在动力学问题中，需要建立运动微分方程并求解，这通常涉及复杂的微分运算。达朗贝尔原理（D'Alembert's Principle）提供了一种将动力学问题转化为静力学问题来求解的方法，这种方法称为动静法。
动静法的核心思想是在运动的质点（或质点系）上虚加上惯性力，使得在形式上可以将动力学问题当作静力学平衡问题来处理。这种方法在工程实践中应用广泛，特别是在求解约束力和分析机械振动等问题时特别有效。
当物体加速运动时，由于惯性，物体表现出抵抗运动状态改变的性质。从运动参考系观察，仿佛有一个力作用在物体上，这个假想的力称为惯性力。
质量为 $m$ 的质点，加速度为 $\vec{a}$，则惯性力为：
$$\vec{F}_I = -m\vec{a}$$
说明：
在自然坐标系中，惯性力可分解为：
切向惯性力： $$F_I^\tau = -ma_\tau = -m\frac{dv}{dt}$$
方向沿切向，与速度方向相反（加速时）或相同（减速时）。
法向惯性力（离心力）： $$F_I^n = -ma_n = -m\frac{v^2}{\rho}$$
方向沿法向，背离曲率中心。
原理内容：在质点运动的每一瞬时，作用于质点的主动力、约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系。
$$\vec{F} + \vec{F}_N + \vec{F}_I = 0$$
或 $$\vec{F} + \vec{F}_N = -\vec{F}_I = m\vec{a}$$
本质：这只是在牛顿第二定律的两边同时加上 $-m\vec{a}$，形式上构成平衡方程。实际上质点并不平衡，所以称为动态平衡。
对于质点系，对每个质点虚加惯性力 $\vec{F}_{Ii} = -m_i\vec{a}_i$，则：
原理内容：在质点系运动的每一瞬时，作用于质点系的所有外力、内力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系。
由于内力成对出现、大小相等、方向相反，其主矢和对任一点的主矩都为零，故：
$$\sum \vec{F}_i^{(e)} + \sum \vec{F}_{Ii} = 0$$ $$\sum \vec{M}_O(\vec{F}_i^{(e)}) + \sum \vec{M}_O(\vec{F}_{Ii}) = 0$$
结论：作用于质点系的所有外力与虚加的惯性力形式上组成平衡力系。
对于刚体，可以对分布在各质点上的惯性力系进行简化。简化结果与刚体的运动形式有关。
平移刚体各点加速度相同，都等于质心加速度 $\vec{a}_C$。
惯性力系可简化为通过质心的一个合力：
$$\vec{F}_I = -m\vec{a}_C$$
设刚体绕固定轴 $z$ 转动，角速度 $\omega$，角加速度 $\alpha$。
向转轴上一点 $O$ 简化：
主矢： $$\vec{F}_I = -m\vec{a}_C$$
（与简化中心位置无关）
主矩： $$M_{Iz} = -J_z\alpha$$
（沿转轴方向）
特殊情况：若转轴通过质心（$\vec{a}_C$ 只有切向），则：
向质心 $C$ 简化：
主矢： $$\vec{F}_I = -m\vec{a}_C$$
主矩： $$M_{IC} = -J_C\alpha$$
根据达朗贝尔原理，在质点或刚体上虚加惯性力（或惯性力系）后，可按静力学平衡问题求解。这种方法称为动静法。
解题步骤：
1. 选取研究对象 2. 受力分析（画主动力、约束力） 3. 运动分析（确定加速度） 4. 虚加惯性力（或惯性力系） 5. 列平衡方程求解 6. 验证结果
电梯以加速度 $a$ 上升，质量为 $m$ 的人站在电梯地板上。用动静法求人对地板的压力。
解答：
研究对象：人
受力分析：
运动分析：人以加速度 $a$ 上升
虚加惯性力： $$F_I = ma$$（向下，与加速度方向相反）
列平衡方程（向上为正）： $$F_N - mg - ma = 0$$
$$F_N = m(g + a)$$
人对地板的压力（牛顿第三定律）： $$F_N' = m(g + a)$$
均质杆长 $L$，质量 $m$，从水平位置静止释放，绕一端水平轴 $O$ 转动。求当杆与水平成 $\theta$ 角时，轴承 $O$ 的约束力。
解答：
运动分析：
杆绕 $O$ 转动，质心加速度： $$a_C^\tau = \frac{L}{2}\alpha$$ $$a_C^n = \frac{L}{2}\omega^2$$
