刚体的平面运动是工程中最常见的运动形式之一。当刚体运动时，若刚体内各点到某一固定平面的距离保持不变，则这种运动称为平面运动（Plane Motion）。例如，车轮沿直线轨道的滚动、曲柄连杆机构中连杆的运动、行星齿轮的运动等都是平面运动。
平面运动可以看作是平移和转动的合成，它比定轴转动复杂，但比一般的空间运动简单。本章将介绍分析平面运动的两种基本方法：基点法和瞬心法，并讨论平面运动刚体上各点的速度和加速度计算。
定理：平面运动可分解为随同基点的平移和绕基点的转动。
证明：
在截面 $S$ 上任取一点 $A$（基点），则截面内任一点 $B$ 的位置可由 $\vec{r}_{AB}$ 确定。
$$\vec{r}_B = \vec{r}_A + \vec{r}_{AB}$$
其中 $|\vec{r}_{AB}| = \text{常数}$，$\vec{r}_{AB}$ 只改变方向（绕 $A$ 转动）。
因此，$B$ 点的运动可看作：
重要结论：平移与基点选择有关，转动与基点选择无关（角速度、角加速度相同）。
设基点为 $A$，则任一点 $B$ 的速度：
$$\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{v}_{BA}$$
其中：
定理：同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。
$$[\vec{v}_A]_{AB} = [\vec{v}_B]_{AB}$$
证明：
由 $\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{v}_{BA}$，向 $AB$ 方向投影：
由于 $\vec{v}_{BA} \perp AB$，故 $[\vec{v}_{BA}]_{AB} = 0$
因此： $$[\vec{v}_B]_{AB} = [\vec{v}_A]_{AB}$$
在平面运动的每一瞬时，截面（或其延伸部分）上总存在一点 $P$，其速度为零，该点称为瞬时速度中心，简称速度瞬心或瞬心。
方法1：已知一点速度 $v_A$ 和角速度 $\omega$
在垂直于 $v_A$ 的方向上，距 $A$ 点距离为 $AP = \frac{v_A}{\omega}$ 处。
方法2：已知两点的速度方向
分别过两点作速度的垂线，交点即为瞬心。
方法3：已知两点速度平行且垂直于两点连线
瞬心在两点连线与速度矢量端点连线的交点上。
方法4：纯滚动
瞬心在接触点处。
若以瞬心 $P$ 为基点，则任一点 $M$ 的速度：
$$v_M = PM \cdot \omega$$
方向垂直于 $PM$，指向与 $\omega$ 一致。
特点：
设基点为 $A$，则任一点 $B$ 的加速度：
$$\vec{a}_B = \vec{a}_A + \vec{a}_{BA}$$
其中相对加速度 $\vec{a}_{BA}$ 包括：
因此： $$\vec{a}_B = \vec{a}_A + \vec{a}_{BA}^n + \vec{a}_{BA}^\tau$$
与速度瞬心类似，也存在加速度瞬心（加速度为零的点）。但加速度瞬心一般不同于速度瞬心，且确定方法较复杂。
曲柄 $OA$ 长 $r$，以匀角速度 $\omega$ 转动，连杆 $AB$ 长 $L$，滑块 $B$ 沿水平导轨滑动。
速度分析：
基点 $A$：$v_A = r\omega$，方向垂直于 $OA$
由速度投影定理： $$v_A\cos\alpha = v_B\cos\beta$$
其中 $\alpha$、$\beta$ 分别为 $OA$、$AB$ 与水平线的夹角。
或由瞬心法：瞬心在 $OA$ 延长线与过 $B$ 点垂直于导轨的直线的交点。
加速度分析：
$$\vec{a}_B = \vec{a}_A^n + \vec{a}_{BA}^n + \vec{a}_{BA}^\tau$$
其中：
滚轮半径 $R$，轮心 $O$ 以速度 $v_O$ 匀速运动。
纯滚动条件： $$v_O = R\omega$$
各点速度：
各点加速度：
四连杆机构中，$OA = 0.2 \text{ m}$，$AB = 0.6 \text{ m}$，$O_1B = 0.3 \text{ m}$，$OO_1 = 0.4 \text{ m}$。曲柄 $OA$ 以 $\omega = 5 \text{ rad/s}$ 转动，图示瞬时 $OA \perp OO_1$，$O_1B \perp OO_1$。求此瞬时连杆 $AB$ 的角速度和角加速度，以及点 $B$ 的速度和加速度。
解答：
速度分析：
点 $A$ 速度：$v_A = OA \cdot \omega = 0.2 \times 5 = 1 \text{ m/s}$，方向垂直于 $OA$（水平向左）
连杆 $AB$ 的速度瞬心：过 $A$ 作 $v_A$ 的垂线（铅垂线），过 $B$ 作导轨的垂线（水平线），交点在 $O_1$ 处？不对，需要重新分析几何关系。
实际上，由于 $O_1B$ 可转动，瞬心应为过 $A$、$B$ 分别作速度垂线的交点。
由速度投影定理或瞬心法：
设连杆角速度为 $\omega_{AB}$，则： $$v_B = v_A + \omega_{AB} \cdot AB$$
根据几何关系（图示位置 $OA$ 铅垂，$AB$ 水平）：
$v_A$ 水平，$v_B$ 垂直于 $O_1B$。
