]\\)（上确界范数）与\\(C[a,b]\\)等距同构。
习题 4.8 设\\(f: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}\\)可微且\\(|f'(x)| \\leq L\\)。证明\\(f\\)是利普希茨映射且\\(\\text{Lip}(f) \\leq L\\)。
习题 4.9 构造一个连续但不是利普希茨的映射的例子。
习题 4.10 证明：紧度量空间上的双射连续映射是同胚映射。
本章系统研究了度量空间之间的各类映射：