空间力系（Spatial Force System）是指各力的作用线不在同一平面内的力系。在实际工程中，许多结构的受力属于空间力系问题，如起重机的起重臂、空间桁架结构、机械中的传动轴等。空间力系的分析方法与平面力系类似，但需要考虑三个方向的力和力矩。
本章将系统介绍空间汇交力系、空间力偶系和空间任意力系的简化与平衡问题。掌握本章内容，对于分析复杂空间结构的受力状态具有重要意义。
空间汇交力系是指各力的作用线汇交于一点但不在同一平面内的力系。
特点：
建立直角坐标系 $Oxyz$，将各力向三个坐标轴投影：
$$F_{Rx} = \sum F_{ix}, \quad F_{Ry} = \sum F_{iy}, \quad F_{Rz} = \sum F_{iz}$$
合力的大小： $$F_R = \sqrt{(\sum F_x)^2 + (\sum F_y)^2 + (\sum F_z)^2}$$
合力的方向（方向余弦）： $$\cos\alpha = \frac{F_{Rx}}{F_R}, \quad \cos\beta = \frac{F_{Ry}}{F_R}, \quad \cos\gamma = \frac{F_{Rz}}{F_R}$$
其中 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 分别为合力与 $x$、$y$、$z$ 轴正向的夹角，满足： $$\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$$
几何条件：空间力多边形自行封闭。
解析条件： $$\sum F_x = 0$$ $$\sum F_y = 0$$ $$\sum F_z = 0$$
三个独立的平衡方程可以求解三个未知量。
空间力偶的等效条件是力偶矩矢量相等。力偶可以在平行平面内任意移转，或改变力偶中力的大小和力偶臂的长短（保持力偶矩不变），而不改变对刚体的作用效果。
空间力偶系可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的矢量和：
$$\vec{M} = \vec{M}_1 + \vec{M}_2 + \cdots + \vec{M}_n = \sum_{i=1}^{n} \vec{M}_i$$
合力偶矩在坐标轴上的投影： $$M_x = \sum M_{ix}, \quad M_y = \sum M_{iy}, \quad M_z = \sum M_{iz}$$
合力偶矩的大小： $$M = \sqrt{M_x^2 + M_y^2 + M_z^2}$$
$$\sum M_x = 0, \quad \sum M_y = 0, \quad \sum M_z = 0$$
或写成矢量形式： $$\sum \vec{M}_i = 0$$
主矢： $$\vec{F}_R' = \sum \vec{F}_i$$
在直角坐标系中的分量： $$F_{Rx}' = \sum F_x, \quad F_{Ry}' = \sum F_y, \quad F_{Rz}' = \sum F_z$$
主矢的大小： $$F_R' = \sqrt{(\sum F_x)^2 + (\sum F_y)^2 + (\sum F_z)^2}$$
主矩： $$\vec{M}_O = \sum \vec{M}_O(\vec{F}_i) = \sum (\vec{r}_i \times \vec{F}_i)$$
主矩在坐标轴上的投影（即力对轴的矩）： $$M_{Ox} = \sum M_x(\vec{F}_i), \quad M_{Oy} = \sum M_y(\vec{F}_i), \quad M_{Oz} = \sum M_z(\vec{F}_i)$$
主矩的大小： $$M_O = \sqrt{M_{Ox}^2 + M_{Oy}^2 + M_{Oz}^2}$$
空间任意力系的简化结果有以下几种情况：
情况1：$\vec{F}_R' = 0$，$\vec{M}_O \neq 0$
简化为一个合力偶，力偶矩等于主矩。
情况2：$\vec{F}_R' \neq 0$，$\vec{M}_O = 0$
简化为一个合力，合力通过简化中心。
情况3：$\vec{F}_R' \neq 0$，$\vec{M}_O \neq 0$，且 $\vec{F}_R' \perp \vec{M}_O$