由 $v_B$ 在 $AB$ 上的投影等于 $v_A$ 在 $AB$ 上的投影：
实际上图示位置 $AB$ 水平，$v_A$ 水平，故：
$v_B$ 在水平方向的分量等于 $v_A$。
若 $O_1B$ 与水平成 $60°$： $$v_B\cos60° = v_A$$ $$v_B = 2 \text{ m/s}$$
$\omega_{O_1B} = \frac{v_B}{O_1B} = \frac{2}{0.3} = 6.67 \text{ rad/s}$
连杆瞬心在 $A$ 点正下方无穷远处，即连杆此时作瞬时平移： $$\omega_{AB} = 0$$
加速度分析：
$$\vec{a}_B = \vec{a}_B^n + \vec{a}_B^\tau = \vec{a}_A^n + \vec{a}_{BA}^n + \vec{a}_{BA}^\tau$$
其中：
向水平和铅垂方向投影求解…
半径为 $R$ 的滚轮在水平面上作纯滚动，轮心 $O$ 以匀加速度 $a_O$ 运动。求轮缘上最高点 $A$ 和接触点 $P$ 的加速度。
解答：
角加速度：
纯滚动条件：$a_O = R\alpha$ $$\alpha = \frac{a_O}{R}$$
点 $P$ 的加速度：
以 $O$ 为基点： $$\vec{a}_P = \vec{a}_O + \vec{a}_{PO}^n + \vec{a}_{PO}^\tau$$
其中：
水平分量：$a_O - a_O = 0$ 铅垂分量：$a_{PO}^n = \frac{v_O^2}{R}$（向上）
$$a_P = \frac{v_O^2}{R}$$，方向向上。
点 $A$ 的加速度：
$$\vec{a}_A = \vec{a}_O + \vec{a}_{AO}^n + \vec{a}_{AO}^\tau$$
其中：
水平分量：$a_O + a_O = 2a_O$ 铅垂分量：$-\frac{v_O^2}{R}$（向下）
$$a_A = \sqrt{(2a_O)^2 + \left(\frac{v_O^2}{R}\right)^2}$$
定齿轮 $I$ 半径 $R$，行星齿轮 $II$ 半径 $r$，系杆 $OA$ 以角速度 $\omega_O$ 转动。求行星轮的角速度及其上点 $B$（在 $OA$ 延长线上）的速度。
解答：
接触点分析：
定齿轮中心 $O$，行星轮中心 $A$，$OA = R + r$。
接触点 $P$ 在两齿轮连心线上，速度为零。
行星轮运动：
行星轮的瞬心在 $P$ 点。
轮心 $A$ 的速度：$v_A = (R+r)\omega_O$
行星轮角速度： $$\omega_{II} = \frac{v_A}{r} = \frac{(R+r)\omega_O}{r}$$
转向与系杆相反。
点 $B$ 的速度：
$B$ 到瞬心 $P$ 的距离：$PB = 2r + R$
$$v_B = PB \cdot \omega_{II} = (2r+R) \cdot \frac{(R+r)\omega_O}{r}$$
习题 8.1 杆 $AB$ 长 $L$，$A$ 端沿水平面以匀速 $v$ 运动，$B$ 端沿铅垂墙面下滑。求当杆与水平面成 $45°$ 时，杆的角速度和 $B$ 端的速度。
习题 8.2 滚轮半径 $R = 0.3 \text{ m}$，在水平面上纯滚动，轮心速度 $v_O = 2 \text{ m/s}$，加速度 $a_O = 1 \text{ m/s}^2$。求轮缘上最高点、最前点和接触点的速度和加速度。
习题 8.3 曲柄 $OA$ 长 $r = 0.2 \text{ m}$，以 $\omega = 10 \text{ rad/s}$ 转动，连杆 $AB$ 长 $L = 0.6 \text{ m}$，滑块 $B$ 沿水平导轨运动。求当曲柄水平时，连杆的角速度和滑块的速度。
习题 8.4 四连杆机构中，$OA = O_1B = 0.3 \text{ m}$，$AB = 0.5 \text{ m}$，$OA$ 以 $\omega = 5 \text{ rad/s}$ 转动。求当 $OA \perp AB$ 时，$O_1B$ 的角速度和角加速度。
习题 8.5 图示机构中，杆 $AC$ 在导轨中以匀速 $v$ 平移，通过套在杆 $OB$ 上的套筒 $B$ 带动杆 $OB$ 转动。图示瞬时 $AC$ 水平，$OB$ 与水平成 $45°$，$OB = L$。求此时杆 $OB$ 的角速度和角加速度。
习题 8.6 半径为 $R$ 的车轮在半径为 $2R$ 的固定圆弧轨道上纯滚动。证明轮心速度 $v$ 与转角 $\varphi$ 的关系，并求轮缘上最高点的加速度。
习题 8.7 证明：平面运动刚体上，若某瞬时有两点速度相同，则该瞬时刚体作瞬时平移，各点速度相同。
习题 8.8 椭圆规尺 $AB$ 长 $L$，两端分别在相互垂直的导轨中滑动。$A$ 端以匀速 $v$ 运动。求尺上任意点 $M$（$AM = b$）的速度和加速度，并证明其轨迹为椭圆。
习题 8.9 设计一种测量平面运动刚体角速度的方法。要求：
习题 8.10 证明：平面运动刚体的速度瞬心轨迹（动瞬心迹和定瞬心迹）相切，且刚体的运动可以看作动瞬心迹沿定瞬心迹的无滑动滚动。
本章主要内容：
解题要点：
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