由动能定理（或定轴转动微分方程）可求出 $\omega$ 和 $\alpha$。
虚加惯性力：
向 $O$ 点简化：
列平衡方程：
切向：$F_{O\tau} + mg\cos\theta - F_I^\tau = 0$ 法向：$F_{On} - mg\sin\theta - F_I^n = 0$ 力矩：$M_{IO} - mg\frac{L}{2}\cos\theta = 0$（由此求出 $\alpha$）
通过求解可得轴承约束力…
汽车质量 $m$，质心高度 $h$，轮距 $b$，以速度 $v$ 在半径为 $R$ 的水平弯道上行驶。求汽车不倾覆的最大速度。
解答：
研究对象：汽车
运动分析：汽车作匀速圆周运动，质心加速度： $$a_C = \frac{v^2}{R}$$（指向弯道中心）
虚加惯性力（离心力）： $$F_I = m\frac{v^2}{R}$$（向外，远离弯道中心）
受力分析：
倾覆临界条件：内轮离地，$F_{N1} = 0$
对 $O_2$（外轮接地点）取矩： $$F_I \cdot h - mg \cdot \frac{b}{2} = 0$$
$$m\frac{v^2}{R} \cdot h = mg\frac{b}{2}$$
$$v_{max} = \sqrt{\frac{gbR}{2h}}$$
绕线轮质量 $m$，半径 $R$，回转半径 $\rho$，在水平面上纯滚动。求轮心加速度 $a_C$。
解答：
运动分析：纯滚动，$a_C = R\alpha$
虚加惯性力： 向质心简化：
受力分析：
列平衡方程： 水平：$F_f - F_I = 0$ 铅垂：$F_N - mg = 0$ 对质心取矩：$M_{IC} - F_f R = 0$
由第三式：$m\rho^2\frac{a_C}{R} = F_f R = ma_C R$
$$\rho^2\frac{a_C}{R} = a_C R$$
这得出 $a_C = 0$，矛盾！
问题分析：需要有外力作用才能产生加速度。题目条件不全，应增加水平拉力 $F$。
设水平拉力 $F$ 作用于轮心： 水平：$F + F_f - F_I = 0$ 对质心取矩：$M_{IC} - F_f R = 0$
联立求解可得 $a_C$。
习题 13.1 质量为 $m$ 的物体放在倾角 $\alpha$ 的光滑斜面上，斜面以加速度 $a$ 水平向右运动。用动静法求物体相对斜面静止时加速度 $a$ 的值和斜面对物体的支持力。
习题 13.2 均质杆 $AB$ 长 $L$，质量 $m$，在水平位置用绳 $BC$ 吊起，$A$ 端铰接。若突然剪断绳子，求此瞬时杆的角加速度和铰链 $A$ 的约束力。
习题 13.3 火车以速度 $v$ 沿半径 $R$ 的弯道行驶，外轨超高（轨道平面与水平面夹角为 $\theta$）。求使车轮对内外轨压力相等时的超高角 $\theta$。
习题 13.4 均质圆盘质量 $m$，半径 $R$，在水平面上纯滚动，轮心受水平力 $F$。用动静法求轮心加速度。
习题 13.5 细杆长 $L$，质量 $m$，从铅垂位置静止释放，绕下端水平轴转动。求杆转到水平位置时轴的约束力。
习题 13.6 曲柄连杆机构中，曲柄 $OA$ 长 $r$，以匀角速度 $\omega$ 转动，连杆 $AB$ 长 $L$，滑块质量 $m$。用动静法求 $\theta = 0$ 和 $\theta = 90°$ 时滑块对导轨的压力。
习题 13.7 证明：刚体定轴转动时，若转轴通过质心，则惯性力系简化为一个力偶。
习题 13.8 质量为 $m$、半径为 $r$ 的均质圆盘以角速度 $\omega$ 绕通过中心且垂直于盘面的轴转动。圆盘放在摩擦因数为 $f$ 的水平面上。用动静法分析圆盘的运动，求圆盘停止所需时间。
习题 13.9 旋转起重机的吊臂长 $L$，质量 $m$，以匀角速度 $\omega$ 绕铅垂轴转动。吊臂与铅垂线夹角 $\alpha$ 保持不变。用动静法求轴承 $A$（在转轴上）和 $B$（在吊臂根部）的约束力。
习题 13.10 讨论动静法与动力学普遍定理的关系。证明：达朗贝尔原理与牛顿运动定律等价，动静法的平衡方程等价于动量定理和动量矩定理。
本章主要内容：
注意事项：
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