可进一步简化为一个合力。合力作用线到简化中心的距离： $$d = \frac{M_O}{F_R'}$$
情况4：$\vec{F}_R' \neq 0$，$\vec{M}_O \neq 0$，且 $\vec{F}_R' \parallel \vec{M}_O$
形成力螺旋（Wrench），这是空间力系特有的简化结果。力不能进一步简化，力偶矩也不能消除。
情况5：$\vec{F}_R' \neq 0$，$\vec{M}_O \neq 0$，且 $\vec{F}_R'$ 与 $\vec{M}_O$ 成任意角 $\theta$
可将力偶矩分解为平行于主矢和垂直于主矢的两个分量，垂直分量与主矢合成为作用线平移后的力，最终简化为一个力螺旋。
情况6：$\vec{F}_R' = 0$，$\vec{M}_O = 0$
力系平衡。
空间任意力系平衡的充要条件是主矢和主矩均为零：
$$\vec{F}_R' = 0, \quad \vec{M}_O = 0$$
即： $$\sum F_x = 0, \quad \sum F_y = 0, \quad \sum F_z = 0$$ $$\sum M_x = 0, \quad \sum M_y = 0, \quad \sum M_z = 0$$
六个独立的平衡方程可以求解六个未知量。
各力的作用线互相平行的空间力系称为空间平行力系。
设各力与 $z$ 轴平行： $$\sum F_z = 0$$ $$\sum M_x = 0$$ $$\sum M_y = 0$$
三个独立的平衡方程。
重力是地球对物体的吸引力。对于体积不太大的物体，可认为重力是平行力系，其合力作用点称为重心（Center of Gravity）。
设物体由若干部分组成，第 $i$ 部分的重力为 $P_i$，重心坐标为 $(x_i, y_i, z_i)$，则整体重心坐标为：
$$x_C = \frac{\sum P_i x_i}{\sum P_i}, \quad y_C = \frac{\sum P_i y_i}{\sum P_i}, \quad z_C = \frac{\sum P_i z_i}{\sum P_i}$$
对于均质物体，$P = \rho g V$，重心与形心重合：
$$x_C = \frac{\sum V_i x_i}{V}, \quad y_C = \frac{\sum V_i y_i}{V}, \quad z_C = \frac{\sum V_i z_i}{V}$$
对于连续体，用积分表示： $$x_C = \frac{\int_V x \, dV}{V}, \quad y_C = \frac{\int_V y \, dV}{V}, \quad z_C = \frac{\int_V z \, dV}{V}$$
三角形：重心位于三条中线的交点，距底边高度为 $h/3$
梯形：距底边高度 $y_C = \frac{h}{3} \cdot \frac{a + 2b}{a + b}$（$a$、$b$ 为上下底）
圆弧：半径 $R$，圆心角 $2\alpha$，重心距圆心 $x_C = \frac{R\sin\alpha}{\alpha}$
扇形：半径 $R$，圆心角 $2\alpha$，重心距圆心 $x_C = \frac{2R\sin\alpha}{3\alpha}$
半球：半径 $R$，重心距底面 $z_C = \frac{3R}{8}$
圆锥：高 $h$，重心距底面 $z_C = \frac{h}{4}$
边长为 $a = 1 \text{ m}$ 的正方体上作用三个力：$F_1 = 100 \text{ N}$ 沿 $x$ 轴正方向作用于原点，$F_2 = 150 \text{ N}$ 沿 $y$ 轴正方向作用于点 $(a, 0, 0)$，$F_3 = 200 \text{ N}$ 沿 $z$ 轴正方向作用于点 $(0, a, 0)$。试将该力系向原点 $O$ 简化，并求最终的简化结果。
解答：
步骤1：计算主矢
$$\vec{F}_R' = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = 100\vec{i} + 150\vec{j} + 200\vec{k} \text{ N}$$
主矢大小： $$F_R' = \sqrt{100^2 + 150^2 + 200^2} = \sqrt{72500} = 269.3 \text{ N}$$
步骤2：计算主矩
各力作用点相对于原点的矢径： $$\vec{r}_1 = 0, \quad \vec{r}_2 = a\vec{i} = \vec{i}, \quad \vec{r}_3 = a\vec{j} = \vec{j}$$
各力对原点的矩： $$\vec{M}_O(\vec{F}_1) = \vec{r}_1 \times \vec{F}_1 = 0$$
$$\vec{M}_O(\vec{F}_2) = \vec{r}_2 \times \vec{F}_2 = \vec{i} \times 150\vec{j} = 150\vec{k} \text{ N·m}$$
$$\vec{M}_O(\vec{F}_3) = \vec{r}_3 \times \vec{F}_3 = \vec{j} \times 200\vec{k} = 200\vec{i} \text{ N·m}$$
主矩： $$\vec{M}_O = 200\vec{i} + 150\vec{k} \text{ N·m}$$
步骤3：判断简化结果
检验 $\vec{F}_R'$ 与 $\vec{M}_O$ 的关系： $$\vec{F}_R' \cdot \vec{M}_O = 100 \times 200 + 150 \times 0 + 200 \times 150 = 20000 + 30000 = 50000 \neq 0$$
由于点积不为零，两者不垂直，需要进一步分析：
计算平行分量： $$M_{\parallel} = \frac{\vec{F}_R' \cdot \vec{M}_O}{F_R'} = \frac{50000}{269.3} = 185.7 \text{ N·m}$$
简化结果为力螺旋。
图示空间结构中，水平杆 $AB$ 长 $L = 2 \text{ m}$，在 $A$ 端由球铰支座固定，$B$ 端用三根绳子 $BC$、$BD$、$BE$ 拉住。已知 $C$、$D$、$E$ 在同一水平面内，且 $\angle CBD = \angle DBE = 60°$。在 $B$ 端作用铅垂向下的力 $P = 1000 \text{ N}$。求三根绳子的张力。
解答：
建立坐标系：以 $A$ 为原点，$AB$ 沿 $x$ 轴正方向，$z$ 轴铅垂向上。
设绳 $BC$ 与水平面夹角为 $\alpha$，则各绳方向：
绳 $BC$：在 $xy$ 平面投影与 $x$ 轴夹角 $60°$（向 $y$ 正向偏） 绳 $BD$：沿 $x$ 轴负方向（水平） 绳 $BE$：在 $xy$ 平面投影与 $x$ 轴夹角 $-60°$（向 $y$ 负向偏）
由几何关系，若绳与水平面夹角均为 $\alpha$：
各绳的单位矢量： $$\vec{e}_{BC} = (-\cos\alpha, \sin\alpha\cos60°, \sin\alpha)$$
由对称性：$F_{BC} = F_{BE} = F_1$，$F_{BD} = F_2$
节点 $B$ 平衡方程： $$\sum F_x = 0: \quad -2F_1\cos\alpha - F_2 + P_{x} = 0$$ $$\sum F_y = 0: \quad F_1\sin\alpha\cos60° - F_1\sin\alpha\cos60° = 0$$（自动满足） $$\sum F_z = 0: \quad 2F_1\sin\alpha - P = 0$$
由 $\sum F_z = 0$： $$F_1 = \frac{P}{2\sin\alpha}$$
若 $\alpha = 45°$： $$F_1 = \frac{1000}{2 \times 0.707} = 707 \text{ N}$$
由 $\sum F_x = 0$： $$F_2 = -2F_1\cos\alpha = -2 \times 707 \times 0.707 = -1000 \text{ N}$$
负号表示实际方向与假设相反。
求图示均质 $Z$ 形薄板的重心位置。薄板由三个矩形组成：矩形 $I$ 尺寸 $20 \times 2 \text{ cm}$（水平放置在最上方），矩形 $II$ 尺寸 $2 \times 20 \text{ cm}$（铅垂放置在中间），矩形 $III$ 尺寸 $15 \times 2 \text{ cm}$（水平放置在最下方）。
解答：
建立坐标系：以左下角为原点，$x$ 轴水平向右，$y$ 轴铅垂向上。
矩形 I：$A_1 = 40 \text{ cm}^2$ 形心坐标：$x_1 = 10 \text{ cm}$，$y_1 = 21 \text{ cm}$
矩形 II：$A_2 = 40 \text{ cm}^2$ 形心坐标：$x_2 = 1 \text{ cm}$，$y_2 = 11 \text{ cm}$
矩形 III：$A_3 = 30 \text{ cm}^2$ 形心坐标：$x_3 = 9.5 \text{ cm}$，$y_3 = 1 \text{ cm}$
总面积：$A = 40 + 40 + 30 = 110 \text{ cm}^2$
重心坐标： $$x_C = \frac{A_1x_1 + A_2x_2 + A_3x_3}{A} = \frac{40 \times 10 + 40 \times 1 + 30 \times 9.5}{110}$$ $$= \frac{400 + 40 + 285}{110} = \frac{725}{110} = 6.59 \text{ cm}$$
$$y_C = \frac{A_1y_1 + A_2y_2 + A_3y_3}{A} = \frac{40 \times 21 + 40 \times 11 + 30 \times 1}{110}$$ $$= \frac{840 + 440 + 30}{110} = \frac{1310}{110} = 11.9 \text{ cm}$$
习题 3.1 空间汇交力系作用于原点，$F_1 = 100 \text{ N}$ 沿 $x$ 轴正向，$F_2 = 150 \text{ N}$ 沿 $y$ 轴正向，$F_3 = 200 \text{ N}$ 与三轴正向夹角相等。求合力。
习题 3.2 力 $F = 500 \text{ N}$ 作用在边长为 $a = 0.5 \text{ m}$ 的立方体的顶点，方向沿从该顶点出发的体对角线。求该力对立方体中心的矩。
习题 3.3 均质杆 $AB$ 长 $L$，重 $P$，$A$ 端用球铰固定，$B$ 端靠在光滑铅垂墙上，并用水平绳 $BC$ 拉住。已知杆与水平面夹角 $\alpha = 30°$，绳与水平面夹角 $\beta = 45°$。求绳的张力和墙对杆的约束反力。
习题 3.4 求图示均质 $L$ 形薄板的重心位置。薄板由两个矩形组成：水平部分 $10 \times 2 \text{ cm}$，铅垂部分 $2 \times 8 \text{ cm}$，两者在拐角处相连。
习题 3.5 图示三脚圆桌，半径 $R = 0.5 \text{ m}$，重 $P = 600 \text{ N}$，三脚 $A$、$B$、$C$ 形成等边三角形。在桌面上的 $D$ 点作用铅垂力 $F = 1500 \text{ N}$，$D$ 点位于通过圆心且与 $BC$ 平行的直线上，距圆心 $a = 0.1 \text{ m}$。求三脚所受的压力。
习题 3.6 空间桁架由六根杆组成，各杆长度相等为 $L$，形成正四面体结构。在节点 $A$ 作用水平力 $F_x$ 和铅垂力 $F_z$。求各杆内力。
习题 3.7 证明：空间力系向两点简化，若主矢相等且主矩在平行于主矢方向的分量相等，则力系等效于一个力螺旋。
习题 3.8 设计一实验方案测定不规则三维物体的重心位置。要求：
习题 3.9 求图示均质圆锥体的重心位置。圆锥底面半径 $R$，高 $H$，在距底面 $h$ 处被一平行于底面的平面截去顶部小圆锥。求剩余部分的重心位置。
习题 3.10 讨论力螺旋的中心轴方程。设空间力系向原点简化的主矢为 $\vec{F}_R'$，主矩为 $\vec{M}_O$，证明力螺旋中心轴上任意点 $P$ 的位置矢量 $\vec{r}$ 满足： $$\vec{r} = \frac{\vec{F}_R' \times \vec{M}_O}{F_R'^2} + \lambda\vec{F}_R'$$ 其中 $\lambda$ 为任意实数。
本章要点总结：
空间问题与平面问题的区别：